1、专题二十 三种面内的圆周运动及临界问题（精练）1 （多选）如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于 O 点。设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知 L1跟竖直方向的夹角为 60， L2跟竖直方向的夹角为 30，下列说法正确的是A细线 L1和细线 L2所受的拉力大小之比为 :13B小球 m1和 m2的角速度大小之比为 :13C小球 m1和 m2的向心力大小之比为 3:1D小球 m1和 m2的线速度大小之比为 3 :13【答案】AC两小球角速度相等，质量相等，由合外力提供向心力，有 F mgtan mv ，则小球 m1和 m2的线速度大小之比为 3，故 D
2、错误。v1v2 F1F22 （多选）如图甲，轻杆一端固定在 O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内 做半径为 R 的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为 F，速度大小为 v，其 F v2图象如乙图所示。则A小球的质量为 aRbB当地的重力加速度大小为 RbC v2 c 时，小球对杆的弹力方向向下D v22 b 时，小球受到的弹力与重力大小相等【答案】AD3 （多选）长为 L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球在最高点的速度 v，下列说法中正确的是A当 v 的值为 时，杆对小球的弹力为零gLB当 v 由 逐渐增大，杆对小球的
3、拉力逐渐增大gLC当 v 由 逐渐减小时，杆对小球的支持力逐渐减小gLD当 v 由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大【答案】ABD 【解析】在最高点，若速度 v ，则轻杆对小球的作用力为零，当 v ，轻杆表现为拉力，速gL gL度增大，向心力增大，则轻杆对小球的拉力增大，A、B 正确；当 v 时，轻杆表现为支持力，速度减gL小，向心力减小，则杆对小球的支持力增大，C 错误；在最高点，根据 F 向 m 得，速度增大，向心力逐v2L渐增大，D 正确。4 （多选） “水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为 l，重力加速度为 g，则A
4、小球运动到最低点 Q 时，处于失重状态B小球初速度 v0越大，则在 P、 Q 两点绳对小球的拉力差越大C当 v0 时，小球一定能通过最高点 P6glD当 v0 v3，所以小球一定能够过最高点 P.故 C 正确；若 v0 ，设小球能够上升的最大2gl gl gl高度为 h， mgh mv mgl，12 2012所以 h .所以细绳始终处于绷紧状态.故 D 正确。l25如图所示，将一篮球从地面上方 B 点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上 A 点，不计空气阻力，若抛射 点 B 向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中 A 点，则可行的是A增大抛射速度 v0，同时减小抛射角 B减小抛射速度
5、v0，同时减小抛射角 C增大抛射角 ，同时减小抛出速度 v0D增大抛射角 ，同时增大抛出速度 v0【答案】C6如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为 R，质量为 m 的带孔小球穿于环上，同时有一长为 R 的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳的最大拉力为 2mg。当圆环以角速度 绕竖直直径转动时，发现小球受三个力作用。则 可能为A3 B gR 32 gRC D3g2R g2R【答案】B 【解析】因为圆环光滑，所以这三个力肯定是重力、环对球的弹力、绳子的拉力。细绳要产生拉力，绳要处于拉伸状态，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为 60。当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，向
6、心力由三个力在水平方向的合力提供，其大小为 F m 2r，根据几何关系，其中r Rsin 60一定，所以当角速度越大时，所需要的向心力越大，绳子拉力越大，所以对应的临界条件是小球在此位置刚好不受拉力，此时角速度最小 ，需要的向心力最小，对小球进行受力分析得Fmin2 mgsin60，即 2mgsin60 m min2Rsin60，解得 min ；当绳子的拉力达到最大时，角速2gR度达到最大，同理可知，最大角速度为 max ，故只有 B 正确。6gR7如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上 O、 A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为 m 的小球上， OA OB AB，现
7、通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形 OAB 始终在竖直平面内，若转动过程 OB、 AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是A OB 绳的拉力范围为 0 mg 33B OB 绳的拉力范围为 mg mg33 233C AB 绳的拉力范围为 mg mg 33 233D AB 绳的拉力范围为 0 mg233【答案】B 8如图所示，竖直环 A 半径为 r，固定在木板 B 上，木板 B 放在水平地面上， B 的左右两侧各有一挡板固定在地上， B 不能左右运动，在环的最低点静放有一小球 C， A、 B、 C 的质量均为 m。现给小球一水平向右的瞬时速度 v，小球会在环内侧做圆周运
8、动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起（不计小球与环之间的摩擦阻力） ，则瞬时速度 v 必须满足A最小值 B最大值 4gr 6grC最小值 D最大值 3gr 7gr【答案】D 9如图所示，一质量为 M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为 m 的小环（可视为质点） ，从大环的最高处由静止滑下。重力加速度大小为 g。当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为A Mg5 mg B Mg mg C Mg5 mg D Mg10 mg【答案】C10（多选）如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一 P 点，飞镖抛出时与 P 等高，且距离 P点为 L。当飞
9、镖以初速度 v0垂直盘面瞄准 P 点抛出的同时，圆盘以经过盘心 O 点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为 g，若飞镖恰好击中 P 点，则A飞镖击中 P 点所需的时间为Lv0B圆盘的半径可能为gL22v02C圆盘转动角速度的最小值为2 v0LD P 点随圆盘转动的线速度可能为5 gL4v0【答案】AD11 （多选）如图所示，半径为 R 的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上，轨道正上方和正下方分别有质量为 2m 和 m 的静止小球 A、 B，它们由长为 2R 的轻杆固定连接，圆环轨道内壁开有环形小槽，可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动。今对上方小球 A 施加微小扰动。两球开
10、始运动后，下列说法正确的是A轻杆转到水平位置时两球的加速度大小相等B轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小不相等 C运动过程中 A 球速度的最大值为 4gR3D当 A 球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为 mg133【答案】ACD 【解析】两球做圆周运动，在任意位置角速度相等，则线速度和向心加速度大小相等，选项 A 正确，B 错误； A、 B 球组成的系统机械能守恒，当系统重力势能最小（即 A 球在最低点）时，线速度最大，则mg2R 3mv2，最大速度 v ，选项 C 正确； A 球在最低点时，分别对 A、 B 球受力 分析，12 4gR3FNA2 mg2 m ， FNB mg m ，
11、则 FNA FNB ，选项 D 正确。v2R v2R 13mg312 （多选）如图甲所示，轻杆一端固定在 O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为 R 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 F，小球在最高点的速度大小为 v，其Fv2图像如图乙所示。则A小球的质量为 aRbB当地的重力加速度大小为RbC v2 c 时，小球对杆的弹力方向向上D v22 b 时，小球受到的弹力与重力大 小相等【答案】ACD 13 （多选）如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从 B 点脱离后做平抛运动，经过 0.3
12、 s 后又恰好垂直与倾角为 45的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为 R1 m，小球可看做质点且其质量为 m1 kg， g 取 10 m/s2。则A小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 0.9 mB小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 1.9 mC小球经过管道的 B 点时，受到管道的作用力 FNB的大小是 1 ND小球经过管道的 B 点时，受到管道的作用力 FNB的大小是 2 N【答案】AC 14 （多选）如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径 r0.4 m，最低点处有一小球（半径比 r 小很多） ，现给小球一水平向右的初速度 v0，则要使小球不脱离圆轨道
13、运动， v0应当满足，取 g10 m/s 2A v00 B v04 m/s C v02 m/s D v02 m/s5 2【答案】CD15 （多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为 R，小球半径为r，则下列说法中正确的是A小球通过最高点时的最小速度 vmin g R rB小球通过最高点时的最小速度 vmin0C小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力【答案】BC 16如图，质量为 M 的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为 m 的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内作圆周运动。 A
14、、 C 点为圆周的最高点和最低点， B、 D 点是与圆心 O 同一水平线上的点。小滑块运动时，物体 M 在地面上静止不动，则物体 M 对地面的压力 FN和地面对 M 的摩擦力有关说法正确的是A小滑块在 A 点时， FN Mg，摩擦力方向向左B小滑块在 B 点时， FN Mg，摩擦力方向向右C小滑块在 C 点时， FN（ M m） g， M 与地面无摩擦D小滑块在 D 点时， FN（ M m） g，摩擦力方向向左【答案】B 【解析】因为轨道光滑，所以小滑块与轨道之间没有摩擦力。小滑块在 A 点时，与轨道没有水平方向的作用力，所以轨道没有运动趋势，即摩擦力为零；当小滑块的速度 v 时，对轨道的压
15、力为零，轨道gR对地面的压力 FN Mg，当小滑块的速度 v 时，对轨道的压力向上，轨道对地面的压力 FN Mg，故选gR项 A 错误；小滑块在 B 点时，对轨道的作用力水平向左，所以轨道对地有向左运动的趋势，地面给轨道向右的摩擦力；竖直方向上对轨道无作用力，所以轨道对地面的压力 FN Mg，故选项 B 正确；小滑块在 C 点时，地面对轨道也没有摩擦力；竖直方向上小滑块对轨道的压力大于其重力，所以轨道对地面的压力FN（ M m） g，故选项 C 错误；小滑块在 D 点时，地面给轨道向左的摩擦力，轨道对地面的压力 FN Mg，故选项 D 错误。17如图所示，质量为 m 的木块，用一轻绳拴着，置于
16、很大的水平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管，与质量也为 m 的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的 倍（ 0.2） ，当转盘以角速度 4rad/s 匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是多少（ g 取 10 m/s 2）?【答案】0.5 m r0.75 m18如图所示，光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆形轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A。一质量为 m 的小球在水平地面上 C 点受水平向左的恒力 F 由静止开始运动，当运动到 A 点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最高点 B 点，最后又落在水平地面上的 D 点（图中未画出） 。已知A、 C 间的距离为
17、 L，重力加速度为 g。（1）若轨道半径为 R，求小球到达半圆形轨道 B 点时对轨道的压力大小 FN；（2）为使小球能运动到轨道最高点 B，求轨道半径的最大值 Rm；（3）轨道半径 R 多大时，小球在水平地面上的落点 D 到 A 点距离最大？最大距离 xm是多少？【答案】 （1） 5 mg（2） （3） 2FLR 2FL5mg FLmg（2）小球恰能运动到轨道最高点时，轨道半径有最大值，则有 FN 5 mg02FLRm解得 Rm 。2FL5mg（3）设小球平抛运动的时间为 t，有 2R gt212解得 t 4Rg水平位移 x vt 2FL 4mgRm 4Rg 2FL 4mgR 4mgRm2g2
18、当 2FL4 mgR4 mgR 时，水平位移最大。解得 R D 到 A 的最大距离 xm 。FL4mg FLmg19如图所示，水平放置的圆盘半径为 R1 m，在其边缘 C 点固定一个高度不计的小桶，在圆盘直径CD 的正上方放置一条水平滑道 AB，滑道与 CD 平行。滑道右端 B 与圆盘圆心 O 在同一竖直线上，其高度差为 h1.25 m。在滑道左端静止放置质量为 m0.4 kg 的物块（可视为质点） ，物块与滑道间的动摩擦因数为 0.2。当用一大小为 F4 N 的水平向右拉力拉动物块的同时，圆盘从图示位置以角速度 2 rad/s 绕穿过圆心 O 的竖直轴匀速转动，拉力作用一段时间后撤掉，物块在
19、滑道上继续滑行，由 B 点水平抛出，恰好落入小桶内，重力加速度取 10 m/s2。（1）求拉力作用的最短时间；（2）若拉力作用时间为 0.5 s，求所需滑道的长度。【答案】 （1）0.3 s（2）4 m圆盘转过一圈时落入，拉力作用时间最短，转过一圈的时间 T 1 s2物块在滑道上先加速后减速，则 v a1t1 a2t2物块滑行时间、抛出在空中时间与圆盘周期关系为 t1 t2 t T解得 t10.3 s（2）物块加速 t 10.5 s 的末速度 v1 a1t 14 m/s则滑道长 L a1t 4 m12 21 v2 v212a220如图所示，在圆柱形房屋天花板中心 O 点悬挂一根长为 L 的细绳
20、，绳的下端挂一个质量为 m 的小球，已知绳能承受的最大拉力为 2mg，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球恰好以速度 v2 落到墙脚边。求：7gL（1）绳断裂瞬间的速度 v1；（2）圆柱形房屋的高度 H 和半径。【答案】 （1） （2）3 L 3gL2（2）小球从抛出到落地，由机械能守恒定律得 mv mgh1 mv12 21 12 2解得 h1 Lv2 v212g 114H h1 Lcos 13 L4设小球由平抛至落地的水平射程为 x，如图所示。水平方向 x v1t竖直方向 h1gt22又有 R r2 x2解得 R3 L21如图所示，内壁光滑的薄壁细圆管弯由半圆形 APB（圆半径比细管的内径大得多）和直线 BC 两部分组成，轨道被固定在水平桌面上，已知半圆形 APB 的半径 R1.0 m， BC 段 L1.5 m。弹射装置将一个质量为 m1 kg 的小球（可视为质点）以 v05 m/s 的水平初速度从 A 点弹入轨道，小球从 C 点离开轨道随即水平抛出，桌子的高度 h1.25 m，不计空气阻力， g 取 10 m/s2， 取 3.14，求：（1）小球在半圆轨道上运动时的向心力 F 的大小及从 A 运动到 C 点的时间 t；（2）小球落地瞬间速度与水平方向的夹角 。【答案】 （1）0.928 s（2）45
