1、易错点 1 分类计数时考虑不全有红、黄、蓝旗各 3 面，每次升 1 面、2 面、3 面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？【错解】每次升一面旗可组成 3 种不同的信号；每次升 2 面旗可组成 326 种不同的信号；每次升 3 面旗可组成 3216 种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同的信号 36615 种 【 错 因 分 析 】 本题中没有规定升起旗子的颜色不同，所以每 次 升 起 2 面 或 3 面 旗 时 ， 颜 色 可 以 相 同 【试题解析】每次升 1 面旗可组成 3 种不同的信号；每次升 2 面旗可组成 339 种不同
2、的信号；每次升 3 面旗可组成 33327 种不同的信号根据分类加法计数原理得，共可组成：392739 种不同的信号【参考答案】39 种.1能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:(1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成 n 类;(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.2使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则3应用分类加法计数原理要注意的问题：（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事（2
3、）完成这件事的 n 类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法（3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏1在 3 名男教师和 3 名女教师中选取 3 人参加义务献血,要求男、女教师都有,则有 种不同的选取方法(用数字作答).【答案】18易错点 2 未选准分步依据将 4 封信投入到 3 个信箱中，共有多少种不同的投法？【错解】第 1 个信箱可能投 1 封信，2 封信，3 封信或 4 封信，共有 4 种投法；同理，第 2 个信箱也有 4
4、种投法，第 3 个信箱也有 4 种投法.根据分步乘法计数原理，共有 种不同的投法.6【错因分析】要完成的一件事是“将 4 封信投入到 3 个信箱中” ，且 1 封信只能投入 1 个信箱，错解中会出现 1 封信同时投入 2 个信箱或 3 个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信” ，而不应该是“信箱”.【试题解析】第 1 封信可以投入 3 个信箱中的任意一个，有 3 种投法;同理，第 2，3，4 封信各有 3 种投法.根据分步乘法计数原理，共有 种投法.4381【参考答案】81 种.对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成的一件事
5、是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.对于本题，若是将 3 封信投入到 4 个信箱中，则共有 种不同的投3464法.1能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:（1）完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可;（2）完成每一步有若干方法;（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.2应用分步乘法计数原理要注意的问题：（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，
6、才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏25 名男生与 5 名女生排成一排,男生甲与男生乙之间有且只有 2 名女生,且女生不排在两端,这样的排列种数为A5760 B57600 C2880 D28800【答案】B【解析】先选 2 名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个复合元素,即 种排法，女生不排在两端,则加上另外的 3 名男生共 4 个选择中选 2 个排在两端，即 种排法，剩下的元素全排列,即 种排法，故有 =57600故选：B易错点 3 忽视排列数、组合数
7、公式的隐含条件解不等式 .28A6x【错解】由排列数公式得 ，化简得 x219 x840，8 x，导mn致错误【试题解析】由 ，得 ，286x8!8!6()(10)xx化简得 x219 x840，解之得 7x12，又Error!2 x8，由及 xN *得 x8.【参考答案】 x8.注意公式的适用条件数学中有许多公式、定理、法则都是有限制条件的，如在排列数公式 A 中，mnnN *， mN *，且 n m，忽视限制条件就可能导致错误1应用排列数、组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条件“ nN *， mN *，且 n m”，即上标不大于下标且均为正整数.2 这个公式体现了排
8、列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.ACn每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.对于排列数公式的连乘形式与阶乘形式,运用时注意把握以下几点：（1）排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数.（2）排列数公式的阶乘形式主要有两个作用：当 m， n 较大时，使用计算器快捷地算出结果；对含有字母的排列数的式子进行变形.注意常用变形 的应用.11A,A(!1)!nnnn3 0CmnkkA B2mn C2mnC D n【答案】D组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的
9、组合数时会用到.组合数公式的阶乘形式主要作用有：(1)计算 m， n 较大时的组合数；(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.易错点 4 重复计数与遗漏计数有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是A1260 B2025C2520 D5040【错解】分三步完成：第 1 步,从 10 人中选出 4 人，有 种方法.410C第 2 步,从这 4 人中选出 2 人承担任务甲，有 种方法.24A第 3 步,剩下的 2 人分别承担任务乙、丙，有 种方法.2根据分步乘法计数原理，不同的选法共有 种.故选 D410C50【错因
10、分析】错解中对“排列” 、 “组合”两个概念掌握不准确.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即 应为 .24AC【试题解析】先从 10 人中选出 2 人承担任务甲；再从余下 8 人中选出 2 人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有 种.故选 C21087C5【参考答案】C计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列” ，不能将二者混淆，若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数.排列问题还要找出排序的依据，看每一种情况是否都考虑进去了.1没有限制条件的排列问题,即对所排列的“元素”或所排列的“位
11、置”没有特别的限制,这一类题相对简单,分清“元素”和“位置”即可.无约束条件的组合问题,只需按照组合的定义,直接列出组合数即可,注意分清元素的总个数及取出元素的个数.有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步.2“在”与“不在”的有限制条件的问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不
12、符合要求的排列数.3解决相邻问题的方法是“捆绑法” ，其模型为将 n 个不同元素排成一排，其中某 k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这 k 个元素“捆绑在一起” ，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，最后利用分步乘法计数原理求解.解决不相邻问题的方法为“插空法” ，其模型为将 n 个不同元素排成一排，其中某 k 个元素互不相邻，求不同排法种数的方法是：先将 个元素排成一排,然后把 k 个元素插入1()knk个空隙中，最后利用分步乘法计数原理求解.4某学校安排甲、乙、丙、丁等 5 位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位
13、同学仅报一科,每科至少有1 位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,丙、丁也不能参加同一学科,则不同的安排方法有 种. 【答案】84易错点 5 要正确区分分堆与分配问题有 12 本不同的书，分成 4 堆.(1)若每堆 3 本，有几种方法？(2)若 4 堆依次为 1 本，3 本，4 本，4 本，有几种分法？(3)若 4 堆依次为 1 本，2 本，3 本，6 本，有几种分法？(只要求列出算式)【错解】(1)有 种分法；396C(2)有 种分法；1428(3)有 种分法3619【错因分析】 A、 B、 C、 D 四本书平均分为两堆，只有 AB， CD； AC， BD； AD， BC 三种分法，而C C
14、 6，显然计数错误，原因是先从 4 本书中选取 AB，再取 CD 和先取 CD，再取 AB 是同一种分法，上24 2述错解犯了相同的错误【试题解析】(1)有 种分法3312964(2)有 种分法13428CA(3)有 种分法12369【参考答案】见试题解析.1分堆与分配问题将一组 n 个不同元素平均分给 A、 B、 C 等不同的单位，每个单位 m 个，可先从 n 个中选取 m 个给 A，再从剩下的 n m 个中选取 m 个给 B，依次类推，不同方法种数为 C C C 个；将一组 n 个不同mn mn m m元素平均分成 k 堆，每堆 m 个，由于某 m 个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同
15、分堆方法数为.CmnCmn mCmk！2 相 同 元 素 分 配 ， 每 单 位 至 少 含 有 一 个 元 素 ， 可 用 插 板 法 ； 相 同 元 素 分 组 ， 按 元 素 最 多 的 组 分 类 ， 用 数数 法 5有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？(1)分成 1 本、2 本、3 本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本；(3)分成每组都是 2 本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每个人 2 本【答案】(1) 60(种)(2) 360(种)(3) 15(种)(4) 90(种).(3)先分三步，则应是 C C
16、C 种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为26 24 2A、 B、 C、 D、 E、 F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为( AB， CD， EF)，则 C C C 种分法中还有( AB， EF， CD)、( CD、 AB、 EF)、( CD、 EF， AB)、( EF， CD， AB)、26 24 2(EF， AB， CD)，共 A 种情况，而且这 A 种情况仅是 AB， CD， EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分3 3法，故分配方法有 15(种)C26C24C2A3(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方法 A C C C 90(种)C
17、26C24C2A3 3 26 24 2易错点 6 混淆项的系数与项的二项式系数若 的展开式中常数项为 1120,则展开式中各项系数之和为 .28()ax【错解】 的展开式中各项系数之和为 .28() 012888CCL【错因分析】错解中误把求展开式中各项系数之和理解为求展开式中二项式系数的和，二者是不同的概念.【试题解析】 的展开式的通项为 ,令 8-2r=0,解得 r=4,28()ax82281 8()()rrrrrTxaax则 (-a2)4=1120,解得 a2=2,故 ，令 x=1,则展开式中各项系数之和为(1-2) 8=1.288()(x【参考答案】1.二项式定理给出的是一个恒等式,对
18、于 a,b 的一切值都成立.因此,可将 a,b 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令 a,b 等于多少时, 应视具体情况而定,一般取“1, 或 0”,有时也取其他值. 1（1）形如( ax b)n，( ax2 bx c)m(a， b， cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可（2）对形如( ax by)n(a， bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y1 即可（3）若 f(x) a0 a1x a2x2 anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0 a2 a4 ，12偶数项系数之和为 a1 a3 a5 .()f1通项公式表
19、示二项展开式中的任意项，只要 n 与 k 确定，该项也随之确定对于一个具体的二项式，它的展开式中的项 Tk1 依赖于 k.2一个二项展开式的第 项的二项式系数是 ，所有的二项式系数是一组仅与二项式的次数 n 有关的Ckn个组合数，与 的取值无关，且是正数；而第 项的系数则是二项式系数 与数字系数的积，1n,ab1Ckn可能为负数.只有当数字系数为 1 时，二项式系数恰好就是项的系数.6已知( x2+ )6的二项展开式中含 x3项的系数为 ,则展开式的常数项为 ,各项的系数和为 a52. 【答案】 ， 15794一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计
20、数原理 分步乘法计数原理条件完成一件事有两类方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法结论完成这件事共有 种不同的方法Nm完成这件事共有 种不同的方法N【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理2两个计数原理的区别与联系原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言区别一每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件
21、事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏（1）利用两个原理解决涂色问题解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题（2）利用两个原理解决集合问题解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有 的子集有123,na个，真
22、子集有 个n1n二、排列1排列的定义一般地，从 n 个不同元素中取出 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中()mn取出 m 个元素的一个排列.确定一个具体问题是否为排列问题的方法：(1)首先要保证元素的无重复性，即是从 n 个不同元素中取出 m(m n)个不同的元素，否则不是排列问题(2)其次要保证元素的有序性，即安排这 m 个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序2解决排列应用问题的步骤：(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题(2)注意对元素或位
23、置有无特殊要求(3)借助排列数公式计算当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”含“至多” 、 “至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法3排列数、排列数公式从 n 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的()mn排列数，用符号 表示.An公式 ，其中 ，且 ，叫做排列数公式.mn(1)2(1)L,mnNn 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个
24、全排列，这时公式中 ，即有n，就是说， n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n()3的连乘积.正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 表示.所以 n 个不同元素的全排列数公式可以!写成 .另外，我们规定 1.A!n0!于是排列数公式写成阶乘的形式为 ，其中 ，且 .Amn!(),mnNn排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列” ，它是具体的一件事，排列数是指“从 n 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数” ，它是一个数.()mn三、组合1组合的定义一般地，从 n 个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m
25、个元素的一()mn个组合.解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点：（1）一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列（2）注意点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法2组合数、组合数公式从 n 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素()mn的组合数，用符号 表示.Cn，其中 ，且 .这个公式叫做组合数公式.A(1)2(1)!mnL,mnNn因为 ，所以组
26、合数公式还可以写成 ，其中 ，且 .另外，mn!() Cn!(),mNn我们规定 .0C1n3组合数的性质性质 1： .Cmn性质 1 表明从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合，与剩下的 个元素的组合是一一对应关系.nm性质 2： .1mmn性质 2 表明从 个不同元素中任取 m 个元素的组合，可以分为两类：第 1 类，取出的 m 个元素中不含某个元素 a 的组合，只需在除去元素 a 的其余 n 个元素中任取 m 个即可，有 个组合；第 2 类，取Cn出的 m 个元素中含有某个元素 a 的组合，只需在除去 a 的其余 n 个元素中任取 个后再取出元素 a即可，有 个组合.1Cn四、二项式
27、定理1二项式定理，这个公式叫做二项式定理，等号右边01()CC()nnknnabababLLN的多项式叫做 的二项展开式，共有 n+1 项，其中各项的系数 叫做二项式() C(0,12,)knnL系数.二项展开式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项：Cknab 1kT 1k.1knT2二项式系数的性质（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式得到.Cmn（2）增减性与最大值.当 时，二项式系数是逐渐增大的；当 时，二项式系数是逐渐12nk 12nk减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当 n 是偶数时，中间的一项的二项式系数
28、最大；当 n2Cn是奇数时，中间的两项的二项式系数 相等且最大.12C,n（3）各二项式系数的和.已知 .令 ，则02()CknnnnxxxL1x.也就是说， 的展开式的各个二项式系数的和为 .0122Cn nnL()ab2n（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 .02131CnnnL求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求 k,再将 k 的值代回通项求解,注意 k 的取值范围（ ）.0,12,knL（1）第 项：此时 k+1=m,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为 0 建立方程.（3）有理项：令通项中“
29、变元”的幂指数为整数建立方程.1五位同学去听同时进行的 4 个课外知识讲座,每个同学可自由选择,则不同的选择种数是A5 4 B5432C4 5 D54【答案】C 【解析】因为每个同学都有 4 个不同的选择方法，所以根据分步乘法计数原理可得不同的选择种数是 45.故选 C2又是一年开学季,学校教务处要对班级进行排课.已知高三(4)班周一有 6 节课,需要排语文、数学、英语、政治、历史和地理,现要求语文与英语要分开,历史与地理要相邻 .则不同的排课方法总数是A32 B36C72 D144【答案】D3设东、西、南、北四面通往山顶的路各有 2、3、3、4 条路，只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多
30、，则应A从东边上山 B从西边上山C从南边上山 D从北边上山【答案】D【解析】任意一面下山，即下山的可能走法已经确定，有 2+3+3+4=12 种，只要上山的走法最多即可，上山只从一面，则应从北边上山.选 D4 （2018 全国新课标理） 的展开式中 的系数为52x4xA10 B20 C40 D80【答案】C5 （2017 全国新课标 II 理科）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有A12 种 B18 种C24 种 D36 种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有
31、 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有 种故选 D24 234CA6【名师点睛】 （1）解排列组合问题要遵循两个原则：按元素(或位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组注意各种分组类型中，不同分组方法的求解6若(3 ax1)5(2x1)3的展开式中各项系数的和为 1,则该展开式中 x2项的系数为A56 B112C168 D224【答案】B 【解析】令 x=1 得(3
32、a1)5(21)3=1,解得 a= ,则(3 ax1)5(2x1)3=(2x1)8,其二项展开式的通项 Tr+1=2(2x)8r(1)r,所以 x2项为 Tr= (2x)86(1)6=4 x2=112x2,所以 x2项的系数为 112.Cr C8C7某学校有 40 名数学教师(按年龄从小到大依次编号为 1,2,40),现从中任意选取 6 人按编号大小分成两组分配到 A,B 两所学校从事支教工作,其中三名年龄较小的教师在一组,三名年龄较大的教师在另一组,那么编号为 8,12,28 的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的选法种数是A220 B440C255 D510【答案】D8已知 ,若 ,则
33、的值为A35 B20C5 D-5【答案】D【解析】令 x=1 可得 ,则 a=1;展开式的通项 ,则92017 年 3 月 22 日,习近平出访俄罗斯,在俄罗斯掀起了中国文化热.在此期间,俄罗斯某电视台记者, 在莫斯科大学随机采访了 7 名大学生,其中有 3 名同学会说汉语,从这 7 人中任意选取 2 人进行深度采访,则这 2 人都会说汉语的概率为A B13 23C D517【答案】D【解析】从这 7 人中任意选取 2 人的选法总数为 两人会说汉语的情况有 种，27C1,23C所以从这 7 人中任意选取 2 人进行深度采访,则这 2 人都会说汉语的概率为1.710 （2017 全国新课标理）
34、展开式中 的系数为61()xxA15 B20C30 D35【答案】C【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其2x是两个二项展开式中的 不同.r11用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字且比 1000 大的奇数共有A36 个 B48 个C66 个 D72 个【答案】D【解析】用 5 个数字组成没有重复数字且比 1000 大的奇数,分为两类:(1)比 1000 大的四位数的奇数:个位只能是 1 或 3,有 2 种取法;因为千位不能是 0,在最后一位取定后只
35、有 3 种取法;剩下的 3 个数排中间两个位置,有 种排法,故符合要求的四位数的奇数共有23 =36(个).(2)五位数的奇数:五位数的奇数都符合要求,共有 23 =36(个).由分类加法计数原理,得共有 36+36=72(个).12数学活动小组由 12 名同学组成,现将这 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案种数为A B 34341296CC 43 D 43【答案】B【解析】将 12 名同学平均分成四组共有 种方案，四组分别研究四个不同课题共有 种方案，第一组选择一名组长有 3 种方案,第二组选择一名组长有 3 种方案,
36、第三组选择一名组长有 3 种方案,第四组选择一名组长有 3 种方案,选择组长的方案共有 34种.根据分步乘法计数原理,可知满足题目要求的种数为 34= 34,故选 B13已知 的展开式中第五项与第七项的系数之和为 ,其中 为虚数单位,则展开式中的常数项为_.【答案】14 （2018 天津卷理）在二项式 的展开式中， 的系数为_512x2x【答案】 .52【解析】结合二项式定理的通项公式有： ，355 211CC2rrrrrTxx令 可得： ，则 的系数为： .352rr2x504【名师点睛】 （1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公
37、式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n， r 均为非负整数，且 n r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解15 （2018 全国新课标 I 卷理）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）【答案】16【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选 3 人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该
38、题还可以用直接法，分别求出有 1 名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.168 个相同的小球排成一排,现要将其涂上红、白两种颜色,若 5 个涂红色,3 个涂白色,且恰好 3 个相邻的小球涂红色,则涂法共有_种. 【答案】24【解析】分步完成.第一步,把 3 个涂红色的小球当成一个整体,插入 3 个涂白色的小球中,共有 4 种方法.第二步,把余下的 2 个涂红色的小球插入,可分为两类,第一类,分开插入,有 3 种方法;第二类,一起插入,有 3 种方法,故共有 4(3+3)=24(种)涂法.17在某项科技实验中,要先后实验 8 个程序,其中程序 A 和 B 在实施时必须相邻,且程
39、序 C 只能出现在第一步或最后一步,则该项实验顺序的所有安排方法的种数为_.(用数字作答). 【答案】2880【解析】第一步,程序 C 有 种不同的安排方法；第二步,将 A 和 B 看成 1 个程序,将这个程序与其他 5 个程序进行全排列,有 种不同的安排方法；第三步,安排 A 和 B 的顺序,有 种不同的方法,根据分步乘法计数原理,则不同的安排方法共有 =2880(种).18有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.
40、【答案】(1)729(种). (2) 120(种). (3) 216(种).19解下列方程：（1） ；（2） .【答案】 （1） x3. （2） x8.【解析】 （1）因为 所以 x3， ，*N由 得(2 x1)2 x(2x1)(2 x2)140 x(x1)( x2).化简得，4 x235 x690，解得 x13， (舍去).所以方程的解为 x3.（2）由 得 ，即 ，化简得 ,解得 .,原方程的解是 .20某兴趣小组有 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,从男、女生中各指定一名队长,现从中选出 5 人到野外考察,求在下列条件下各有多少种选法:(1)至少有一名队长参加;(2)既有队长参加
41、,又有女生参加.【答案】(1) 825 种；(2) 790 种.【解析】(1)方法一：至少有一名队长参加,即有一名队长参加或两名队长参加,所以有 + =825(种)不同的选法.方法二：从 13 人中选 5 人有 种不同的选法,其中不符合条件的选法有 种,所以有 - =825(种)不同的选法.(2)女队长参加,有 种不同的选法;女队长不参加,有 + + + =295(种)不同的选法.所以共有 +295=790(种)不同的选法.21设(5 x- )n的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,求展开式中二项式系数最大的项.【答案】150 x3.22已知集合 A=x|1l
42、og2x3,xN *,B=4,5,6,7,8.(1)从 A B 中取出 3 个不同元素组成三位数,求不同三位数的个数;(2)从集合 A 中取出 1 个元素,从集合 B 中取出 3 个元素,可以组成多少个无重复数字且比 4000 大的自然数?【答案】(1)120；(2) 300【解析】由 1log2x3,得 2x8,又 xN *,则 A=3,4,5,6,7.(1)A B=3,4,5,6,7,8.从 A B 中取出 3 个不同元素,可以组成 =120(个)不同的三位数.(2)比 4000 大的四位数,从集合 A 中取 1 个元素,若取数字 3,则有 =180(个);若不取数字 3,则有 =120(
43、个).所以满足条件的不同自然数共有 180+120=300(个).23在二项式 的展开式中,(1)写出其中含 的项;(2)如果第 项和第 项的二项式系数相等,求 的值.【答案】(1) ；(2) 1.24在一个盒中装有 6 支钢笔,其中 3 支是一等品,2 支是二等品和 1 支是三等品,从中任取 3 支.问下列事件的概率有多大?(1)恰有一支是一等品;(2)恰有两支是一等品;(3)没有三等品.【答案】(1) ；(2) ；(3) .9 20 1 2【解析】(1)恰有一支是一等品的概率为 P= ；1236C90(2)恰有两支是一等品的概率为 P= ；2136(3)没有三等品的概率为 P= .356C2_
