1、简谐振动1教学目标 1.掌握简谐振动的定义、表达方式、简谐振动的合成方法；了解自由、阻尼、强迫等各类简谐振动的特点和规律。2.掌握振动和波的关系、波的相干条件、叠加原理、驻波的形成条件、驻波的振幅、相位和能量的空间分布，半波损失。3.学会建立波动方程。教学难点 多自由体系的小振动第十一章 机械振动振动是指物体或系统在其平衡位置附近的往复运动。(例子：物体位置、电流强度、电压、电场强度、磁场强度等) 。物体或系统质点数是无穷的，自由度数也是无穷的，因此存在空间分布和时间分布，需要用偏微分方程描述 (如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或未知函数与几个变量有关，而且未知函数对应几个变量的导数，
2、那么这种微分方程就是偏微分方程。例如弦包含很多的质点，不能用质点力学的定律研究，但是可以将其细分成若干个极小的小段，每小段可以抽象成一个质点，用微分的方法研究质点的位移，其是这点所在的位置和时间变量的函数，根据张力，就可以建立起弦振动的偏微分方程) 。一、简谐振动(单自由度体系无阻尼自由小振动)虽然多质点的振动要用偏微分方程描述，但是我们可以简化或只考虑细分成的每一小段，那么就成为单质点单自由度(只需一个坐标变量)的振动。(振幅) 、 (初相位 )都是积分常数， 为倔强系数。2222, 0cos():itFkkxaxmdtxAei， 令特 征 方 程特 征 根 ： Ak在微分方程中所出现的未知
3、函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶。形如 的方程为线性方程，其特点是它关于未知函数 及其导数 都是()dxPtQx xdxt一次的。若 ，则 称为齐次的线性方程。0()0dPtx二阶常系数齐次线性微分方程的解法： 12121,212cosintttexitt 由 cos()sn()xAtvA按周期定义， ，同时满足以上两方程的i()itTt简谐振动2的最小值应为 ，所以 ，于是 ， 称为圆频率或角频率。不像T2pw2T=1,2Tnwp=、 ，由初始条件决定， 由固有参量 和 决定，与初始条件无关，故称为振子的固Akm有频率。简谐振动的状态的物理量位置和速度随时间变化，但只要 相同，振动的t状
4、态就相同，所以 是决定振动状态的物理量，称为位相。 是位相的变化速率，t单位是弧度/秒。由于复数平面上任一点对应一个矢量，还可以用一个旋转矢量来描述简谐振动。在相空间中，简谐振动由一条椭圆曲线所描述：位移和动量 cos(),sin()xAtpmvAt满足椭圆方程 221()举例：单摆的摆动弹簧振子和单摆都是在弹性力或准弹性力作用下作简谐振动的保守系统，称为谐振子。由于弹性力是保守力，简谐振动中机械能是守恒的，于是 22221cos(),sin()in,1pkpkExkAtpmAtkm振动的合成与分解同方向、同频率的两简谐振动的合成(矢量法) 312123iiiitxxAeeI. 则 ，即当两分
5、振动的相位差为 的偶数倍时，21,0,kjp-= 12=+p合振动的振幅为两分振动振幅之和。II. 则 ，即当两分振动的相位差为 的奇()21,j-+ 12-数倍时，合振动的振幅为两分振动振幅之差。III. 为一般值，则 。21j-1212AA-+同方向、不同频率的两简谐振动的合成(三角函数法) 参见拍简谐振动3振动方向垂直的两谐振动的合成(三角法、计算机法)单自由度体系的小振动4()()2121212121122 2211221coscossincoscoscsinsocosinssincsixttAyxtyxytAAxtjwjjwjjjjjjjjjjjjjjwjjwj =-+-=-=()(
6、)()12212121122 22112212112niiossnsinicicossincosinco()ityxtAyxytAxxjjjjjjjjjjjjjjjwjjj-+-=- -若频率比为简单整数比，则合成曲线是稳定的封闭的，运动也具有周期性，其轨迹称为李萨如图形。I. 若 ，则210j-=21AyxII. 若 2211,jp-III. 若2211,xyAj-=+=IV. 若22113,pj-二、单自由度体系的小振动单自由度指只需要一个坐标就可以确定系统的位置。1. 自由振动势能 在平衡位置 附近展开得()Vq0q0 02201()()()qqdVdV1122 2cs(),cs()in
7、, intyAtytj jjj+-=-单自由度体系的小振动5第一项为常数，可取为势能的零点。因在稳定平衡位置势能取驻值(导数为 0 的点称为函数的驻点，在驻点取得的函数值为驻值，而极值点 是指函数在邻域 )内，0x,x是函数的最大值或最小值)，第 2 项中的一阶导数为零。记0fx 021qdVkx得 21Vk考虑到对稳定约束 ，根据 ，可得动能0triiiqtr22220111(),()ii ii iii i iiiTmqmqmqt ttTaqxaq 、rrr于是拉氏函数 。代入拉氏方程得21LTVmkx200x、其中 为振动频率。上述方程有自由振动解： 。 为振幅，k cosAtA为初相位。
8、附注：拉格朗日方程(1-1)(1-2),22222211 1(,)() ()iiiiii NNiiiimxyYzZTmxyzmxyz如果讨论是“保守力系”(指力学系统中的力所作之功，仅与起末位置有关，而与具体路径无关。具有此性质的力场，一定可以引入一位置函数 ，而此力所作之功为(,)Vz，按功与路径无关的性质， 应为一全微分xyzFddVd，两式比较得 ，由此得Vz,iiiiVYZxyziiiiidmdTxtxtt单自由度体系的小振动6到 (1-6)于是，由(1-1) 得 0,0,0iiiiiidTVdTVdTVtxtytz引入拉格朗日函数 ，可将11(,)NNLxzxyxyzTV (1-6)
9、式写成(1-7)将方程(1-7) 的直角坐标 换成广义坐标，即得描述具有 个自由度系统的拉氏方程。,xyzs0(1,2)iidLitq2. 阻尼振动当速度不大时，阻力与速度的一次方成正比，方向相反，即 -bR=x运动方程变为 ，即m+kbx=-(1-8)20+ 其中 ，令 ，代入(1-8)，得 ，解出 ，其中btAe2i=(因为阻尼系数 通常很小) 。于是22=(1-9)2costxAet当存在阻尼时，解是随时间减小的。3. 受迫振动若系统除存在阻尼外，还有固有性外力(策动力) ， ，则运动方程变为()cosFtt=s+bkx即 (1-10)2ft其中 ，式(1-10)的通解可写成一个特解与相
10、应的齐次方程的通解(1-9) 之和。后者随Ffm时间衰减，逐渐趋向于零。其特解试探形式为 cosxAt代入(1-10) 得可解得2sininco0f0(,2)iidit单自由度体系的小振动722 42222 2222 2222 22-cos-in -i-cos-sinsin-insinsin-css- -ffA 22-1*2 24- -122cosin0-,- -coscos-in0intan-jijiAfMtrape ffAAf 2art-当 时，发生共振，振幅为 。f举例 1：弦振动方程弦上取一段微元 ，在任一时刻 这一段弦所受诸力应当平衡，即张力+惯性,xt力+ 外力=0。惯性力： 22
11、(,)(,)xutuxtd外力： (,)(,)xftft， 均为 中的点。张力：惯性力和外力均垂直于 轴，故张力在 方向的投影的代数和为零。xx， 是张力 的方向与水平方向的夹角211 21222()cos()cs0|tancos |1txxTxTu1()Tx多自由度体系的小振动8张力在 轴方向的分量为u211122 2sinita|si|,xFTuututuFTTxtxxx于是22(,),(,)0xttft两端除以 ，并令 ，即得0222(,)uTafxtat 、举例 2：平面电磁波的波动方程麦克斯韦方程组及电流连续性方程。vv=+t0=-t BE-DHJJ同理第一个方程指时变磁场激发感应电
12、场和自由电荷激发库仑电场。第二个方程指磁场强度 沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流 (传导电流的代数和)，对静态场HI，它化为安培环路定律。此方程也表明磁场存在着漩涡源 。第三个方程的 包0tD JD括库仑电场，也包括感应电场，感应电场不是起源于电荷，取 ，从而得 ，00=是无散场。三、多自由度体系的小振动自由振动 2001()0VVVqqq()()()2222=t tttttttmmere-=+=+- EEBHDJJE22te- J多自由度体系的小振动92011()2VkkqTaq将 在平衡位置展开，只保留零阶项，并记()aq 1(0)2maTmq于是体系的拉氏函数为 12LTVk代入
13、拉氏方程 ，得0(,)iidistq(因为 是相互作用的)mkqq、写成矩阵形式为：(1-11)12112112 2212120 , ,s ssssssMKkkqMm 设(1-11)有形式解代入式(1-11)得 ，即12()ititsAqee2()0MKA(1-12)2221111122221 0sssssssssmkkmkA 这是一个关于 的线性齐次方程组，称为本证方程。它具有非零解的条件是系数,A行列式为零，即多自由度体系的小振动10(1-13)2det()0mk该方程称为本证值方程，从它可解出 个 ，可以证明它们全是正的。s对每个 ，存在 两个频率值，所以解可写成2或()ititqAe(
14、)cos)qAt考虑方程(1-13)解得 个非负 值就行了。将它们依次记为 ，并称之为简正频率。s 1,s对每一个简正频率 ，可从方程(1-12)解出一组振幅 ，它们对应于一组广l 1,lsl义坐标的解 1122cos()llllslslqAt或简记为(1-14)collllqAt如果把 看作是 维笛卡尔坐标空间中的矢量，则可以引入它们以 (或 )为(1,)lAs MK度规矩阵的内积 ,lmlmM和矢量 的长度lA,lllA与 对应的单位矢量为l llaA可以证明，总可适当选取矢量 ，使它们彼此正交，即l,lml相应的单位矢量是正交归一的，即 ,llma其中 为克龙尼克(Kroneck)记号。
15、lm机械波11方程(3-11) 的通解为各频率成分(3-14) 的线性叠加，即(1-15)()cos)lllllqCAt引入简正坐标 cos()(1,)llllts每个简正坐标以单一的简正频率振荡。于是方程(1-15)可写成矩阵形式 11121222212 slss sssqAA 可简记为 ，即广义坐标与简正坐标相差一线性变换。1qq、可以证明矩阵 使矩阵 和 同时对角化AMKTA根据以上两式，体系的动能和势能可分别写成 21122TTTllqVKA 于是拉氏函数 221llLT代入拉氏方程，得 200ll ll、其中 为简正频率。上面的方程表明若一开始就采用简正坐标，则运动方程是退ll耦的。
16、第十二章 机械波声波需要介质才能传播，真空中不能传播声波；电磁波却可以在真空中传播；光即具有粒子性也有波动性。虽然各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，即它们都有类似的波动方程。机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，波分为横波(transverse wave)和(longitudinal wave)。声波是纵波，又称疏密波；琴弦波、电磁波(电场、磁场和波的传播方向互相垂直)是横波。机械波12横波和纵波的形成条件：振源+弹性介质1. 沿直线传播的简谐波对于质点很多的多自由度体系，或者单质点多自由度，未知函数是多个变量的函数，需要用偏微分方程来描述波动方程。沿 轴正方向传播的平面简谐波，如图所
17、示，x在原点 处有一质点作简谐振动，方程为Ocos()yAt沿 轴正方向上取一点 ，它距 点的距离为 ，xPOx当振动从 点传播到 点时， 点在 时刻的位移为t cos()cos()cosxyt ryAtkxus2()2()txrAtT 2. 平面波和球面简谐波若在空间的任一方向 传播的平面波，则 。平面波的等相位面是kcosAtkr一个平面，故称平面波，等相位面又称波阵面。波阵面上任一点 处的相位应与 点的相P位相同，而 点与 点的相位差为 ，球面波可表示为POkrcstr它的振幅随球面半径增大而减小。3. 简谐波的波动方程(1).沿直线传播的波动方程分别对 关于 和 的偏导数cos()yA
18、tkxt2 222 222cs()oytkxyt tkxvtxykvx (2).平面简谐波波动方程 221ssvtxyz4. 叠加原理设有两列波 ，一个沿 轴1122cosxAtkzyz传播，一个沿 轴传播，它们在某点相遇，波的叠加原理y指出：(1).除相遇外，各点的振动仍由上式给出。机械波13(2).在相遇点，几列波互不影响，各自给出自己的一份贡献，使该点作合成运动。若对几列波给予一定的条件，可使得叠加结果简单(几列简谐波在相遇点合成仍为谐振动)、稳定(相遇点的振幅不随时间变化)。叠加原理并不是普遍成立的，只有当波的强度较小时，它才正确。这些条件是几列波振动方向相同。几列波的频率相同。几个波
19、源的相位差恒定。上述特殊条件下的叠加称为“相干叠加”或“干涉” 。对于以上参与合成的几列波所加的条件称为“相干条件” 。令 110220cos,cosxAtkrxAtkr21 211002022110202cssincsoincoiiinxtkrtkrtkrAAt 令 10120ssAkrkrcos=02ininAAi21121210001122cos()csininkrkrtg201()r可以通过矢量的加法来求得：A22 212122212111122121cosssinsicoiniicoss()AAAA注：波长或相位波长是指波在一个振动周期内沿波的传播方向传播的距离。或者说波在传播方向上
20、空间相位 变化 所经历的距离。kz5. 驻波在同一介质中两列频率、振动方向相同，而且振幅也相同的简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时就叠加形成驻波。驻波方程：机械波141 22cos,cos2cos2xxyAtyAt xttAt (1)振幅的空间分布波腹： cos1,01,42xxnxn波腹间距： 2,01,4n波节： cos0(),01,22()4nxxxn波节间距： 14(2) 相位的空间分布在某一时刻 ， 是确定的，因此相位由 的符号确定。在波节两侧的点振tcos2tcos2x动相位相反，而在相邻两个波节之间各个点振动相位相同。(3)能量的空间分布单列直线波单位时间穿过固定点 的能量密度
21、 ，对于驻波有x2sin()Itkx22 2sin()sin()sicococosicos4iiIItktktxxtttk无论在波节点 和波腹点 ，都有 。s0k1k0I6. 半波损失当反射波相对于入射波有 的相位突变的现象称为半波损失(half-wave loss)。p一般机械波在两种介质的分界处反射时是否会发生半波损失现象与波在两种介质中的传播速度和两种介质的密度决定。其成绩称为波阻(wave resistance)： 。波阻较大的介vr质称为波密介质，反之，称为波疏介质。定量研究表明，当波从光疏介质垂直入射到光密介质时，会发生半波损失现象，在入射点处形成波节；反之，不发生半波损失现象，在入射点处形成波腹。7. 多普勒效应
