1、1第 4 课时 双曲线及其标准方程基础达标(水平一 )1.已知双曲线 - =1 上的点 P 到(5,0)的距离为 15,则点 P 到点( -5,0)的距离为( ).21629A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23【解析】设点 F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知 |PF1|-|PF2|=2a=8,而 |PF2|=15,解得 |PF1|=7 或 23.【解析】D2.已知双曲线 - =1 上一点 P 到点 F(3,0)的距离为 6, O 为坐标原点, = ( + ),则 | |=( ).24 2512 A.1 B.5 C.2 或 5 D.1 或 5【解析】设双曲线的另
2、一个焦点为 F1,则由双曲线的定义知 |PF1|-|PF|=4,所以 |PF1|=2 或 10.因为= ( + ),所以 Q 为 PF 的中点 .又因为 O 为 F1F 的中点 ,所以 | |= | |=1 或 5,故选 D.12 121【答案】D3.设 F1、 F2分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点, P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则 PF1F2的面积224等于( ).A.4 B.8 C.24 D.482 3【解析】由 3|PF1|=4|PF2|知, |PF1|PF2|.由双曲线的定义知 |PF1|-|PF2|=2,|PF 1|=8,|PF2|=6.又c 2=a
3、2+b2=25,c= 5,|F 1F2|=10, PF1F2为直角三角形, = |PF1|PF2|= 86=24.1212 12【答案】C4.设 P 是双曲线 - =1 右支上的一点 ,M 和 N 分别是圆( x+5)2+y2=4 和( x-5)2+y2=1 上的点,则 |PM|PN|29 216的最大值为( ).A.6 B.7 C.8 D.9【解析】设 F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,由双曲线定义可得 |PF1|-|PF2|=6,由数形结合可知, |PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1, (|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=6+3=9.【
4、答案】D5.已知点 P(2,-3)是双曲线 - =1(a0,b0)上的一点,双曲线两个焦点间的距离等于 4,则该双曲线方程2222是 . 【解析】由题意知 c=2,设该双曲线方程是 - =1,2224-2把点 P(2,-3)代入,得 - =1,4294-2解得 a2=1 或 a2=16(舍去) .2所以该双曲线方程为 x2- =1.23【答案】 x2- =1236.已知双曲线 C 的中心为坐标原点,点 F(2,0)是双曲线 C 的一个焦点,过点 F 作渐近线的垂线 l,垂足为 M,直线 l 交 y 轴于点 E,若 |FM|=3|ME|,则双曲线 C 的方程为 . 【解析】设双曲线 C 的方程为
5、 - =1,由已知得 |FM|=b,所以 |OE|= ,所以 = ,因为2222 (43)2-4(43)2-42 a2=4-b2,所以 b2=3,a2=1,所以双曲线 C 的方程为 x2- =1.23【答案】 x2- =1237.已知 B(-5,0),C(5,0)是 ABC 的两个顶点,且 sin B-sin C= sin A,求顶点 A 的轨迹方程 .35【解析】由正弦定理得 |AC|-|AB|= |BC|= 10=6.35 35又 |AC|AB|,64 或 t4.其中判断正确的是 .(只填正确命题的序号) 3【解析】 错误,当 t= 时,曲线 C 表示圆; 正确,若 C 为双曲线,则(4
6、-t)(t-1)4; 正52确,若 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 4-tt-10, 1 4.4-0,【答案】 10.已知双曲线 - =1 的左焦点为 F,点 P 为双曲线右支上一点,且 PF 与圆 x2+y2=16 相切于点 N,M 为线段216225PF 的中点, O 为坐标原点,则 |MN|-|MO|= . 【解析】设 F是双曲线的右焦点,连接 PF(图略) .因为 M,O 分别是 FP,FF的中点,所以 |MO|= |PF|,所以 |FN|= =5.12 |2-|2由双曲线的定义知 |PF|-|PF|=8,所以 |MN|-|MO|=|MF|-|FN|- |PF|= (|PF|-|PF|)-|FN|= 8-5=-12 12 121.【答案】 -111.当 0 180时,方程 x2cos +y 2sin = 1 表示的曲线如何变化?【解析】当 = 0时,方程为 x2=1,它表示两条平行直线 x=1.当 0 0,它表示焦点在 x 轴上的椭圆 .1cos 1sin当 = 90时,方程为 y2=1,它表示两条平行直线 y=1.当 90 180时,方程为 - =1,它表示焦点在 y 轴上的双曲线 .21sin21-cos当 = 180时,方程为 x2=-1,它不表示任何曲线 .
