1、专题突破练 16 空间中的垂直与空间角1.(2018 湖南衡阳二模,理 18)如图,EA平面 ABC,DB平面 ABC,ABC 是等边三角形,AC=2AE,M是 AB 的中点.(1)证明:CMDM;(2)若直线 DM 与平面 ABC 所成角的余弦值为,求二面角 B-CD-E 的正弦值.2.(2018 北京卷,理 16)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC 1平面 ABC,D,E,F,G 分别为AA1,AC,A1C1,BB1 的中点,AB=BC=,AC=AA 1=2.(1)求证:AC平面 BEF;(2)求二面角 B-CD-C1 的余弦值 ;(3)证明:直线 FG 与平面 BCD 相交.
2、3.(2018 湖南衡阳八中一模,理 19)在如图所示的五面体中, 四边形 ABCD 为直角梯形,BAD= ADC= ,平面 ADE平面 ABCD,EF=2DC=4AB=4,ADE 是边长为 2 的正三角形.(1)证明:BE平面 ACF;(2)求二面角 A-BC-F 的余弦值.4.(2018 宁夏银川一中一模,理 19)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA面 ABCD,ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=PA=2,E ,F 分别为 PB,AD 的中点.(1)证明:ACEF;(2)求直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值.5.(2018 河北唐山三模,理 19)如图,ABCD
3、 中,BC= 2AB=4,ABC=60,PAAD,E,F 分别为 BC,PE 的中点,AF平面 PED.(1)求证:PA平面 ABCD;(2)求直线 BF 与平面 AFD 所成角的正弦值.6.如图,BCD 是等边三角形,AB=AD,BAD=90,将BCD 沿 BD 折叠到BCD 的位置,使得ADCB.(1)求证:AD AC;(2)若 M,N 分别是 BD,CB 的中点,求二面角 N-AM-B 的余弦值.7.(2018 山东潍坊一模,理 18)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 ,CC1=4,AB=2,AC=2,BAC=45,点 M 是棱 AA1 上不同于 A,A1 的动点.(1)证明:B
4、CB 1M;(2)若平面 MB1C 把此棱柱分成体积相等的两部分,求此时二面角 M-B1C-A 的余弦值.参考答案专题突破练 16 空间中的垂直与空间角1.解 (1)因为ABC 是等边三角形 ,M 是 AB 的中点, 所以 CMMB. DB 平面 ABC,CM平面 ABC, DB CM. DBMB=B, CM平面 DMB. DM平面 DMB, CMDM.(2)解法 1:以点 M 为坐标原点 ,MC 所在直线为 x 轴,MB 所在直线为 y 轴,过 M 且与直线 BD 平行的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 M-xy .因为 DB平面 ABC,所以DMB 为直线 DM 与平面 ABC 所
5、成的角.由题意得 cosDMB=, tanDMB=2,即 BD=2MB,从而 BD=AC.不妨设 AC=2,又 AC=2AE,则 CM=,AE=1.故 B(0,1,0),C(,0,0),D(0,1,2),E(0,-1,1).于是=(, -1,0),=(0,0,2),=(-,-1,1),=(-,1,2),设平面 BCD 与平面 CDE 的法向量分别为 m=(x1,y1, 1),n=(x2,y2, 2),由令 x1=1,得 y1=, m=(1 0).由令 x2=1,得 y2=-, 2= n= cos=0.故二面角 B-CD-E 的正弦值为 1.解法 2: DB平面 ABC, DMB 为直线 DM
6、与平面 ABC 所成的角.由题意得 cosDMB=, tanDMB=2,即 BD=2MB,从而 BD=AC.不妨设 AC=2,又 AC=2AE,则 CM=,AE=1,AB=BC=BD=2.由于 EA平面 ABC,DB平面 ABC,则 EABD.取 BD 的中点 N,连接 EN,则EN=AB=2.在 RtEND 中,ED= ,在 RtEAC 中,EC= ,在 RtCBD 中,CD=2,取 CD 的中点 P,连接 EP,BP,BE,则 EPCD,BPCD.所以EPB 为二面角 B-CD-E 的平面角.在 RtEPC 中 ,EP=,在 RtCBD 中,BP=CD=,在 RtEAB 中,EB= , E
7、P2+BP2=5=EB2, EPB= 90.故二面角 B-CD-E 的正弦值为 1.2.(1)证明 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CC1平面 ABC, 四边形 A1ACC1 为矩形.又 E,F 分别为 AC,A1C1 的中点, ACEF. AB=BC, ACBE, AC平面 BEF.(2)解 由(1)知 ACEF,ACBE,EFCC 1. CC1平面 ABC, EF平面 ABC. BE平面 ABC, EFBE.建立如图所示的空间直角坐标系 E-xy .由题意得 B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).=(2,0,1),=(1,2,0)
8、.设平面 BCD 的法向量为 n=(a,b,c),则令 a=2,则 b=-1,c=-4, 平面 BCD 的法向量 n=(2,-1,-4),又平面 CDC1 的法向量为 =(0,2,0), cos=-由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角, 二面角 B-CD-C1 的余弦值为-(3)证明 平面 BCD 的法向量为 n=(2,-1,-4), G(0,2,1),F(0,0,2),=(0,-2,1), n=-2, n 与不垂直 , FG 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内, FG 与平面 BCD 相交.3.(1)证明 取 AD 的中点 O,以 O 为原点,OA 为 x 轴,过 O 作 AB
9、的平行线为 y 轴,OE 为 轴,建立空间直角坐标系,则 B(1,1,0),E(0,0,),A(1,0,0),C(-1,2,0),F(0,4,),=(-1,-1,),=(-1,4,),=(-2,2,0),=1-4+3=0,=2-2=0, BEAF,BEAC.又 AFAC=A, BE平面 ACF.(2)解 =(-2,1,0),=(-1,3,).设平面 BCF 的法向量 n=(x,y, ),则取 x=1,得 n=易知平面 ABC 的一个法向量 m=(0,0,1).设二面角 A-BC-F 的平面角为 ,则 cos =-二面角 A-BC-F 的余弦值为 -4.解 (1)易知 AB,AD,AP 两两垂直
10、.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴, 轴建立空间直角坐标系.设 AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),C(t,1,0),D (0,2,0),P(0,0,2),E,F(0,1,0),从而=( t,1,0),=(-t,2,0).因为 ACBD,所以=-t 2+2+0=0.解得 t=或 t=-(舍去) .于是=(,1,0).因为=-1+1+0=0,所以,即 ACEF.(2)由(1)知,=(,1,- 2),=(0,2,-2).设 n=(x,y, )是平面 PCD 的一个法向量,则令 =,则 n=(1,).设直线 EF 与平面 PCD
11、 所成的角为 ,则 sin =|cos|=即直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值为5.解 (1)连接 AE,因为 AF平面 PED,ED平面 PED,所以 AFED,在ABCD 中,BC=2AB= 4,ABC=60, AE=2,ED=2,从而有AE2+ED2=AD2. AEED. AFAE=A, ED 平面 PAE. PA平面 PAE, ED PA. PAAD,ADED=D, PA平面 ABCD.(2)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),D(0,4,0),B(,-1,0),E(,1,0). AF平面 PED, AFPE. F 为 PE 的中点 , PA
12、=AE=2, P(0,0,2),F=(0,4,0),设平面 AFD 的法向量为 n=(x,y, ),由得令 =1,得 n=设直线 BF 与平面 AFD 所成的角为 ,则 sin =|cos|=即直线 BF 与平面 AFD所成角的正弦值为6.解 (1)证明: BAD=90, AD AB. CBAD ,且 ABCB=B, AD 平面 CAB. AC平面 CAB, AD AC.(2) BCD 是等边三角形,AB=AD,BAD= 90,不妨设 AB=1,则 BC=CD=BD= M,N 分别为 BD,CB 的中点,由此以 A 为原点,以 AB,AD,AC所在直线为 x 轴,y 轴, 轴建立空间直角坐标系
13、 A-xy .则有 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(0,0,1),M,N ,0, ,设平面 AMN 的法向量为 m=(x,y, ),则即令 x=1,则 y= =-1, m=(1,-1,-1).又平面 ABM 的一个法向量是 n=(0,0,1), cos=-, 二面角 N-AM-B 的余弦值为7.(1)证明 在ABC 中,由余弦定理得 ,BC2=4+8-222cos 45=4, BC=2,则有 AB2+BC2=8=AC2, ABC=90, BCAB.又 BCBB 1,BB1AB=B, BC平面 ABB1A1,又 B1M平面 ABB1A1, BCB 1M.(2)解 由题设
14、知 ,平面把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥 C-ABB1M 和四棱锥 B1-A1MCC1.由(1)知四棱锥 C-ABB1M 的高为 BC=2,224=8,V 柱 =4,又 BC=4,=6=2, AM=2.此时 M 为 AA1 中点.以点 B 为坐标原点,的方向为 x 轴,y 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系 B-xy . A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,4),M(2,0,2),=(0,-2,4),=(2,0,-2),=(-2,2,0),设 n1=(x1,y1, 1)是平面 CB1M 的一个法向量,即令 1=1,可得 n1=(1,2,1),设 n2=(x2,y2, 2)是平面 ACB1 的一个法向量,即令 2=1,可得 n2=(2,2,1), cos=所以二面角 M-B1C-A 的余弦值等于
