1、第二章,不可修复系统的可靠性,孙有朝南航大民航学院2004年12月13日,1可靠性功能逻辑图,就其功能研究系统可靠性。 可靠性逻辑图：系统与单元功能间的逻辑 关系图，建立可靠性功能逻辑框图，不能 从结构上而应从功能上研究系统类型。,1可靠性功能逻辑图,例：如果分析的是短路失效，只要一个短路，系统即短路。其系统逻辑框图为：,1可靠性功能逻辑图,如果分析的是开路失效，当两个电容同时失效，才会引起系统失效。其逻辑框图为：例：,1可靠性功能逻辑图,如果研究的是液体“流通”：1、2都实现自己的功能“开启”，系统才能实现液体“流通”。其逻辑框图为：如果研究的是液体“被截流”：1、2只要有一个功能正常“关闭
2、”，系统就可实现“被截流”。其逻辑框图为：,1可靠性功能逻辑图,若已知逻辑图和每个单元的工作概率或故障概率，则通过适当的运算，可求得整个系统的工作概率（可靠度）、故障概率（不可靠度）、MTTF等可靠性特征量（指标）。本章主要研究几种常用的典型系统及其可靠性特征量的计算方法。假设： 系统、单元均有两种状态正常与失效； 各单元所处的状态是相互独立的。,2串联系统,特征：n个单元全部正常工作时，系统正常工作； 只要有一个单元失效，系统即失效。 设： 系统正常工作状态 系统故障状态 单元 i 处于正常工作状态（i 1，2，n） 单元 i 处于故障状态（i 1，2，n）,2串联系统,则,2串联系统,由上
3、式： （Ai 之间相互独立） 上式表明，在串联系统中，系统的可靠度是元件(单元)可靠度乘积。 即串联子系统的可靠度比任一单元要小。因此，提高最低可靠度单元（薄弱环节）的可靠度效果会更好。,2串联系统,若各单元服从指数分布， 由此可知，串联后仍服从指数分布：。,3并联系统,特征：任一单元正常工作，子系统即正常工作;只有所有单元均失效，系统才失效。 设：A 系统正常状态 系统故障 单元 i 处于正常工作状态（i 1，2，n） 单元 i 处于故障状态,3并联系统,则 （设各单元状态相互独立）,3并联系统,若各单元寿命均服从指数分布，i ， 当n 2时， ,3并联系统,经分析，并联系统 之最大值，n越
4、大，越高，但并联单元多，结构尺寸大，重量、造价高，且 通常取 n 23 。,4混联系统,一般混联系统（由串联、并联混合组成的系统）,4混联系统,其中 ,4混联系统,串并联系统,4混联系统,每一列视为一个子系统，求出各子系统的Rj ，再相乘即得Rs,4混联系统,并串联系统,4混联系统,每一行视为一个子系统，求出各子系统的Ri ，再求得Rs 当n1n2nmn， 时， ,5表决系统（r/n）,特征：n个单元中只要有r个单元正常工作系统就能正常工作。 设： Ai 单元i处于正常工作状态（i 1，2，3） A 系统处于正常工作状态 则 设Ai 间相互独立，但事件：A1A2 ，：A1A3，：A2A3 ，
5、相容,5表决系统（r/n）, P（A） P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3) P()P()P() P P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3) P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3) P(A1A2A3) P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)2 P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A1)P(A3)P(A2)P(A3)2P(A1)P(A2) P(A3),5表决系统（r/n）,当各单元相同时：,5表决系统（r/n）,对上述“2/3”子系统也可以表示为：由此，按前述并、串联系统的计算方法即可求得系统的可靠性特征量。,5表决系统（r/n）,一般，对于n个相同单元（
6、）组成的r/n表决系统，由于各单元只有两个状态，因此r/n系统失效概率 可表示为： i为正常工作单元数，ir，r1，n时系统都可正常工作。,式中：,5表决系统（r/n）,又r/n系统，当rn时，n/n系统，即为串联系统 当r1时，1/n系统，即为并联系统各系统单元相同，且均服从指数分布时，失效率为； 则 此时 用数学归纳法可以证明： (1),5表决系统（r/n）,当i1时， 上式成立。 设ik（1kn）时等式成立，即 (2) 证明 ik1时，上式（1）成立：ik1时：,5表决系统（r/n）, ik1时，（1）成立， （1）式成立。,6旁联系统（非工作贮备系统）,设贮备单元完全可靠（由于单元受环
7、境的影响，单元贮备期间也可能失效，此部分内容这里不讲，而只讲贮备单元完全可靠的情况）,6旁联系统（非工作贮备系统）,转换装置完全可靠（R0(t)1）设T1，T2，Tn为1n个单元的寿命，随机变量，且 两两相互独立则系统寿命 随机变量： Ts T1T2Tn 系统可靠度： 系统平均寿命：,6旁联系统（非工作贮备系统）,下面以两个单元组成的旁联系统为例，说明上式 的计算方法。设两单元：T1、T2 均服从指数分布，失效率分别为1 、2 则,6旁联系统（非工作贮备系统）,函数TsT1T2 即f1(t) 和f2(t)的卷积。两边取拉普拉斯变换： 由上式：,6旁联系统（非工作贮备系统）,代入上式即可得,6旁
8、联系统（非工作贮备系统）,对两个相同单元组成的旁连，用上述同样方法得,对n个不同单元组成的旁联,6旁联系统（非工作贮备系统）,转换装置不完全可靠（服从指数分布）,仍以个单元组成的旁联例,分布函数（或不可靠度）,6旁联系统（非工作贮备系统）,6旁联系统（非工作贮备系统）,转换装置不完全可靠。（不使用时=0，使用时 (t) = = c）,单元1先投入使用，单元1失效时，转换装置投入使用， 此时转换装置有两种可能：,失效： 系统寿命为T1，失效概率为1-R0 正常： 系统寿命为 ，正常概率为,6旁联系统（非工作贮备系统）,此时： 对指数分布：,6旁联系统（非工作贮备系统）,时,对由n个相同指数单元组
9、成的旁联,经推导可得：,网络系统,除前面介绍的串联，并联，表决等典型模型外，还有一种一般网络模型，如通性网络，交通网络，电路网络等，本节讨论这类网络模型常用的R分析方法，网络由节点和节点间的连线(弧或单元)连接而成，假设弧(单元)和系统只有两种可能状态正常或失效。弧(或单元)之间相互独立，同时又分为节点失效和节点不失效两大类，本节主要以节点的失效情况为重点进行介绍。,网络系统,例如,也可表示为：,网络系统,全概率分解法,根据全概率公式,其中,是在事件,发生的条件下，事件发,生的概率,=I (全集),互不相容,网络系统,设x 某被选单元正常状态(事件),某被选单元故障状态(事件) S系统正常状态
10、,系统故障状态,则有：,网络系统,若 S (,)单元故障时的子系统（正常状态）,则,同理可写出：,其中 ：,表示单元x正常时子系统故障状态的概率,表示单元x故障时子系统故障状态的概率,网络系统,例如 ：,可转化为：,网络系统,按单元展开：如上图a,b,全概率分解法的关键是选择合适的单元进行展开，对于更为复杂的网络系统，可按此原理逐级分解，将其转化为一般的串并联，从而求出全系统的可靠性。,网络系统,布尔真值表法（穷举法）,N个单元组成的网络系统，各单元均有“正常”和“失效”两种状态，则系统就有,种（微观）状态。,对这个状态逐一分析，判断系统的状态是“正常”还是“故障”，由于各状态互斥饮。因此所有
11、正常工作状态的概率之和就使系统的状态。例如：,故障正常,网络系统,共有微观状态,系统,网络系统,网络中有一些弧或单元，当这些弧正常时，网络就正常，这些弧的集合称为路集，若路集中除去任一弧，就不能仍为路集，这种路集称为最小路集。,最小路集法,路，连接任意两节点间由有向弧组成的弧的集合，成为这两个节点的一条路，或称道路。如,，,网络系统,路集：由输入节点到输出节点的所有路的集合，称为路集最小路：如果一条路中移去一条弧后就不再构成路，则称这条路为最小路。最小路集：由最小路构成的集合。具有n个节点的网络的最小路集的最大路长为n1。求最小路集的方法：有联络矩阵法、网络遍历法（计算机求解）等，这里主要介绍
12、联络矩阵法。,网络系统,a 联络矩阵法给定一个有n个节点的网络s（有向、无向或混合型），定义相应的n阶矩阵若节点i到j之间有弧直接相连其中,若节点i到j之间有弧直接相连,若节点i到j之间无弧直接相连,称c为网络s的联络矩阵（或关联矩阵）,网络系统,例如网络s,1,2,3,4,网络系统,联络矩阵的乘方规则,定义,其中,显然，,表示节点i到节点j的长度为2的最小路集的全体.,同理,所以从任意节点节点i到节点j的所有最小路集可表示为：,（,=,）,（ 路长r=1,2,n-1）,网络系统,由于n个节点的最小路长为n-1，因此当rn时，必有,0,例如：求上例从1到4最小路集,当r=1时,网络系统,当r=
13、2时,=,网络系统,当r=3时,网络系统,系统s的最小路集为,S=,注：集合运算,b 搜索法,可以用建搜索树的方法求解,如上例,网络系统,S=,2）由最小路集求系统可靠度（正常工作概率）,设某网络共有m个最小路集,最小路集存在，足以使网络正常，,，任意,因此网络正常事件,可表示为,第i个最小路集存在的事件,网络系统正常工作的概率（可靠度）,网络系统,仍以上述网络为例,已知,且各弧正常工作的概率事件之间相互独立,网络系统,应用上式：,网络系统,类似方法：,利用上式可得：,网络系统,（4）最小割集法,网络中的一些弧（或单元），当这些弧失效时，网络就失效，这些弧的集合称为割集，若由割集中去掉任何一个弧，就不能仍为割集，这种割集称为最小割集。,设,系统即失效，,为系统的k个最小割集，任一最小割集发生,失效，,因此系统,失效事件B为：,网络系统,则系统的失效概率（不可靠度）,如割集：,则,
