1、专题 13 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 n 的值为 9，则输出 S 的值为 .【错解】依题意，该程序框图的任务是计算 S=212 22 32 81238=546，故输出 S 的值为 546.【错因分析】解题过程错在循环是在 k=10 终止，而不是在 k=9 时终止，所以循环体最后一次执行的是S=S2 99.【试题解析】依题意，该程序框图的任务是计算 S=212 22 32 9129=1067，故输出 S 的值为 1067.【参考答案】1067【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构程序框图的真正含义，对于本题，要认清
2、程序框图运行的次数.1. 注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.2. 注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.1执行如图所示的程序框图，输出的结果是A56 B54C36 D64【答案】B【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：a=1， b=1， S=2， c=1+1=2， S=2+2=4；c20， a=1， b=2， c=1+2=3， S=4+3=7；c20， a=2， b=3， c=2+3=5， S=7+5=12；c20， a=3,b=5,c=3+5=8,S=12+8=20;c20， a=
3、5,b=8,c=5+8=13,S=20+13=33;c20， a=8,b=13,c=8+13=21,S=33+21=54.c20,此时结束循环， S=54.故答案为 B.【名师点睛】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序结束后输出的 S 值(1)本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求程序框图的输入和输出结果，主要方法是模拟运行，认真计算.易错点 2 误将类比所得结论作为推理依据已知 都是非零实数,不等式 的解集分12,abc221120,0axbcaxbc别为 M,N,则“ ”是“ M=N ”成立的 条件(选填“充分不必要” “必要不充122分”
4、“充要” “既不充分又不必要”中的一种). 【错解】由 知两个不等式同解,即“ ”是“ M=N ”成立的充要条件.1122abc1122abc【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别. 【试题解析】当 时，可取 ,则 ,1122abc1122,1abcabc,R故 ;1122=/cMN当 时，可取 ，则 ，即1122,3abcabc1122abc.122=/acN综上知“ ”是“ M=N ”成立的既不充分又不必要条件.1122bc【参考答案】既不充分又不必要条件类比推理是不严格的,所得结论的正确与否有待用实践来证明,解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易
5、出现错误.2 下面给出了关于向量的三种类比推理：由数可以比较大小类比得向量可以比较大小；由平面向量 的性质 类比得到空间向量 的性质 ；a2aa2a由向量相等的传递性 ， 可类比得到向量平行的传递性： ， .bc b ca其中正确的是A BC D【答案】B【解析】向量既有大小又有方向，所以向量不能比大小，错；当 为零向量， 与 为不共线的非零向量时，不满足向量平行的传递性，错误；bac只有正确，故选 B【名师点睛】本题主要考查的是向量和类比推理，向量是有方向又有长度的量，长度可以比较大小，向量不可以比较大小，规定零向量是与任意向量共线（平行）的，所以考虑平行时要特别注意零向量.对三个选项逐个进
6、行分析即可得到结论.易错点 3 小前提错误判断函数 的单调性 |2xy【错解】指数函数 是增函数，而 是指数函数，所以函数 是增函数 (1)a|2xy|2xy【错因分析】错解中的小前提“ 是指数函数”是错误的，函数 不是指数函数，而是一|xy |x个分段函数，在每一个分段区间上是指数函数，并且底数的取值不同，要对单调性进行讨论【试题解析】对于指数函数 ，当 时是增函数，当 时是减函数，故当xa101a时， 是增函数；当 时， 是减函数0,)x|2xy(,|2()xxy演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的小前提.3因为对数函数 是增函数，而 是对数函数，所以 是增函数，l
7、og01ayx且 12logyx12logyx上面的推理错误的是A大前提 B小前提C推理形式 D以上都是【答案】A【解析】由于三段论的大前提“对数函数 是增函数”是错误的，只有当 a1log01ayx且时，对数函数 才是增函数.log01ayx且故答案为 A.【名师点睛】(1)本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.易错点 4 反证法误区推理中未用到结论的反设已知实数 p 满足不等式(2 p+1)(p+2)中对“大衍之数五十 ”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪
8、数量总和.下图是求大衍数列前 项和的程序框图.执行该程序框图,输入 ,则输出的A100 B140C190 D250【答案】C12某程序框图如图所示，若输出 ，则判断框中 为3SMA B14?k 14?kC D5 5【答案】B【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.由框图程序可知 ，结合循环结构的终止条件可得解. 1123Sk13宋元时期数学名著中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日
9、自倍,松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图, 若输入的 分别为 则输出的A BC D【答案】C14用秦九韶方法求多项式 = 在 的值时, 的值为A34 B220C-845 D3392【答案】A【解析】因为 = ,因为 = ,所以 .故选 A 15某班有三个小组,甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3 小组那位不一样,丙比三人中第 1 小组的那位的成绩低 ,三人中第 3 小组的那位比乙分数高.若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列,正确的是A甲、乙、丙 B甲、丙、乙C乙、甲、丙 D丙、甲、乙【答案】B16中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其
10、中的“筹”原意是指中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算 .算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列 ,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位, 千位,十万位用横式表示,以此类推,例如 用算筹表示就是 ,则 用算筹表示为A BC D【答案】B【解析】由题意得千位的 1 用算筹表示为“一”.故选 B17某运动队对 A， B， C， D 四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是 C 或 D 参加比赛”
11、，乙说：“是 B 参加比赛” ，丙说：“是 A， D 都未参加比赛” ，丁说：“是 C 参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是A A B B C C D D【答案】B【名师点睛】依次假设参赛运动员是 A， B， C， D，判断甲、乙、丙、丁说法的正确性即可.18甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试,甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后,甲说:我们四个人中至少两人不过关 ;乙说:我们四人中至多两人不过关;丙说:甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的,则下列结论正确的是A甲没过关 B乙没过关C丙过关 D丁过关【答案】B【解析】因为
12、甲说:我们四人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;所以四人级有且只有两人过关,两不过关,又因为,丙说:甲乙丁恰好有一人过关,不过关的情况有三种可能:甲乙、甲丁、乙丁,根据甲不知道自己成绩的情况下说四个人中至少两人不过关,可见乙丙丁中有两人不过关,不过关的可能的情况有三种:乙丙、丙丁、乙丁,结合以上六种情况,同时成立的是乙丁不过关,所以一定正确的结论是乙没过关.故选 B 19用反证法证明命题“已知 x， yN*，如果 xy 可被 7 整除，那么 x， y 至少有一个能被 7 整除”时，假设的内容是A 都不能被 7 整除 B 都能被 7 整除xy， xy，C 只有一个能被 7 整除
13、D只有 不能被 7 整除，【答案】A【名师点睛】此题考查量词的否定.至少有一个的否定是一个也没有，因此此题假设内容为都不能.20在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排 人的座位,使他们在如图所示的 个椅子中就坐,且相邻座位(如与 与 )上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这 人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在 号位置上,则 号位置上坐的是A小方 B小张C小周 D小马【答案】A【解析】由题可得,因为小林坐在 号位置上,根据相邻座位的人有共同的体育兴趣爱好,所以 2 号位置上坐小马的话,则 3 号位置只能坐小李,所以 6 号位置只能坐小张,所以 4 号位要与 3、5 号位置有共同的兴趣爱好,则只能
14、是小方.故选 A21下图的表在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，则此数列前 16 项和为A B120 163C D64 5【答案】C【名师点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列通项公式的求解，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.分别考查每行第二个数和第三个数组成的数列，然后求和两次即可求得最终结果.22四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为 1，2，3，4 的 4 个位子上（如图） ，第
15、一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第 2018 次互换座位后，小兔的座位对应的编号为_.【答案】2【解析】由图，经过 4 次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为 4，因为 ，所以经过 2018 次互换座位后，小兔对应的是编号 2 的位置.2018=5+2【名师点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题.解题的关键是根据前几个变换方式归纳出周期为 4 的规律，归纳推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想对事物作出判断.根据题意，交换的规律是先前后再左右，由图可以看出，此交换的周期是 4,由此规律即可求解.23 “求方程 的解”有如下解题思
16、路:设 ,则 在 上单调递减,且 ,所以原方程有唯一解 .类比上述解题思路,不等式 的解集是 【答案】 24给出下列等式：， 2cos4，8，22cos16请从中归纳出第 个等式： =_*nN22n个 根 号【答案】 12cosn【解析】因为 ，4，cs8，22o16等式的右边系数是 2，角是等比数列，公比为 角的余弦值，角满足： ，1212n所以 =2cos 1n故答案为：2cos 12n【名师点睛】本题考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键.通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第 n 个等式即可25有一个游戏：盒子里有 个球，甲、乙两人依次轮流拿球（不放回） ，每人每次至少拿一个，
17、至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢.若甲先拿，则下列说法正确的有_若 ，则甲有必赢的策略； 若 ，则乙有必赢的策略；4n6n若 ，则乙有必赢的策略； 若 ，则甲有必赢的策略.79【答案】【名师点睛】(1)本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.对每一个选项逐一判断，前面 3 个可以举反例说明其是错误的，对最后一个要正面分析推理.(2)说明一个命题是假命题，只要列举一个反例即可,如果要说明它是真命题，则要分析推理证明.26已知 ,分别求 f(0)+f(1),f(1)+ f(2),f(2)+ f(3),然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.【答案】见解析27设数列
18、 an满足 a1= ， . 2*12,naN（1）证明：数列 为等比数列，并求数列 an的通项公式；n（2）设 cn=(3n+1)an，证明：数列 cn中任意三项不可能构成等差数列.【答案】 （1） ；（2）见解析.31n【解析】 （1）由条件， ，*112,nnnaN，1*1322,nnnaa由 a1= 知 an0, an+10.得， ，且 ,*12,3nnaN11203a 是首项为 ，公比为 的等比数列. 1na3因此， ，1133nnna . 1n故假设不成立，所以数列 cn中任意三项不可能构成等差数列【名师点睛】本题考查等比数列、等差数列的性质以及应用，涉及反证法的运用，注意用反证法分析，属于难题.（1）根据题意由 ，构造*12naN, 12nna，两式相除即可得 ，由等比数列的1*32na, *13nnaN，定义分析可得答案；（2）用反证法分析：假设存在正整数 ， ， 且 ，使得 ， ， 成等差数列，由lmn1lnlcmn等差数列的定义可得 ，即 ，变形可得 ，分析2312mln3l321l（ ）可得矛盾，即可得证明_
