1、1经济数学基础线性代数 一、单项选择题1设 A 为 矩阵， B 为 矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行.233A AB 2设 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ）,B. T)(3设 为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ D ）D. 114设 均为 n 阶方阵，在下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是（ D ,）D IA15设 是可逆矩阵，且 ，则 （ C ）.BI1C. 6设 ， ， 是单位矩阵，则)2()3(（ D ） DIBT 527设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么（ B ）成立.B AB = AC， A 可逆，则 B = C8设 是 阶可逆矩阵， 是不为 0 的常
2、数，则 （ C ） nk()kA1C. k19设 ，则 r(A) =（ D ） D1342010设线性方程组 的增广矩阵通过初等行变换化为bX，0163则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ）A1 11线性方程组 解的情况是（ A ）A. 无解 21x12若线性方程组的增广矩阵为 ，则当 （ A012）时线性方程组无解A 13 线性方程组 只有零解，则 （ B ）.X0AXb()B. 可能无解 14设线性方程组 AX=b 中，若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则该线性方程组（ B ）B无解 15设线性方程组 有唯一解，则相应的齐次方程组 （ XOXC ） C只有零解
3、16设 A 为 矩阵， B 为 矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行.233A AB 17设 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ） B. ,T)(18设 为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ D ） D.,11B19设 均为 n 阶方阵，在下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是（ D ）D IA120设 是可逆矩阵，且 ，则 （ C ）.ABI1C. 21设 ， ， 是单位矩阵，则)2()3(（ D ） DIBT 5222设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么（ B ）成立.B AB = AC， A 可逆，则 B = C23若线性方程组的增广矩阵为 ，则当 （D）时41线性方程
4、组有无穷多解D 224 若非齐次线性方程组 Amn X = b 的( C )，那么该方程组无解C秩( A） 秩 ( ) 25线性方程组 解的情况是（ A ）A. 无解 0121x26 线性方程组 只有零解，则 （B ）B. 可能无()0解 27设线性方程组 AX=b 中，若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则该线性方程组（B ）B无解 28设线性方程组 有唯一解，则相应的齐次方程组 （ XOXC ）C只有零解 30. 设 A, B 均为同阶可逆矩阵, 则下列等式成立的是( B ). B. ( AB)T = BTAT 解析：( AB )-1 B-1 A-1 ( AB)T = BTAT
5、 故答案是 B31. 设 A= (1 2), B= (-1 3), E 是单位矩阵, 则 ATB E ( A ). A. 523解析： ATB E 523103*21011 ） （ ） （ 32. 设线性方程组 AX = B 的增广矩阵为 , 则此线性8405方程组一般解中自由未知量的个数为( A ). A. 1 解析： 012358402352*33. 若线性方程组的增广矩阵为( A, B)= , 则当 (D )时线4性方程组有无穷多解. D. 1解析： 204212时 有 无 穷 多 解 ， 选 故 234. 线性方程组 解的情况是( A ). 012xA. 无解 解析： A1Ar2B,r
6、1B 1选 故 ， 35. 以下结论或等式正确的是（ C ）C对角矩阵是对称矩阵36. 设 为 矩阵， 为 矩阵，且乘积矩阵 有意义，则4325TC为（ A ）矩阵 A T37. 设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ） CB,n38. 下列矩阵可逆的是（ A ） A 302139. 矩阵 的秩是（ B ） B1 432二、填空题1两个矩阵 既可相加又可相乘的充分必要条件是 与 是同阶矩A, A阵2计算矩阵乘积 =4102313若矩阵 A = ， B = ，则 ATB=264134设 为 矩阵， 为 矩阵，若 AB 与 BA 都可进行运算，则mnst有关系式 st,5设 ，当 0 时
7、， 是对称矩阵.1320aa6当 时，矩阵 可逆.A37设 为两个已知矩阵，且 可逆，则方程B, BI的解 X1)(8设 为 阶可逆矩阵，则 (A)= n nr9若矩阵 A = ，则 r(A) = 23041210若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则线性方程组 AX = b 无解 11若线性方程组 有非零解，则 -1 021x12设齐次线性方程组 ，且秩( A) = r n，则其一般nmX解中的自由未知量的个数等于 n-r 13齐次线性方程组 的系数矩阵为 则此方程A0213组的一般解为 (其中 是自由未知量) 4231x43,x14线性方程组 的增广矩阵 化成阶梯形矩阵后为Xb
8、100241dA则当 =-1 时，方程组 有无穷多解.dXb15若线性方程组 有唯一解，则 只有 0 解 . ()A16两个矩阵 既可相加又可相乘的充分必要条件是 答案：同阶矩阵B,17若矩阵 A = ， B = ，则 ATB=答案2124118设 ，当 时， 是对称矩阵. 答案：30aa19当 时，矩阵 可逆. 答案：A133a20设 为两个已知矩阵，且 可逆，则方程B, BI的解 答案：XA1)(21设 为 阶可逆矩阵，则 (A)= 答案：nrn22若矩阵 A = ，则 r(A) = 答案：23024123若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则线性方程组 AX = b 答案：无
9、解24若线性方程组 有非零解，则 答案：21x-125设齐次线性方程组 ，且秩( A) = r n，则其一般解01nmX中的自由未知量的个数等于答案： r26齐次线性方程组 的系数矩阵为 则此方程A0213组的一般解为 .答案： (其中 是自由未知量)4231x43,x27线性方程组 的增广矩阵 化成阶梯形矩阵后为AXb1002d则当 时，方程组 有无穷多解. 答案：d 28. 计算矩阵乘积 = 4 1329. 设 A 为 阶可逆矩阵, 则 (A)= n . nr30. 设矩阵 A = , E 为单位矩阵, 则( E A) T=342240 31. 若线性方程组 有非零解, 则 1 . 021
10、x32. 若线性方程组 AX=B(B O)有惟一解, 则 AX=O 无非零解 .33.设矩阵 ，则 的元素 .答案：3635A_23a34.设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 =. 答案：, TAB735. 设 均为 阶矩阵，则等式 成B,n22)(3立的充分必要条件是 .答案： BA36. 设 均为 阶矩阵， 可逆，则矩阵 的解BA,n)(IX.答案：_X137. 设矩阵 ，则 .答案：3021_3102三、计算题1设矩阵 ， ，求 13420A3012BBAI)(T1解 因为 = TI 4= =20114203所以 = = BAI)(T230152设矩阵 ， ， ，1246C计算 CBAT2解
11、： = 021= = 46203设矩阵 A = ，求 1231A3解 因为 ( A I )= 06102274113272014210721073所以 A-1 = 210734设矩阵 A = ，求逆矩阵 41A4 解 因为( A I ) = 20834012121340所以 A-1= 25设矩阵 A = ， B = ，计算( AB)-10114265解 因为 AB = = 23(AB I ) = 1201420所以 ( AB)-1= 16设矩阵 A = ， B = ，计算( BA)-10236解 因为 BA= = 1245(BA I )= 10043552253所以 ( BA)-1= 17解矩
12、阵方程 243X7解 因为 101043即 2432所以， X = = 18解矩阵方程 . 0548解：因为 105321302即 5所以， X = = = 1320132040389设线性方程组bax3210讨论当 a， b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.9解 因为 402131ba所以当 且 时，方程组无解；当 时，方程组有唯一解；a当 且 时，方程组有无穷多解. 10设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并0522311x判断其解的情况.10解 因为2105123A0所以 r(A) = 2， r( ) = 3. 又因为 r(A) r( )，所以方程组无解. 11求下列
13、线性方程组的一般解： 0352421xx11解 因为系数矩阵1230A 012所以一般解为 （其中 ， 是自由未知量） 4321x34x12求下列线性方程组的一般解： 1265321x12解 因为增广矩阵8094642315A 0194所以一般解为 （其中 是自由未知量） 19321x3x13设齐次线性方程组 0835321x问取何值时方程组有非零解，并求一般解.13解 因为系数矩阵A = 6108352501所以当 = 5 时，方程组有非零解. 且一般解为（其中 是自由未知量） 321x314当 取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.154231x14解 因为增广矩阵2605142A所以当
14、 =0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：是自由未知量2615321x(x315已知线性方程组 的增广矩阵经初等行变换化为bAX01问 取何值时，方程组 有解？当方程组有解时，求方程组的一般解 .bAX15解：当 =3 时， ，方程组有解. 2)(Ar当 =3 时， 03103165一般解为 ， 其中 , 为自由未知量.4321xx34x16设矩阵 A = ， B = ，计算( BA)-1021解 因为 BA= = 145(BA I )= 102243505317设矩阵 ， 是 3 阶单位矩阵，求 843721AI1)(AI解：由矩阵减法运算得94372101I利用初等行变换得 32749
15、0011233即 ()IA1018设矩阵 ，求 2,32BA1解：利用初等行变换得 102410635614035即 61A由矩阵乘法得764123541B19求解线性方程组的一般解02341xx解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形 013203123108一般解为( 是自由未知量) 3421xx20求当 取何值时，线性方程组147963221xx有解，在有解的情况下求方程组的一般解解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1005122190205214796321 所以，当 时，方程组有解，且有无穷多解，100589答案： 其中 是自由未知量 4321xx43,21求当 取何值时，线性方程组43217
16、1xx解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形504203751当 时，方程组有解，且方程组的一般解为4321564xx其中 为自由未知量 43,22计算 7201651解 723016547409342436= 14230523设矩阵 ，求 。1023B3，AAB解 因为 B)(1021032-23所以 BA（注意：因为符号输入方面的原因，在题 4题 7 的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成；（2）写成；（3）写成；）24设矩阵 ，确定 的值，使 最小。012)(Ar解：4 3, 142 23174012 4723 049当 时， 达到最小值。9)(Ar25求矩阵 的秩。32140758解： 4
17、A 3,132145807 41235 36152709 3,240125947 。)(Ar26求下列矩阵的逆矩阵：（1） 1032A解： I 1321034792 23104 24393102 132937285 3247 41A（2） A = 126解： I043 321 1043 123163 3,2362 2320 107 A-1 = 1727设矩阵 ，求解矩阵方程 3,53BBXA解： I02 121307 1213025 A = 21BX10四、证明题1试证：设 A， B， AB 均为 n 阶对称矩阵，则 AB =BA1证 因为 AT = A， BT = B，( AB)T = AB
18、 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2试证：设 是 n 阶矩阵，若 = 0，3则 2)(II2证 因为 )(= = = 3AI所以 21II3已知矩阵 ，且 ，试证 是可逆矩阵，并求)(2BAB.1B3. 证 因为 ，且 ，)(422II2即，1)(42BB得 ，所以 是可逆矩阵，且 .I4. 设 阶矩阵 满足 ， ，证明 是对称矩阵.nAI2TAI4. 证 因为= =所以 是对称矩阵.5设 A， B 均为 n 阶对称矩阵，则 AB BA 也是对称矩阵 5证 因为 ，且BTT，T)()(ATB所以 AB BA 是对称矩阵 6、试证：若 都与 可交换，则 ， 也与 可交换。21,B21B1证： ， A22121121 A即 也与 可交换。2212121121 BBAB即 也与 可交换. 7试证：对于任意方阵 ， ， 是对称矩阵。ATAT,证： TT 是对称矩阵。 = )(T 是对称矩阵。T AAT 是对称矩阵. 8设 均为 阶对称矩阵，则 对称的充分必要条件是： 。BA,nABBA证： 必要性： ， TT若 是对称矩阵，即 而 因此充分性： 若 ，则BAABTT 是对称矩阵. 9设 为 阶对称矩阵， 为 阶可逆矩阵，且 ，证明 是nnT11对称矩阵。证： TT1ABABABT11 是对称矩阵. 证毕.
