1、线性代数 （第五版）在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组 .但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等 .3我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形 .在 讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具 .4第一章 行列式内容提要 1 二阶与三阶行列式 2 全排列及其逆序数 3 n 阶行列式的定义 4 对换 5 行列式的性质 6 行列式按行（列）展开 7 克拉默法则 行列式的概念 .行列式的 性质及计算 . 线性方程组的求解 . （选学内容） 行列式是线性代数的一种工具！ 学习行列式主要就是
2、要能计算行列式 的值 . 1 二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式 .一、二元线性方程组与二阶行列式 二元线性方程组 111221211222axaxbaxaxb+=+=由消元法，得211211221122211 )( abbaxaa = 212221121122211 )( baabxaa =当 时，该方程组有唯一解 021122211 aa21122211 2122211 aabaabx = 211222112112112 aaabbax =求解公式为 111221211222axaxbaxaxb+=+=1212112122112121212
3、1221baabxaaabbaxaa= =二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定 .分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得 .其求解公式为 111221211222axaxbaxaxb+=+=12121121221121212121221baabxaaabbaxaa= =二元线性方程组 我们引进新的符号来表示 “四个数分成两对相乘再相减 ”.112121221212aaD aaaa= =112212aaaa记号 11122122aaaa数表 表达式 称为由该数表所确定的 二阶行列式 ，即121221aa其中， 称为 元素 .(1,2;1,2)ijai j
4、=i 为 行标 ，表明元素位于第 i 行； j 为 列标 ，表明元素位于第 j 列 .原则：横行竖列二阶行列式的计算 11122122aaaa11221221aa=主对角线 副对角线 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积 对角线法则 二元线性方程组 111221211222axaxbaxaxb+=+=若令 112212aaDaa=121122bbaDa= 12 2121baDab=(方程组的系数行列式 )则上述二元线性方程组的解可表示为112121121221Dbaabxaa=12121 22121221abbaDxaa= =例 1 求解二元线性方程组 =+=12 122321 21
5、xxxx解 因为 1223=D 07)4(3 = 14)2(12112121 =D 21243121232 =D所以 11 142,7Dx= 22 2137Dx =二、三阶行列式 定义 设有 9个数排成 3行 3列的数表 原则：横行竖列引进记号称为 三阶行列式 .111213212223313233aaaaaaaaa=123122331132132132311221312332aaaaaaaaaaaa+ + 112132122331323aaaaaaaaa主对角线 副对角线 二阶行列式的对角线法则 并不适用！三阶行列式的计算 对角线法则 111213212223313233aaaDaaaaaa
6、= 132132aa+112233aa= 122331aa+132231aa 122133aa 112332aa注意： 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 . 实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号 .12-4-221-34-2D=例 2 计算行列式 解 按对角线法则，有 =D 4)2()4()3(12)2(21 +)3(2)4()2()2(241 24843264 +=.14=方程左端解 由 得 2111230.49xx=例 3 求解方程 12291843 22 += xxxxD ,652 +=xx2560xx+=3.2=xx或 2 全排列及其逆序数引例 用 1、 2、
7、 3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解 1 2 31 2 3百位 3种放法十位 12 31个位 123 2种放法1种放法种放法 .共有 6123=问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的 全排列 . n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示 . (1)(2)321!nPnn n= 显然 即 n 个不同的元素一共有 n! 种不同的排法 .所 有 6种 不 同 的 排 法 中 ， 只 有 一 种 排 法（ 123） 中 的 数 字 是 按 从 小 到 大 的 自 然顺 序 排 列 的 ， 而 其 他
8、排 列 中 都 有 大 的数排在小的数之前 .因 此 大 部 分 的 排 列 都 不 是 “顺 序 ”， 而是 “逆序 ”.3个不同的元素一共有 3! =6种不同的排法123， 132， 213， 231， 312， 32120对于 n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序 .n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序 .定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就 称这两个元素组成一个 逆序 .例如 在排列 32514中， 3 2 5 1 4逆序 逆序 逆序 思考题： 还能找到其它逆序吗？答： 2和 1， 3和 1也构成逆序 .定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数 .排列
9、的逆序数通常记为 .12ni i 12( )nti i 奇排列： 逆序数为奇数的排列 .偶排列： 逆序数为偶数的排列 .思考题： 符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答： 符合标准次序的排列（例如： 123）的逆序数等于零，因而是偶排列 .计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为 12 nttt t=+ 设 是 1, 2, , n 这 n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序 . 先看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ；再看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ;最后看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ;12 npp 1p 1p 1t2 22tnp np nt例 1： 求排列 3
10、2514 的逆序数 .解： (32514)010315t =+=练习： 求排列 453162 的逆序数 .9t=解： 3 n 阶行列式的定义一、概念的引入 111213212223313233aaaDaaaaaa= =123122331132132132311221312332aaaaaaaaaaaa+ + 规律： 1.三阶行列式共有 6项，即 3!项2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积3.每一项可以写成 （正负号除外），其中是 1、 2、 3的某个排列 .4.当 是 偶排列 时，对应的项取 正号 ； 当 是 奇排列 时，对应的项取 负号 . 123pppaaa 123pp123pp
11、123pp所以，三阶行列式可以写成 123 123123 ( )(1)tppppppp aaa=其中 表示对 1、 2、 3的所有排列求和 . 123pp二阶行列式有类似规律 .下面将行列式推广到一般的情形 . 111213212223313233aaaDaaaaaa= =123122331132132132311221312332aaaaaaaaaaaa+ + 二、 n 阶行列式的定义1. n 阶行列式共有 n! 项2.每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积3.每一项可以写成 （正负号除外），其中 是 1, 2, , n 的某个排列 .4.当 是 偶排列 时，对应的项取 正号 ；当
12、是 奇排列 时，对应的项取 负号 . 12 npp paaa 12npp 12npp 12npp 12 12121112121222 ( )12 (1) n nnnn tpppp pppnn naa aaa aD aaaaa a= = 简记作 ，其中 为行列式 D的 (i, j)元det()ijaija思考题： 成立 吗？答： 符号 可以有两种理解：若理解成绝对值，则 ；若理解成一阶行列式，则 .11=1 11=+11=注意： 当 n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆 . 例如：一阶行列式 . 11=1121314223243 3344000000aaaaaaaD aaa=例： 写出四阶行列式中含有因子 的项 . 2311a例： 计算行列式解： 123324aa 1233442.aa和14232 324100000 00 00000aaDaa=121 340000 0000 0000aaD aa=12124323234142434000000aaaDaaaaaaa=解： 121340000 0000 0000aaD aa= 14232 324100000 00 00000aaDaa=1234aa=(4321)1423341(1)t aa= 1423341aa=(4321)0123t =+346.2=其中
