1、 2.3 函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x) ，那么函数 f(x)是偶函数,关于 y 轴对称奇函数,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x) ，那么函数 f(x)是奇函数,关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f( x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫
2、做 f(x)的最小正周期1判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)函数 f(x)0 ，x(0， )既是奇函数又是偶函数 ( )(2)若函数 yf(x a)是偶函数，则函数 yf (x)关于直线 xa 对称 ( )(3)若函数 yf(x b)是奇函数，则函数 yf (x)关于点(b,0)中心对称 ( )(4)若函数 f(x) 为奇函数，则 a2. ( )xx 2x a(5)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数( )(6)函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x2) f (x)，则 f(2 014)0. ( )2(2013
3、山东)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f (x)x 2 ，则 f(1)等于( )1xA2 B0 C1 D2答案 A解析 f(1) f(1)(11) 2.3已知 f(x)ax 2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是 ( )A B. C. D13 13 12 12答案 B解析 依题意 b0，且 2a (a1)，a ，则 ab .13 134已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x4) f (x)，当 x(0,2)时，f(x) 2x 2，则 f(2 015)等于 ( )A2 B2 C98 D98答案 A解析 f(x4)f(x )，f(x)是以 4 为周期的周期
4、函数，f(2 015)f(50343)f(3)f(1) 又 f(x)为奇函数，f(1)f(1)21 22，即 f(2 015)2.5设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若当 x(0 ，)时，f( x)lg x，则满足 f(x)0 的 x的取值范围是_答案 (1,0) (1 ，)解析 画草图，由 f(x)为奇函数知：f (x)0 的 x 的取值范围为(1,0)(1 ， ).题型一 判断函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) ；9 x2 x2 9(2)f(x)(x1) ；1 x1 x(3)f(x) .4 x2|x 3| 3思维启迪 确定函数的奇偶性时，必 须先判定函数定义域
5、是否关于原点 对称若 对称，再验证 f(x )f(x )或其等价形式 f(x)f (x)0 是否成立解 (1)由Error!，得 x3.f(x)的定义域为3,3，关于原点对称又 f(3)f(3)0，f(3) f( 3) 0.即 f(x)f(x )f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)由Error!，得10 时，f(x)(x )22(x 22) f (x)；当 xf(2x)的 x 的取值范围是_易错分析 (1)解题中忽视函数 f(x)的定义域，直接通 过计算 f(0)0 得 k1.(2)本题易出现以下错误由 f(1x 2)f(2x)得 1x 22x，忽视了 1x 20 导致解答失误解析 (1)f(
6、x) ，k 2 x1 k2 x k2x 12x kf(x )f(x) k 2x2x k k2x 11 k2x1 k2x2x k .k2 122x 11 k2x2x k由 f(x )f(x) 0 可得 k21， k1.(2) 画出 f(x) Error!的图象，由图象可知，若 f(1x 2)f(2x)，则Error!即Error!得 x( 1， 1)2答案 (1)1 (2)( 1， 1)2温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：抓住对变量所在区间的讨论保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系弄清最终结果
7、取并还是交方法与技巧1正确理解奇函数和偶函数的定义，必 须把握好两个问题 ：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x) f(x)或 f(x)f(x)是定义域上的恒等式2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对 称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性3若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(xa) f(x)或 f(xa) 或1fxf(x a) (a 是常数且 a0)， 则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数1fx失误与防范1判断函数的奇偶性，首先应该 判断函数定
8、义域是否关于原点 对称定 义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数 f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(x)f(x) ，而不能 说存在 x0使 f(x 0)f(x 0)对于偶函数的判断以此 类推3分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.A 组 专项基础训练一、选择题1(2013广东)定义域为 R 的四个函数 yx 3，y 2 x，yx 21，y2sin x 中，奇函数的个数是 ( )A4 B3 C2 D1答案 C解析 由奇函数的定义可知 yx 3，y2sin x 为奇函数2设
9、 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x 2x ，则 f(1)等于 ( )A3 B1 C1 D3答案 A解析 f(x) 是奇函数，当 x 0 时，f (x)2x 2x ，f(1)f(1)2(1) 2( 1)3.3定义在 R 上的偶函数 f(x)，对任意 x1，x 20，)(x 1x 2)，有 21，f(3)0，且a1)若 g(2)a，则 f(2)等于 ( )A2 B. C. Da 2154 174答案 B解析 f(x) 为奇函数，g(x )为偶函数，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(2)g(2)a 2a 2 2，f(2)g( 2)g(2) f(2)a 2 a 22
10、，由、联立，g(2) a2，f(2)a 2a 2 .154二、填空题6函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x0 时，f(x) 1，则当 x0 时， f(x) 1，x当 x0 ，f(x)f(x) ( 1)， x即 x0，所以 f(x) (x) 22(x)x 22x.又 f(x)为奇函数，所以 f(x) f(x)，于是 x0 时，f(x)x 22xx 2mx，所以 m2.(2)由(1)知 f(x)在1,1上是增函数，要使 f(x)在1，a2上单调递增结合 f(x)的图象知Error!所以 1a3，故 实数 a 的取值 范围是(1,3B 组 专项能力提升1已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，
11、g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 g(x)f(x 1)，则 f(2 013)f(2 015)的值为 ( )A1 B1 C0 D无法计算答案 C解析 由题意，得 g(x )f(x1)，又f(x )是定义在 R 上的偶函数，g(x) 是定义在 R 上的奇函数，g(x )g(x) ，f(x )f(x)，f(x 1)f(x 1)，f(x)f(x 2)，f(x )f(x4) ，f(x)的周期为 4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f (1)，又f(1)f(1)g(0) 0，f(2 013)f(2 015)0.2设奇函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期 T3，若 f(1)1，f
12、(2) ，则 a 的取值范2a 3a 1围是 ( )Aa 1 或 a Ba123C1a Da23 23答案 C解析 函数 f(x)为奇函数，则 f(1)f(1) 由 f(1)f( 1)1，得 f(1)1；函数的最小正周期 T3， 则 f(1)f(2)，由 1，解得1a .2a 3a 1 233设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1) f (x1)，已知当x0,1时，f(x )2 x，则有2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2) 上是减函数，在(2,3) 上是增函数；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0.其中所有正确命题的序号是_答案 解析
13、 在 f(x 1)f(x 1)中，令 x1t， 则有 f(t2)f(t)，因此 2 是函数 f(x)的周期，故正确；当 x0,1时，f(x)2 x是增函数，则 f(x)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故正确；在区间1,1 上， f(x)的最大值为 f(1)f(1)2，f(x)的最小值为 f(0)1，故 错误4函数 f(x)的定义域为 Dx| x0 ，且满足对于任意 x1，x 2D ，有 f(x1x2)f (x1)f(x 2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x 1
14、)2，且 f(x)在(0，) 上是增函数，求 x 的取值范围解 (1)对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f( x1)f( x2)，令 x1x 21，得 f(1)2f(1)， f(1)0.(2)令 x1x 21，有 f(1)f(1)f(1) ，f(1) f(1)0.12令 x11，x 2x 有 f(x )f (1)f(x)，f(x )f(x) ，f(x )为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4) f(4)2，由(2)知，f(x) 是偶函数，f(x 1)2f (|x1|)f(16) 又 f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解之得15x17 且 x1.x 的取值范围是 x|15x
15、17 且 x15设函数 f(x)在(，) 上满足 f(2x)f (2x)，f (7x)f(7 x)，且在闭区间0,7上只有 f(1)f (3)0.(1)试判断函数 yf(x )的奇偶性；(2)试求方程 f(x)0 在闭区间 2 005,2 005上的根的个数，并证明你的结论解 (1)f(1)0，且 f(x)在0,7上只有 f(1)f (3)0，又f(2x) f(2x )，令 x3，f (1)f(5)0，f(1)f(1)，且 f(1)f (1)f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)f(10 x)f28xf2 (8x )f(6x) f7(13x) f713xf(20x) ，f(x)以 10 为周期又 f(x)的图象关于 x7 对称知， f(x)0 在(0,10) 上有两个根，则 f(x)0 在(0,2 005上有 2012402 个根；在2 005,0 上有 2002400 个根；因此 f(x)0 在闭区间上共有 802 个根
