1、高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 一方法综述导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究 的单调性，往往需要解方程 .若该方程不易求fx0fx解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法” 、 “构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明 “三招”妙解导函数零点问题.二解题策略类型一 察“言”观“色” ， “猜”出零点【例 1】 【河北省武邑中学 2019 届高三上第三次调研】已知函数 ()=(22)+2+2（1）当 时，求 在 处的切线方程；=1 ()(1,(1)（
2、2）设函数 ，()=()2（）若函数 有且仅有一个零点时，求 的值；() （）在（）的条件下，若 ， ，求 的取值范围。20 10；当 x1 时， f( x)0，当 x1 时， g( x)()fx【解析】高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 （II）由（I） ，可设 在 的唯一零点为 ，当 时， ;()fx0+， 0x()0x， ()0f故 在 单调递减，在 单调递增，所以当 时， 取得最小值，最小值为)fx， ()0x， 0x=()fx.0(由于 ，所以 .02=xae-002()=lnl2afxxa+故当 时， .()lnf【指点迷津】本例第(2)问的解题思
3、路是求函数 的最小值因此需要求 的根但是fx0fx的根无法求解故设出 的根为 ，通过证明 f(x)在(0， )和( ，)2()=0xafe- 0f 0 0x上的单调性知 ，进而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析minf 0022afxxlna 几何中的“设而不求” 【举一反三】设函数 f(x)e x ax2.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 a1， k 为整数，且当 x0 时，( x k)f( x) x10，求 k 的最大值【答案】 （1） f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 （2）2.(2)由于 a1，所以( x k)f( x) x1( x k)(ex1
4、) x1.高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 故当 x0 时，( x k)f( x) x10 等价于10ke令 ，()xg则 221()()1xxee 由(1)知，函数 h(x)e x x2 在(0，)上单调递增而 h(1)0，所以 h(x)在(0，)上存在唯一的零点故 g( x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为 ，则 (1,2)当 x(0， )时， g( x)0.所以 g(x)在(0，)上的最小值为g( )又由 g( )0，可得 e 2，所以 g( ) 1(2,3)由于式等价于 k0 对 x1 恒成立，知 a0. 所以 3ax2(32 a)x( a22)
5、0 对 x1，)恒成立令 g(x)3 ax2(32 a)x( a22)，其对称轴为 x ，因为 a0，所以 0，函数 g(x)在( x0,1)上递增；当 x1 时， g( x)0 ()且 ；当 时, ,故 单调递减,且 .(1)=1+112 =2+1 ()0函数 在 处取得最大值 . ()=1 ()=(1)=1故要使 与 恰有两个不同的交点,只需 .=+2 = 00 () (0,+) (1e)=11e1e ()0, =1e () e+1e2有最小值 ，所以当 时，有一个公共点 .()e+1e2 =e+1e2综上，实数 的取值范围是 .0,+)e+1e25.【2018 河南豫南九校第二次质量考评
6、】已知函数 .（1）若 在 处的切线是 ，求实数 的值；（2）当 时，函数 有且仅有一个零点，若此时 ， 恒成立，求实数 的取高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 值范围.【答案】 （1） （2）【解析】（2）由已知 （ ）即方程 （ ）有唯一的实数根所以 （ ）即直线 与函数 （ ）的图象有唯一的交点构造函数 （ ）（ ）令 ， ，而 ， ； ， ， ； ， ， ， ； ， 且 ， ； ，所以已知可化为 （ ）的最小值（ ）所以 在 上减，在 上增所以高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 综上实数 的取值范围是6.【2018 四
7、川成都双流中学 9 月月考文】已知函数 .ln1,fxaxR（1）当 时，求函数 的单调区间；afx（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.xln1a【答案】 （1） 的单调递增区间为 ，递减区间为 ；（2） .f 0,1,1,【解析】（2）若 ，当 时， ， 在 上单调递增，102a1,2xa0hxgx1,2a，0gx 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 同） ，所以不符合题意（3）当 时， 在 上恒成立.12a0hx1, 在 递减， .gx,20ga 从而 在 上递减， ，即 .1, xln01xf结上所述， 的取值范围是 .a1,27.【2018 广东深
8、圳高三入学摸底】已知函数 .（1）求函数 的极小值；（2）若函数 有两个零点 ，求证： .【答案】 （1）极小值为 （2）见解析（2）证明：由题可知 .要证 ，即证 ，不妨设 ，只需证 ，令 ，高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 即证 ，要证 ，只需证 ，令 ，只需证 ， ， 在 内为增函数，故 ， 成立.所以原命题成立. 8.【2018 广东省广州市海珠区高三测试一（理） 】已知函数 .lnafx（1）若函数 有零点，求实数 的取值范围；fxa（2）证明：当 时， .2aexfe【答案】 （1） ；（2）见解析.,（2）要证明当 时， ，即证明当 时， ，即
9、 ，2aexfe20,xaelnxaelnxae令 ，则 ，当 时， ；当 时， .所以函lnhxln1h1fx10f数 在 上单调递减，在 上单调递增.当 时， .于是，当10,e,eeminhae时， .令 ，则 .当 时， 2a1hxax1xx 01x高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 ；当 时， .所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.当0fx10fxx0,11,时， .于是，当 时， .显然，不等式、中的等号不能同时成立.故1minee当 时， ) .2ae(fxx9.设函数 ， l1a0(1)当 时，求函数 的单调区间；130fx(2)当 ，
10、时，求证： .2a,xln1ax【答案】(1)增区间为： ， .减区间为 ， .(2) 见解析。50,6,5,61,(2)若证 ， 成立，只需证： ，ln1ax,12x 1lnl2axx即： 当 时成立.2l设 .1n1gxxx ，显然 在 内是增函数，2lg,且 ， ，10g12ln0 在 内有唯一零点 ，使得： ，x,0x01lnx且当 ， ；01,gx高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 当 ， .0,x0gx 在 递减，在 递增. g1,，0000 0min 01121ln252xxxx ， .01,05 ， 成立.mingxl1ax10 【重庆市铜梁一
11、中 2019 届 10 月月考】已知函数 （其中 ）.()=+2 =2.71828.（1）求 在 处的切线方程；()(1,(1)（2）若函数 的两个零点为 ，证明： + .()=()2+ 1,2 (1)(2) (1+22 )【答案】 （1） （ 2）见解析=1+1【解析】（2）因为 是函数 的两个零点，所以 ，相减得1,2 () 1+=12+=2 21=21不妨令 ，则 ，所以21=1 2=1, 1= 11,2= 1要证 + ，只要证 ，(1)(2) (1+22 ) 11+ 12 21+2+1即证 ，1+12(1)(+1)+1,12(1)+1 0令 ，则()=12(1)+1 ()=1+12 4(+1)21=4+342+12(+1)2令 ，则()=4+342+1,(1) ()=43+32-8+1,()=122+680,，即原不等式成立.()(1)=0()(1)=0()0()(1)=0
