1、江苏省高考状元笔记第 I 卷 160 分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A、14 题，基础送分题，做到不失一题！A1.集合性质与运算1、性质：任何一个集合是它本身的子集，记为 A；空集是任何集合的子集，记为 ；空集是任何非空集合的真子集；如果 BA，同时 A，那么 A = B如果 C， 那 么， 【注意】： Z= 整数（） Z =全体整数 （）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集 （） 空集的补集是全集若集合 A=集合 B，则 CBA = ， CAB = CS（C AB） = D （ 注 ： CAB = ） 2、
2、若 = 123,na ，则 的子集有 2n个，真子集有 21n个，非空真子集有 2n个.3、 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ；（ ） （ ） （ ） （ ）CBU4、 De Morgan 公式: ()UUCABC； ()UUABC.【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。A2.命题的否定与否命题*1.命题 pq的否定与它的否命题的区别：命题 的否定是 pq,否命题是 pq.命题“ 或 ”的否定是“ 且 ”,“ 且 ”的否定是“ p或 q”.*2.常考模式： 全称命
3、题 p： ,()xM；全称命题 p 的否定 p： ,()xM.特称命题 p： p；特称命题 p 的否定 p： x.A3.复数运算*1.运算律： mnz； ()mnz； 1212()(,)mzznN.【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.*2.模的性质： 122|zz； 12|z； nz.*3.重要结论： 21211|()； 2zz； ii； 1i， i； i性质：T=4； , 4342414nnnni .【拓展】： 32101或 3i2.A4.幂函数的的性质及图像变化规律：(1)所有的幂函数在 (0,)都有定义，并且图 像都过点(1,)；(2) 0a时，幂函数的图像通过原点，并
4、且在 区间,)上是增函数特别地，当 1a时， 幂函数的图像下凸；当 1a时，幂函数的图像上凸；(3) 时，幂函数的图像在区间 (0,)上是 减函数在第一象限内，当 x从右边趋向原点时，图像 在 y轴右方无限地逼近 y轴正半轴，当 x趋于 时， 图像在 x轴上方无限地逼近 轴正半轴【说明】：对于幂函数我们只要求掌握 1,23a的这 5 类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且 1x时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.A5.统计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，
5、主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（ nN）.2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.12yx312yxO数学应试笔记 第 2 页总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). 频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.频率= 样 本 容 量频 数 .小长方形面积=组距 组 距频 率 =频率. 所有小长方形面积的和=各组频率和=1.【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率
6、)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；样本平均数： 121()nixxn4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).(1)一组数据 123,n样本方差 2221()()()nSxxx2111()nnni iii；样本标准差 22221()()()nSxxxn= 21()niix (2)两组数据 123,n 与 123,yy ,其中
7、iab, ,3n .则 yaxb,它们的方差为 2yxa,标准差为 |xa若 1,n 的平均数为 ，方差为 2s，则 12,nxxb 的平均数为axb，方差为 2s.样本数据做如此变换： iib，则 b， ()Sa.B、(59，中档题，易丢分，防漏/多解)B1.线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当 0A时，若 0xByC表示直线 l的右边，若 0AxByC则表示直线 l的左边.（2）当 B时，若 表示直线 l的上方，若 则表示直线 l的下方.2、设曲线 1122:()()CxyAxy（ 12） ，则12()0A或 所表示的平面区域：两直线 11C和 220BC所成的对顶角区域（上
8、下或左右两部分）.3、点 0(,)Pxy与曲线 (),fxy的位置关系：若曲线 (,f为封闭曲线（圆、椭圆、曲线 |xaybm等） ，则 0(),fxy，称点在曲线外部；若 ,)fxy为开放曲线（抛物线、双曲线等） ，则 0(),f，称点亦在曲线“外部”.4、已知直线 :0lABC，目标函数 zAxBy.当 0时，将直线 l向上平移，则 的值越来越大；直线 l向下平移，则 z的值越来越小；当 时，将直线 l向上平移，则 z的值越来越小；直线 l向下平移，则 的值越来越大；5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（1） zaxby，若 0，直线在 y 轴上的截距越大，z 越大，若 0
9、b，直线在 y 轴上的截距越大，z 越小.（2） mxn表示过两点 ,xnm的直线的斜率，特别 yx表示过原点和 ,nm的直线的斜率.（3） 22ty表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.（4） 22yxmn表示 ,xy到点 0,的距离.（5） (cos,i)F；（6） 02AByCd；（7） 2ab；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆 x2+y2=1 上的点)sin,(co及余弦定理进行转化达到解题目的。B 2.三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积
10、化和差公式，万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次， “1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.具体地：（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和” 、 “差” 、 “倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑
11、变形技巧，如下： 2， 2； ， 2；数学应试笔记 第 4 页()()22；22()()()() ；()， ；15430,75430；2等.（2） “降幂”与“升幂” （次的变化）利用二倍角公式 2222cossincos1sin和二倍角公式的等价变形 2sin1， 21，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的互化.（3）切割化弦（名的变化）利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.（4）常值变换常值 321,1可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代换： 2222sincosetant
12、cot2sin30tasinco042xxx等.（5）引入辅助角一般的， 222ic(i)si()babba，期中22cos,sn,tn.特别的， icosi()4AA;sn3n3xx，ics2i()6等.（6）特殊结构的构造构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.举例： 22sin0cos5in0cos5A， 22cos0in5cos0in5B可以通过 1i7,i72BAB两式和，作进一步化简.（7）整体代换举例： sicxmsicxmn()， n()，可求出 sinco,sin整体值，作为代换之用.B 3.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自
13、身的特点(1)角的变换因为在 ABC中， （三内角和定理） ，所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形：三内角都是锐角；三内角的余弦值为正值；任两角和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方.即， sin()ABC； cos()ABC； tant()ABC2co； 2in； 2tco.(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理 面积公式： 1si()()aShbrpapa.其中 r为三角形内切圆半径， 为周长之半tantantn1222ABCA(3)对任意 A， ；在非直角 中， tatntatnatBCABC(4)在 B中，熟记并会证明
14、：*1. ,C成等差数列的充分必要条件是 60*2. A是正三角形的充分必要条件是 ,成等差数列且 ,abc成等比数列*3.三边 ,abc成等差数列 2bac2sinsinABC1tn23A； B.*4.三边 成等比数列 , 3 .(5)锐角 ABC中, 2sinco,sico,sicoAB ， 22abc；sinCC.【思考】：钝角 中的类比结论(6)两内角与其正弦值：在 中， sinabBcos2A，(7)若 CBA，则 22 cosxyzxzByC .B 4.三角恒等与不等式组一 33sin3i4sin,co4sco22 22i s32tat ta()tan()13组二 tnttnttA
15、BCABCsisi4coscs2co1ini2222sinisincsosABCABC组三 常见三角不等式(1)若 (0,)x，则 itanx；数学应试笔记 第 6 页(2) 若 (0,)2x，则 1sinco2x ；(3) |sin|co| ；(4) xf)(在 ),(上是减函数；B5.概率的计算公式：古典概型： ()AP包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数 ；等可能事件的概率计算公式： ()()mcardApnI；互斥事件的概率计算公式： P(A+B) P(A)+P(B)；对立事件的概率计算公式是： P( )=1 P(A)；独立事件同时发生的概率计算公式是： P
16、(AB) P(A)P(B)；独立事件重复试验的概率计算公式是： ()(1)knknnPC(是二项展开式(1 P)+Pn的第( k+1)项).几何概型：若记事件 A=任取一个样本点，它落在区域 g，则 A 的概率定义为()gAA的 测 度 构 成 事 件 的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 等 ）的 测 度 试 验 的 全 部 结 果 构 成 的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 等 ）注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的
17、概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件. 【说明】：条件概率：称 )(|(APB为在事件 发生的条件下，事件 B发生的概率。注意： 0(|)1PBA；P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)。B6. 排列、组合（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：直接法：位 置 分 析 法元 素 分 析 法用 加 法 原 理 （ 分 类 ） 插 入 法 （ 不 相 邻 问 题 ）用 乘 法 原 理 （ 分 步 ） 捆 绑 法 （ 相 邻
18、 问 题 ）间接法：即排除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊位置入手.（2）解排列组合问题的方法有：特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置） 。间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑” ，将特殊元素在这些位置上全排列） 。不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件
19、的元素按要求插入排好的元素之间） 。多排问题单排法。多元问题分类法。有序问题组合法。选取问题先选后排法。至多至少问题间接法。相同元素分组可采用隔板法。涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n组问题别忘除以 !n.B7.最值定理 ,02xyxy由 ，若积 ()P不，则当 xy时和 有最小值 2p； 由 ，若和 yS，则当 是积 x有最大值 14s.【推广】：已知 R,，则有 x2)()(2.（1）若积 xy是定值，则当 |最大时， |yx最大；当 |y最小时， |yx最小.（2）若和 |是定值，则当 y最大时， 最小；当 x最小时， 最
20、大.已知 ,ab，若 1axb，则有： 211()( 2 ()axxybaby ,R，若 则有： 2)()yxabB8.求函数值域的常用方法：配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 ,mn上的最值；二是求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.逆求法：通过反解，用 y来表示 x，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 y的取值范围，型如 ,(,)axbymncd的函数值域；换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函
21、数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；不等式法：利用基本不等式 2(,)abaR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如 )0(kxy，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；分离常数法：对于
22、分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域判别式法：对于形如2112axbcy（ a, 2不同时为 0）的函数常采用此法【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：数学应试笔记 第 8 页1. 2bykx型，可直接用不等式性质；2. mn型，先化简，再用均值不等式；3.2yx型，通常用判别式法；4. n型，可用判别式法或均值不等式法；导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.B9.函数值域的题型(一) 常规函数求
23、值域：画图像，定区间，截段.常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数.(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画图像，定区间，截段。(三) 分式函数求值域 ：四种题型(1) cxdyab (0) ：则 cya且 R.(2) 2：利用反表示法求值域。先反表示，再利用 x 的范围解不等式求 y 的范围.(3) 2361xy：()21()x ，则 1y3且 且 R.(4)求 21yx的值域，当 R时，用判别式法求值域。(2)10yx， 2()4(1)0yy值域.(四) 不可变
24、形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解.(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例 1.当 04x时，求函的数 (82)yx最大值.凑项（加、减常数项）：例 2.已知 5 ，求函数 1()45f的最大值.调整分子：例
25、 3.求函数271()(fxx的值域；变用公式：基本不等式 ab有几个常用变形： 2ab, 2()ab，2ab，22()ab.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例 4.求函数 155yxx的最大值；连用公式：例 5.已知 0ab，求 216()yab的最小值；对数变换：例 6.已知 1,2x，且 xe，求 lnytx的最大值；三角变换：例 7.已知 y ，且 tan3，求 t的最大值；常数代换（逆用条件）：例 8.已知 0,b，且 21b，求 1tab的最小值.B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：平方和为定值若 2xya（ 为定值， a） ，可设 cos,sin,xay，
26、其中 02 . (,)sincos2in()4f 在 1502)4上是增函数，在15,4上是减函数； 1(,)si2gxya在 13570,)4上是增函数，在37,4上是减函数； sinco(,) sxymxya.令 sinco2sin()4ta，其中21,(2t.由 12it，得 1t，从而2(,)()tat在 ,)(,1上是减函数.和为定值若 xyb（ 为定值， 0b） ，则 .ybx 2(,)gx在 (,2上是增函数，在 ,)2上是减函数； 1ymbx.当 时，在 (0,b上是减函数，在,)(2b上是增函数；当 0时，在 (,)2b上是减函数，在 ,0)(2上是增函数. 222,nxyx
27、在 上是减函数，在 ,b上是增函数；积为定值若 c（ 为定值， 0c） ，则 .cyx (,)fxyx.当 时，在 ,0)(上是减函数，在(,c上是增函数；当 时，在 ,)上是增函数；数学应试笔记 第 10 页 11(,)()xycmxyx.当 0时，在 ,0)(c上是减函数，在(,c上是增函数；当 时，在 (,)上是减函数；22 2)()cncx在 上是减函数，在(,0,上是增函数.倒数和为定值若 1xyd（ 为定值， 1,xdy） ，则 .cx成等差数列且均不为零，可设公差为 z，其中 z，则 ,zz得 ,.1dyzz. 2()1fxyd.当 0时，在 (,)(,0上是减函数，在 10,)
28、(,)d上是增函数；当 0时，在 1(,),上是增函数，在 1)(,)d上减函数；2(,).1gxydz.当 0时，在 1(,)(,0上是减函数，在 10,)(,)d上是增函数；当 0时，在 1(,),d上是减函数，在 1)(,)d上是增函数；222(,).nxyz.令 21tz，其中 t 且 2t，从而2,4()dtt在 1,)上是增函数，在 (,)上是减函数.B12.理解几组概念*1. 广义判别式设 ()fx是关于实数 x的一个解析式， ,cab都是与 x有关或无关的实数且 0a，则240bac是方程 2()()0afbfxc有实根的 必要条件，称“ ”为广义判别式. *2. 解决数学问题
29、的两类方法：一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法.*3. 二元函数设有两个独立的变量 x与 y在其给定的变域中 D中，任取一组数值时，第三个变量 Z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 Z称为变量 x与 y的二元函数.记作：(,)Zfxy. 其中 与 称为自变量，函数 Z也叫做因变量，自变量 与 的变域 D称为函数的定义域. 把自变量 、 y及因变量 Z当作空间点的直角坐标，先在 xoy平面内作出函数(,)fxy的定义域 D；再过 域中得
30、任一点 (,)Mxy作垂直于 平面的有向线段 MP，使其值为与 对应的函数值 ；当 M点在 中变动时，对应的 P点的轨迹就是函数 (,)Zf的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域 就是此曲面在 xoy平面上的投影.*4. 格点在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念.*5. 间断点我们通常把间断点分成两类：如果 0x是函数 ()fx的间断点，且其左、右极限都存在，我们把 0x称为函数 ()fx的第一类间断点；不是第一类
31、间断点的任何间断点，称为第二类间断点.*6. 拐点连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.如果 ()yfx在区间 (,)ab内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定 ()yfx的拐点.(1)求 ； (2)令 ()0f，解出此方程在区间 (,)ab内实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根 0x，检查 (fx在 0左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点.*7.驻点曲线 ()fx在它的极值点 0x处的切线都平行于 轴，即 0()f.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点.*8. 凹凸性定
32、义在 D上的函数 ()fx，如果满足：对任意 2,xD1的都有 2 21()()xffxf1 ，则称是 ()fx上的凸函数.定义在 D上的函数如果满足：对任意的 2,1都有2 21()fxf1，则称 ()fx是 上的凹函数 .【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）.若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.B13. 了解几个定理*1. 拉格朗日中值定理:如果函数 ()yfx在闭区间 ,ab上连续，在开区间 (,)ab内可导，那末在 (,)ab内至
33、少有一点 c，使 ()fbafc成立.这个定理的特殊情形，即： ()ff的情形.描述如下：若 在闭区间 ,上连续，在开区间 (,)内可导，且 ，那么在(,)a内至少有一点 c，使 ()0成立.*2. 零点定理：设函数 ）（ xf在闭区间 ,ba上连续，且 ()0fab 那么在开区间 ),(ba内至少有函数)(xf的一个零点，即至少有一点 （ ）使 (f*3. 介值定理：设函数 )(xf在闭区间 ,上连续，且在这区间的端点取不同函数值， BfAf)(,)(，那么对于 BA,之间任意的一个数 C，在开区间 ),(ba内至少有一点 ，使得 C（ a b） *4. 夹逼定理：设当 0| 时，有 ()g
34、x f xh，且 xhxg)(lim)(li00 ，则必有数学应试笔记 第 12 页.)(lim0Axf【注】： 0|x：表示以 0x为的极限，则 |0x就无限趋近于零 （ 为最小整数）C、1012，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力C1.线段的定比分点公式设 1(,)Pxy， 2(,)xy， (,)Px是线段 12P的分点， 是实数，且 12P（或 = 1） ，则 12y12O12()tOt（ 1t）推广 1：当 时，得线段 21P的中点公式：12yx推广 2： MBA则 1BA（ 对应终点向量） 三角形重心坐标公式： ABC 的顶点 321, yxCByxA，重心坐标 yxG,：12
35、3xy注意：在ABC 中，若 0 为重心，则 0O，这是充要条件【公式理解】： *1. 是关键( 1)(内分) 0 (外分) 1 e=1axe()ex 2p asinco,()bNyx的 轨 迹 是 椭 圆特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质” ，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）.1.平移变换向量平移法则： yfx按 ,ahk=()平移得 yfxhk，即 ,0Fxy按 ,ahk=()平移得 ,0Fxhyk，当 0m时，向右平移， 0m时，向左平移.当 n
36、时，向上平移， 0n时向下平移.对于“从f到 f”是“左加右减，上加下减” ，对于平移向量“ ,k()”是“左负右正，上正下负”.【小结】：“按向量平移”的几个结论点 (,)Pxy按向量 (,)ahk平移后得到点 (,)Pxhyk.函数 f的图像 C按向量 (,)ak平移后得到图像 C，则 的函数解析式为yfhk.图像 按向量 (,)平移后得到图像 ，若 的解析式 ()yfx，则 C的函数解析式为 ()fx.曲线 ： ,0y按向量 (,)ahk平移后得到图像 ，则 的方程为 (,)0fxhyk.向量 m按向量 平移后得到的向量仍然为 (,)m.2.翻折变换(1)由 yfx得到 |()|fx，就
37、是把 yfx的图像在 x轴下方的部分作关于 轴对称的图像，即把 轴下方的部分翻到 轴上方，而原来 轴上方的部分不变.(2)由 f得到 |y，就是把 f的图像在 y轴右边的部分作关于 y轴对称的图像，即把 轴右边的部分翻到 y轴的左边，而原来 轴左边的部分去掉，右边的部分不变.3.伸缩变换(1)设点 ,Pxy是平面直角坐标系内的任意一点，在变换 / 0:xy的作用下，点,对应于点 /,xy，函数 fx在变换 /:0xy下得到/ /1yfx(2)将 yf的横坐标变为原来的 a倍，纵坐标变为原来的 m倍，得到 mfa即/ /xaxfymf2pd2bla2bla2bdc2bla2dc数学应试笔记 第
38、20 页4.对称变换(1)函数 ()yfx的图像可以将函数 ()yfx的图像关于 y轴对称即可得到；()轴 f (2)函数 f的图像可以将函数 f的图像关于 x轴对称即可得到；轴xyyf (3)函数 ()yfx的图像可以将函数 ()f的图像关于原点对称即可得到；()原 点ffx (4)函数 f的图像可以将函数 yx的图像关于直线 y对称得到.直 线 yff (5)函数 )2(xafy的图像可以将函数 ()f的图像关于直线 ax对称即可得到；)直 线 2xayf .【注意】：函数图像平移和伸缩变换应注意的问题(1) 观察变换前后位置变化：.函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应
39、的变换.(2) 观察变换前后量变化：直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置；深刻理解圆锥曲线在形和数上的统一.(2)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、 “函数 0kyx”及函数0kyx等）相互转化.(3)理解等轴双曲线 (0,)axbycdbc与反比例函数 x图像的本质联系.(4)应特别重视“二次三项式” 、 “二次方程” 、 “二次函数” 、 “二次曲线”之间的特别联系,理解函数、方程、曲线及不等方程的联系.C 12. 借
40、助图象比较大小C 13.常用的近似计算公式（当 x充分小时）(1) x21； nn1.(2)()()R； x.(3) xe1； xln.(4) si（ 为弧度） ； tan（ 为弧度） ； tanrcx（ 为弧度）.C 14.大小比较常用方法：O1C234y56 1yx2xO3logxy24O1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 作商（常用于分数指数幂的代数式） ；分析法；平方法；分子（或分母）有理化；利用函数的单调性；寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；图像法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.C 15.不定项填空题易误知识点拾遗：(1)情况存在的“个数”
41、问题空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面个.（7个） ；过直线外一点有个平面与该直线平行（无数个） ；一直线与一平面斜交，则平面内有条直线与该直线平行.（0） ；3条两两相交的直线可以确定个平面（1个或3个） ；经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有条（0或1） ；3个平面可以把空间分个部分.（4或6或7或8） ；两两相交的4条直线最多可以确定个平面（6个） ；两异面直线成60，经过空间外一点与它们都成30（45，60，80）的直线有条.（1；2；3；4） ；(2)平面与空间的“区分”问题1.错误的命题垂直于同一条直线的两直线平行；平行于同一直线的两平面平行；平行于同一平面的两直线平
42、行；过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直；两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直2.正确的命题平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行；两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面(3)易误提点： 0ab是 ,为钝角的必要非充分条件 .截距不一定大于零，可为负数，可为零； 常常会是等式不成立的原因， 0模为 0，方向和任意向量平行，却不垂直；在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为 0 的点不一定是极值点，一定要既考虑 0()fx，又要
43、考虑检验 “左正右负”或“ 左负右正” ；直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.C16关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边体 积 面 积 ； 二面角 平面角面 积 线段长； .D、1314，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽D1.熟知几个重要函数数学应试笔记 第 22 页1. ()fxba(1) 0,时， ()fx为“双钩函数”： 定义域： ,0,； 值域为 (,)ba； 奇偶性：奇函数（有对称中心） ； 单调性：在区间 (,)ba上单调递增；在区间 ,0)(上单调递减. 极值： bxa时取到极大值， bxa时取到极小值. 记
44、住 ()f(0,)的图像的草图. 不等式性质： x时， 2(abfx ；0时， )x .(2) 0,ab时， ()fx在区间 0,（ ， ） （ ， ）上为增函数.【思考】：图像大致如何分布.(3)常用地，当 1时， ()1fx的特殊性质略 .【探究】：函数 ()fxba的图像变化趋势怎样？ 2,nffxN的有关性质.2. (0,)axbycadbcyax2abx(0,)yxab2abO 0kykxyb(,)abO化简为， axbycdc定义域： (,)(,)； 值域为 ayc的一切实数；奇偶性：不作讨论；单调性：当 0bc时，在区间 (,)d上单调递增；当 时，在区间 c上单调递减.对称中心
45、是点 (,)dac； 两渐近线：直线 x和直线 acy；【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中 x的系数确定.平移变换： (0,)abycdb可由反比例函数 (0)bcky图像经过平移得到；反函数为 x；【说明】：分式函数 (0,)abycdbc与反比例函数 (0)cyx，离心率均为2，同源于双曲线21x.3.三次函数图像与性质初步*1.定义：形如 )0(23adcxbay的函数叫做三次函数. 定义域为 R,值域为 .*2.解析式：一般式： 32()()fbcx；零点式： 123)(0a*3.单调性：【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性 质，以往在研究二次函数问题时，我们需要考虑的因素：开口 方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两 根符号.在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法.那三次函数 32()(0)fxabxcda的图像及 性质，要从那里入手呢？再结合探究工具“导数” ，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，
