2019高考数学一轮复习 第7章 不等式及推理与证明练习（打包8套）理.zip

1专题研究1 一元二次方程根的分布1．若一元二次方程kx 2＋3kx＋k－3＝0的两根都是负数，则k的取值范围为________．答案 (－∞，－ ]∪(3，＋∞)125解析 依题意可知 解得k≤－ 或k3.{Δ ≥ 0，k－ 3k 0， ) 1252．一元二次方程kx 2＋3kx＋k－3＝0有一个正根和一个负根，则k的取值范围为________．答案 (0，3)解析 依题意有 1，f（ 1） 0) {112－ 4（ m－ 2） ≥ 0，m－ 120 ) 12945．若一元二次方程mx 2－(m＋1)x＋3＝0的两个实根都大于－1，则m的取值范围为________．答案 m－ 1，Δ ≥ 0，mf（ － 1） 0) 66．若一元二次方程mx 2－(m＋1)x＋3＝0的两实根都小于2，则m的取值范围为________．答案 m0， ) 12 67．已知方程x 2＋2mx＋2m 2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，则m的取值范围为________．答案 －1－ 0，－ m－ 22 0，f（ 1） 0，00，f（ 1） 0. ) 3 1211．若方程x 2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k的取值范围为________．答案 0f（ 1） 0) 12 2312．已知关于x的方程(m－1)x 2－2mx＋m 2＋m－6＝0的两根为α，β且0α1β，则m的取值范围为________．答案 －3m－ 或2m7 7解析 由题意得，应满足 解得－3m－ 或2m .{f（ 0） f（ 1） 0（ m－ 1） f（ 1） 0) 7 71专题研究2 数学归纳法1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n－3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )12A．1 B．2C．3 D．0答案 C解析 边数最少的凸n边形是三角形．2．(2017·山东德州一模)用数学归纳法证明1＋2＋2 2＋…＋2 n＋2 ＝2 n＋3 －1，在验证n＝1时，左边的式子为( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋2 2 D．1＋2＋2 2＋2 3答案 D解析 当n＝1时，左边＝1＋2＋2 2＋2 3.故选D.3．用数学归纳法证明不等式1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N *)成立，其初始值至少应取( )12 14 12n－ 112764A．7 B．8C．9 D．10答案 B解析 1＋ ＋ ＋…＋ ＝ ，整理得2 n128，解得n7.12 14 12n－ 11－ 12n1－ 1212764∴初始值至少应取8.4．设f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N *)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )12 13 13n－ 1A. B. ＋13n＋ 2 13n 13n＋ 1C. ＋ D. ＋ ＋13n＋ 1 13n＋ 2 13n 13n＋ 1 13n＋ 2答案 D5．用数学归纳法证明3 4n＋1 ＋5 2n＋1 (n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于3 4(k＋1)＋1 ＋5 2(k＋1)＋1 可变形为( )A．56·3 4k＋1 ＋25(3 4k＋1 ＋5 2k＋1 ) B．3 4·34k＋1 ＋5 2·52kC．3 4k＋1 ＋5 2k＋1 D．25(3 4k＋1 ＋5 2k＋1 )答案 A解析 因为要使用归纳假设，必须将3 4(k＋1)＋1 ＋5 2(k＋1)＋1 分解为归纳假设和能被8整除的两部分．所以应变形为56·34k＋1 ＋25(3 4k＋1 ＋5 2k＋1 )．26．若数列{a n}的通项公式a n＝ ，记c n＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n)，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推1（ n＋ 1） 2测c n＝__________．答案 n＋ 2n＋ 1解析 c 1＝2(1－a 1)＝2×(1－ )＝ ，14 32c2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×(1－ )×(1－ )＝ ，14 19 43c3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×(1－ )×(1－ )×(1－ )＝ ，14 19 116 54故由归纳推理得c n＝ .n＋ 2n＋ 17．设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的自然数n都有：(S n－1) 2＝a nSn.(1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n的表达式并证明．答案 (1)S 1＝ ，S 2＝ ，S 3＝ (2)Sn＝ ，证明略12 23 34 nn＋ 1解析 (1)由(S 1－1) 2＝S 12，得S 1＝ ；12由(S 2－1) 2＝(S 2－S 1)S2，得S 2＝ ；23由(S 3－1) 2＝(S 3－S 2)S3，得S 3＝ .34(2)猜想：S n＝ .nn＋ 1证明：①当n＝1时，显然成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N *)时，S k＝ 成立．kk＋ 1则当n＝k＋1时，由(S k＋1 －1) 2＝a k＋1 Sk＋1 ，得S k＋1 ＝ ＝ ＝ .12－ Sk 12－ kk＋ 1 k＋ 1k＋ 2从而n＝k＋1时，猜想也成立．综合①②得结论成立．8．已知函数f(x)＝x－sinx，数列{a n}满足：00，所以f(x)在(0，1)上是增函数．3又f(x)在[0，1]上连续，从而f(0)0，所以a k－a k＋1 2(n＋1)·n.故 ＋ ＋…＋1a1＋ b1 1a2＋ b2 1an＋ bn ＋ ( ＋ ＋…＋ )16 12 12×3 13×4 1n（ n＋ 1）＝ ＋ ( － ＋ － ＋…＋ － )16 1212 13 13 14 1n 1n＋ 1＝ ＋ ( － ) ＋ ＝ .16 1212 1n＋ 1 16 14 5121．用数学归纳法证明不等式 ＋ ＋…＋ ＞ 的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增1n＋ 1 1n＋ 2 1n＋ n 1324加的式子是________．答案 1（ 2k＋ 1） （ 2k＋ 2）解析 不等式的左边增加的式子是 ＋ － ＝ ，故填 .12k＋ 1 12k＋ 2 1k＋ 1 1（ 2k＋ 1） （ 2k＋ 2） 1（ 2k＋ 1） （ 2k＋ 2）2．用数学归纳法证明：对任意的n∈N *， ＋ ＋…＋ ＝ .11×3 13×5 1（ 2n－ 1） （ 2n＋ 1） n2n＋ 1答案 略解析 (1)当n＝1时，左边＝ ＝ ，右边＝ ＝ ，左边＝右边，所以等式成立．11×3 13 12×1＋ 1 13(2)假设当n＝k(k∈N *且k≥1)时等式成立，即有＋ ＋…＋ ＝ ，11×3 13×5 1（ 2k－ 1） （ 2k＋ 1） k2k＋ 1则当n＝k＋1时，＋ ＋…＋ ＋11×3 13×5 1（ 2k－ 1） （ 2k＋ 1） 1（ 2k＋ 1） （ 2k＋ 3）＝ ＋ ＝k2k＋ 1 1（ 2k＋ 1） （ 2k＋ 3） k（ 2k＋ 3） ＋ 1（ 2k＋ 1） （ 2k＋ 3）＝ ＝ ＝ ，2k2＋ 3k＋ 1（ 2k＋ 1） （ 2k＋ 3） k＋ 12k＋ 3 k＋ 12（ k＋ 1） ＋ 1所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N *等式都成立．3．(2017·湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x)＝ x3－x，数列{a n}满足条件：a 1≥1，a n＋1 ≥f′(a n＋1)．试比13较 ＋ ＋ ＋…＋ 与1的大小，并说明理由．11＋ a1 11＋ a2 11＋ a3 11＋ an答案 ＋ ＋ ＋…＋ 111＋ a1 11＋ a2 11＋ a3 11＋ an6解析 ∵f′(x)＝x 2－1，a n＋1 ≥f′(a n＋1)，∴a n＋1 ≥(a n＋1) 2－1.∵函数g(x)＝(x＋1) 2－1＝x 2＋2x在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1) 2－1≥2 2－1，进而得a 3≥(a 2＋1) 2－1≥2 4－1＞2 3－1.由此猜想：a n≥2 n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a 1≥2 1－1＝1，结论成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N *)时结论成立，即a k≥2 k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1) 2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知，ak＋1 ≥(a k＋1) 2－1≥2 2k－1≥2 k＋1 －1，即n＝k＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n∈N *，都有a n≥2 n－1.即1＋a n≥2 n，∴ ≤ .11＋ an 12n∴ ＋ ＋ ＋…＋ ≤ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－( )n＜1.11＋ a1 11＋ a2 11＋ a3 11＋ an 12 122 123 12n 121第1课时 不等式与不等关系1．(2018·北京大兴期末)若ab，则下列不等式成立的是( )A．a 2b2 B. 0 D．( )a1，lg(a－b)＝0，可排除A，B，C三项．故选D.ba3．设a∈R，则a1是 1，则 1或a1⇒ 1，故选A.1a 1a 1a 1a4．若a，b为实数，则 ＜ 成立的一个充分而不必要的条件是( )1a 1bA．b＜a＜0 B．a＜bC．b(a－b)＞0 D．a＞b答案 A解析 由ab⇒ ＜ 成立的条件是ab＞0，即a，b同号时，若a＞b，则 ＜ ；a，b异号时，若ab，则 ＞ .1a 1b 1a 1b 1a 1b5．(2017·广东东莞一模)设a，b∈R，若a＋|b|0 B．a 3＋b 30C．a 2－b 2b ，∴b1，∴00 B．2 a－b 1C．2 ab2 D．log 2(ab)log a，B不对；1212ab0⇒a2ab，D不对，故选C.9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A．甲先到教室 B．乙先到教室C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定答案 B解析 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然00，sv1 sv2 4sv1＋ v2 s（ v1＋ v2） 2－ 4sv1v2v1v2（ v1＋ v2） s（ v1－ v2） 2v1v2（ v1＋ v2）故 ＋ ，故乙先到教室．sv1 sv2 4sv1＋ v2310．(2018·浙江台州一模)下列四个数中最大的是( )A．lg2 B．lg 2C．(lg2) 2 D．lg(lg2)答案 A解析 因为lg2∈(0，1)，所以lg(lg2)lg2( －lg )＝0，212 12 10即lg (lg2)2；2lg2－lg ＝ lg20，即lg2lg .212 2所以最大的是lg2.11．设a＝log 36，b＝log 510，c＝log 714，则( )A．cba B．bcaC．acb D．abc答案 D解析 a＝log 36＝1＋log 32，b＝log 510＝1＋log 52，c＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log 3x，y＝log 5x，y＝log 7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知abc，故选D.12．已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，且xyz0，设M＝ ＋ ＋ ，则( )1x 1y 1zA．M0 B．M0，∴x≠0，y≠0，z≠0.又∵x＋y＋z＝0，∴x＝－(y＋z)，M＝ ＋ ＋ ＝ ＝1x 1y 1z yz＋ xz＋ xyxyz＝ ＝ .∵－y 2－z 2－yz＝－[(y＋ z)2＋ z2]0，∴yz＋ x（ y＋ z）xyz yz－ （ y＋ z） （ y＋ z）xyz － y2－ z2－ yzxyz 12 34M1，b1，b0，∴(1－a)(1－b)0，b0，则不等式－b0，∴ ∈(－b，a)＝(－b，0)∪{0}∪(0，a)．1x∴x∈(－∞，－ )∪( ，＋∞)．1b 1a16．设abc0，x＝ ，y＝ ，z＝ ，则x，y，z的大小顺序a2＋ （ b＋ c） 2 b2＋ （ c＋ a） 2 c2＋ （ a＋ b） 2是________．答案 zyx解析 方法一(特值法)：取a＝3，b＝2，c＝1验证即可．方法二(比较法)：∵abc0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c＋a) 2－a 2－(b＋c) 2＝2c(a－b)0，∴y 2x2，即yx.z2－y 2＝c 2＋(a＋b) 2－b 2－(c＋a) 2＝2a(b－c)0，故z 2y2，即zy，故zyx.17．已知a＋b0，比较 ＋ 与 ＋ 的大小．ab2 ba2 1a 1b答案 ＋ ≥ ＋ab2 ba2 1a 1b解析 ＋ － ＝ ＋ ＝ab2 ba2 (1a＋ 1b) a－ bb2 b－ aa2(a－b) ＝ .(1b2－ 1a2) （ a＋ b） （ a－ b） 2a2b2∵a＋b0，(a－b) 2≥0，∴ ≥0.（ a＋ b） （ a－ b） 2a2b2∴ ＋ ≥ ＋ .ab2 ba2 1a 1b18．已知a0且a≠1，比较log a(a3＋1)和log a(a2＋1)的大小．答案 log a(a3＋1)log a(a2＋1)解析 当a1时，a 3a2，a 3＋1a 2＋1.又y＝log ax为增函数，5所以log a(a3＋1)log a(a2＋1)；当0log a(a2＋1)．综上，对a0且a≠1，总有log a(a3＋1)log a(a2＋1)．1．(2016·山东)已知实数x，y满足a xln(y 2＋1) B．sinxsinyC．x 3y3 D. 1x2＋ 1 1y2＋ 1答案 C解析 方法一：因为实数x，y满足a xy.对于A，取x＝1，y＝－3，不成立；对于B，取x＝π，y＝－π，不成立；对于C，由于f(x)＝x 3在R上单调递增，故x 3y3成立；对于D，取x＝2，y＝－1，不成立．选C.方法二：根据指数函数的性质得xy，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A、D中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C中的不等式成立．2．(2017·北京平谷区质检)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab0，bc－ad0，则 － 0；ca db②若ab0， － 0，则bc－ad0；ca db③若bc－ad0， － 0，则ab0.ca db其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析 对于①，∵ab0，bc－ad0， － ＝ 0，∴①正确；对于②，∵ab0，又 － 0，即 0，∴②ca db bc－ adab ca db bc－ adab正确；对于③，∵bc－ad0，又 － 0，即 0，∴ab0，∴③正确．ca db bc－ adab3．(2017·浙江温州质检)设a，b∈R，则“a1，b1”是“ab1”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A6解析 a1，b1⇒ab1；但ab1，则a1，b1不一定成立，如a＝－2，b＝－2时，ab＝41.故选A.4．(2017·湖北黄冈质检)已知xyz，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是( )A．xyyz B．xzyzC．xyxz D．x|y|z|y|答案 C5．下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是( )A．ab＋1 B．ab－1C．a 2b2 D．a 3b3答案 A解析 ①由ab＋1，得ab＋1b，即ab.而由ab不能得出ab＋1，因此，使ab成立的充分不必要条件是ab＋1；②B是非充分必要条件；③C是非充分也非必要条件；④D是充要条件，故选A.6．若a，b，c∈R，ab，则下列不等式成立的是( )A．a 2b2 B．a|c|b|c|C. 1a1b ac2＋ 1 bc2＋ 1答案 D解析 方法一：(特殊值法)令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，C均错，故选D.方法二：(直接法)∵ab，c 2＋10，∴ ，故选D.ac2＋ 1 bc2＋ 17．如果a，b，c满足cac B．c(b－a)0C．cb 20答案 C解析 由题意知c0，则A，B，D一定正确，若b＝0，则cb 2＝ab 2.故选C.8．已知ab0，且ab＝1，设c＝ ，P＝log ca，N＝log cb，M＝log c(ab)，则有( )2a＋ bA．Pb0，且ab＝1，所以a1，02 ＝2，0bc2；② ；③a 2b2，其中能成为ab的充分条件的是________．acbc7答案 ①解析 由ac 2bc2可知c 20，即ab，故“ac 2bc2”是“ab”的充分条件；②当cb的充分条件．10．(2017·皖南七校联考)若a B．2 a2b1a1bC．|a||b| D．( )a( )b12 12答案 B解析 由a0，因此a· 成立；由a－b0，因此|a||b|0成立；又y＝( )x是1ab 1ab 1a1b 12减函数，所以( )a( )b成立．12 1211．已知m1，a＝ － ，b＝ － ，则以下结论正确的是( )m＋ 1 m m m－ 1A．ab B．a＝bC．a ＋ ，所以a0，∴abab 2.∵a－ab 2＝a(1－b 2)0，b0，则a＋ba－b≥1，此时(a＋b)·(a－b)1，这与“a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)＝1”相矛盾，因此a－b1，因此②不正确．对于③，取a＝9，b＝4，有| － |＝1，但此时|a－b|＝51，因此③不正确a b8．对于④，由|a 3－b 3|＝1，得|a－b|(a 2＋ab＋b 2)＝1，|a－b|(a 2＋ab＋b 2)|a－b|·(a 2－2ab＋b 2)＝|a－b|3，于是有|a－b| 3a，所以2a ，所以 0.可排除C项．再对B，D两项作差有a 2＋b 2－b＝(1－b)2＋b 2－b＝2b 2－3b＋1＝2(b－ )2－ .把结果视为关于b的函数，定义域b∈( ，1)，得a 2＋b 2－b2a2c B．2 a2b2cC．2 c2b2a D．2 c2a2b答案 A解析 因为log bac，又因为指数函数y＝2 x是单调增函14141414数，所以2 b2a2c，故选A.16．已知2 b2ba abC．ab1a1b答案 D解析 因为函数h(x)＝2 x在R上单调递增，由2 b0， 0，a≠b，可得 ＋ 2，排除B，选D.ba ab ba ab1第2课时 一元二次不等式的解法1．下列不等式中解集为R的是( )A．－x 2＋2x＋1≥0 B．x 2－2 x＋ 05 5C．x 2＋6x＋100 D．2x 2－3x＋40，－ x2－ 3x＋ 40， )3．若0＜m＜1，则不等式(x－m)(x－ )＜0的解集为( )1mA．{x| ＜x＜m} B．{x|x＞ 或x＜m}1m 1mC．{x|x＞m或x＜ } D．{x|m＜x＜ }1m 1m答案 D解析 当01或x1或－112 12答案 B解析 原不等式等价于 或{2x－ 10，1－ |x|0.)∴ 或 ∴x1或－112，x1或 x0的解集为( )x2－ x－ 6x－ 12A. B.{x|x3} {x|x3} {x|－ 20⇒ 0⇒(x＋2)·(x－1)(x－3)0，由数轴标根法，得－23.x2－ x－ 6x－ 1 （ x－ 3） （ x＋ 2）x－ 17．已知不等式ax 2＋bx＋20的解集为{x|－1 }12 12C．{x|－21}答案 A解析 由题意知x＝－1，x＝2是方程ax 2＋bx＋2＝0的根．由韦达定理 ⇒ ∴不等式2x 2{－ 1＋ 2＝ － ba，（ － 1） ×2＝ 2a) {a＝ － 1，b＝ 1. )＋bx＋a }，则f(10 x)0的解集为( )12A．{x|xlg2} B．{x|－1－lg2} D．{x|x0的解集为{x|－10等价于－1－1.而10 x0，排除选项B，选D.1109．(2017·保定模拟)若不等式x 2＋ax－20在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是( )A．(－ ，＋∞) B．[－ ，1]235 235C．(1，＋∞) D．(－∞，－ ]235答案 A解析 由Δ＝a 2＋80，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解，只需满足f(5)0，3即a－ .23510．(2017·郑州质检)不等式f(x)＝ax 2－x－c0的解集为{x|－2a2a30，则使得(1－a ix)21时，解得10.)A．(－1，2) B．(1，2)C．(－2，－1) D．(－2，1)答案 D解析 若x0，则－xf(x)时，2－x 2x，解得－20， )D.414．不等式2x 2－3|x|－350的解集为________．答案 {x|x5}解析 2x 2－3|x|－350⇔2|x| 2－3|x|－350⇔(|x|－5)(2|x|＋7)0⇔|x|5或|x|5或x12解析 当x0时，x ；当x .1216．若不等式a·4 x－2 x＋10对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．答案 a14解析 不等式可变形为a ＝( )x－( )x，2x－ 14x 12 14令( )x＝t，则t0.12∴y＝( )x－( )x＝t－t 2＝－(t－ )2＋ ，因此当t＝ 时，y取最大值 ，故实数a的取值范围是a .12 14 12 14 12 14 1417．(2017·安徽毛坦厂中学月考)已知关于x的不等式kx 2－2x＋6k－2}，求k的值；(2)若不等式的解集为{x|x∈R，x≠ }，求k的值；1k(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；(4)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．答案 (1)k＝－ (2)k＝－ (3)k－2}，所以k0，Δ ＝ 4－ 24k2≤ 0， ) 66518．(2017·衡水中学调研卷)已知不等式组 的解集是不等式2x 2－9x＋a＜0的解集的子集，求{x2－ 4x＋ 3＜ 0x2－ 6x＋ 8＜ 0)实数a的取值范围．答案 (－∞，9]解析 不等式组 的解集为(2，3)，{x2－ 4x＋ 30的解集为(－1， )，则ab的值为( )13A．－6 B．－5C．6 D．5答案 C解析 方程ax 2＋bx＋1＝0的两根为－1， ，13由根与系数的关系，得 解得{－ 1＋ 13＝ － ba，－ 1×13＝ 1a， ) {a＝ － 3，b＝ － 2.)∴ab＝6，故选C.2．不等式(a－2)x 2＋2(a－2)x－40，Δ ＝ （ a＋ 1） 2－ 4a≤ 0)6．不等式log 2(x＋ ＋6)≤3的解集为________．1x答案 (－3－2 ，－3＋2 )∪{1}2 2解析 原不等式⇔00，x2＋ 6x＋ 10，x2－ 2x＋ 1≤ 0) { x1，a2只需( )2＋a· ＋1≥0，即a≥－ ，此时－ ≤a2时，－ －1恒成立．a2综上所述，a≥－ .∴a的最小值为－ .52 52方法二：由x 2＋ax＋1≥0，得a≥－x－ ，x∈(0， ]．1x 12令f(x)＝－x－ (x∈(0， ])＝－(x＋ )，是增函数．1x 12 1x当x＝ 时，f( )＝－ ，∴f(x) max＝－ .12 12 52 52要使原命题成立，则a≥－ .52∴a的最小值为－ .521第3课时 简单的线性规划1．(2018·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是( )A．(0，0) B．(－1，1)C．(－1，3) D．(2，－3)答案 C解析 点(1，2)使x＋y－10，点(－1，3)使x＋y－10，所以此两点位于x＋y－1＝0的同一侧．故选C.2．不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域为( )答案 B解析 方法一：可转化为① 或②{x＋ 2y＋ 1≥ 0，x－ y＋ 4≤ 0 ) {x＋ 2y＋ 1≤ 0，x－ y＋ 4≥ 0.)由于(－2，0)满足②，所以排除A，C，D选项．方法二：原不等式可转化为③ 或④{x＋ 2y＋ 1≥ 0，－ x＋ y－ 4≥ 0) {x＋ 2y＋ 1≤ 0，－ x＋ y－ 4≤ 0.)两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B.3．(2017·天津，理)设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋y的最大值为( ){2x＋ y≥ 0，x＋ 2y－ 2≥ 0，x≤ 0，y≤ 3， )A. B．123C. D．332答案 D解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出直线y＝－x，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max＝0＋3＝3，选项D符合．24．设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m的取{2x－ y＋ 10，x＋ m0， )值范围是( )A．(－∞， ) B．(－∞， )43 13C．(－∞，－ ) D．(－∞，－ )23 53答案 C解析 作出可行域如图．图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y＝ x－1的上的点，只需要可行域的边界点(－m，m)在y＝ x－112 12下方，也就是m0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的( )A．左下方 B．左上方C．右下方 D．右上方答案 C解析 画出直线及区域范围，如：当B0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方区域；Ax＋By＋C1.{3－ a9－ 7a，3－ a1－ 3a.)1110．(2018·安徽安庆模拟)若实数x，y满足 则z＝ 的取值范围是________．{y－ 2x≤ － 2，y≥ 1，x＋ y≤ 4， ) x2＋ y2xy答案 [2， ]103解析 因为z＝ ＝ ＋ ，所以令k＝ ，则z＝k＋ ，其中k表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率．根据不等x2＋ y2xy xy yx yx 1k式组画出可行域，则A(2，2)，B(3，1)，C( ，1)，如图．由图形可知， ≤k≤1，根据函数z＝ ＋k的单调性32 13 1k得2≤z≤ .所以z∈[2， ]．103 1031第4课时 基本不等式1．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是( )A．a 2＋b 2 B．2 abC．2ab D．a＋b答案 D解析 只需比较a 2＋b 2与a＋b.由于a，b∈(0，1)，∴a 20，且b0，若2a＋b＝4，则 的最小值为( )1abA. B．414C. D．212答案 C解析 ∵4＝2a＋b≥2 ，∴ab≤2， ≥ ，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．2ab1ab 127．若x0，b0，∴ab ＝b＋2a≥2 ，∴ab≥2 .1a 2b b＋ 2aab ab ab 2 ab 2方法二：由题设易知a0，b0，∴ ＝ ＋ ≥2 ，即ab≥2 ，当且仅当b＝2a时取“＝”号，选C.ab1a 2b 2ab 29．(2017·金山模拟)函数y＝ (x1)的最小值是( )x2＋ 2x－ 1A．2 ＋2 B．2 －23 3C．2 D．23答案 A解析 ∵x1，∴x－10.∴y＝ ＝ ＝x2＋ 2x－ 1 x2－ 2x＋ 2x＋ 2x－ 1 x2－ 2x＋ 1＋ 2（ x－ 1） ＋ 3x－ 13＝ ＝x－1＋ ＋2≥2 ＋2＝2 ＋2.（ x－ 1） 2＋ 2（ x－ 1） ＋ 3x－ 1 3x－ 1 （ x－ 1） （ 3x－ 1） 3当且仅当x－1＝ ，即x＝1＋ 时，取等号．3x－ 1 310．已知不等式(x＋y)( ＋ )≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )1x ayA．2 B．4C．6 D．8答案 B解析 (x＋y)( ＋ )＝1＋a· ＋ ＋a≥1＋a＋2 ＝( ＋1) 2，1x ay xy yx a a当且仅当a· ＝ ，即ax 2＝y 2时“＝”成立．xy yx∴(x＋y)( ＋ )的最小值为( ＋1) 2≥9.1x ay a∴a≥4.11．设实数x，y，m，n满足x 2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么mx＋ny的最大值是( )A. B．23C. D.5102答案 A解析 方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝ sinβ，n＝ cosβ，其中α，β∈R.3 3∴mx＋ny＝ sinβsinα＋ cosβcosα＝ cos(α－β)．故选A.3 3 3方法二：由已知(x 2＋y 2)·(m2＋n 2)＝3，即m 2x2＋n 2y2＋n 2x2＋m 2y2＝3，∴m 2x2＋n 2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny) 2≤3，∴mx＋ny≤ .312．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则 的最小值为( )y2xzA．3 B．6C．9 D．12答案 A13．(2017·四川成都外国语学校)若正数a，b满足： ＋ ＝1，则 ＋ 的最小值为( )1a 1b 1a－ 1 9b－ 1A．16 B．9C．6 D．1答案 C解析 方法一：因为 ＋ ＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以 ＋ ≥2 ＝2×3＝1a 1b 1a－ 1 9b－ 1 1a－ 1×9b－ 16.4方法二：因为 ＋ ＝1，所以a＋b＝ab， ＋ ＝ ＝b＋9a－10＝(b＋9a)( ＋ )－10≥16－11a 1b 1a－ 1 9b－ 1 b－ 1＋ 9a－ 9ab－ a－ b＋ 1 1a 1b0＝6.方法三：因为 ＋ ＝1，所以a－1＝ ，所以 ＋ ＝(b－1)＋ ≥2 ＝2×3＝6.1a 1b 1b－ 1 1a－ 1 9b－ 1 9b－ 1 914．(1)当x1时，x＋ 的最小值为________；4x－ 1(2)当x≥4时，x＋ 的最小值为________．4x－ 1答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x1，∴x－10.∴x＋ ＝x－1＋ ＋1≥2 ＋1＝5.4x－ 1 4x－ 1 4(当且仅当x－1＝ .即x＝3时“＝”号成立)4x－ 1∴x＋ 的最小值为5.4x－ 1(2)∵x≥4，∴x－1≥3.∵函数y＝x＋ 在[3，＋∞)上为增函数，4x∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋ ＋1有最小值 .4x－ 1 16315．若a0，b0，a＋b＝1，则ab＋ 的最小值为________．1ab答案 174解析 ab≤( )2＝ ，a＋ b2 14当且仅当a＝b＝ 时取等号．12y＝x＋ 在x∈(0， ]上为减函数．1x 14∴ab＋ 的最小值为 ＋4＝ .1ab 14 17416．已知ab0，求a 2＋ 的最小值．16b（ a－ b）答案 16思路 由b(a－b)求出最大值，从而去掉b，再由a 2＋ ，求出最小值．64a2解析 ∵ab0，∴a－b0.∴b(a－b)≤[ ]2＝ .b＋ （ a－ b）2 a245∴a 2＋ ≥a 2＋ ≥2 ＝16.16b（ a－ b） 64a2 a2·64a2当a 2＝ 且b＝a－b，即a＝2 ，b＝ 时等号成立．64a2 2 2∴a 2＋ 的最小值为16.16b（ a－ b）17．(2017·江西重点中学盟校联考)设x，y均为正实数，且 ＋ ＝ ，求xy的最小值．12＋ x 12＋ y 13答案 16解析 由 ＋ ＝ ，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实数，∴xy12＋ x 12＋ y 13＝x＋y＋8≥2 ＋8，∴( )2－2 －8≥0，解得 ≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy xy xy xyxy的最小值为16.18．(2018·辽宁抚顺一中月考)某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x(00)的最小值为2－44x 3D．函数y＝2－3x－ (x0)的最大值为2－44x 3答案 D解析 y＝x＋ 的定义域为{x|x≠0}，当x0时，有最小值2，当x0时，3x＋ ≥2· ＝4 ，4x 3x·4x 3当且仅当3x＝ ，即x＝ 时取“＝”，4x 23 3∴y＝2－(3x＋ )有最大值2－4 ，故C项不正确，D项正确．4x 32．(2014·重庆)若log 4(3a＋4b)＝log 2 ，则a＋b的最小值是( )abA．6＋2 B．7＋23 3C．6＋4 D．7＋43 3答案 D解析 因为log 4(3a＋4b)＝log 2 ，所以log 4(3a＋4b)＝log 4(ab)，即3a＋4b＝ab，且 即a0，b0ab {3a＋ 4b0，ab0， )，所以 ＋ ＝1(a0，b0)，a＋b＝(a＋b)( ＋ )＝7＋ ＋ ≥7＋2 ＝7＋4 ，当且仅当 ＝ 时4a 3b 4a 3b 4ba 3ab 4ba·3ab 3 4ba 3ab取等号，选择D项．3．(2016·人大附中月考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“ ＋ ＋ ≤a＋b＋c”的( )1a 1b 1cA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析 ＋ ＋ ＝ ，1a 1b 1c bc＋ ca＋ ababc当abc＝1时， ≤ [(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]＝a＋b＋c.bc＋ ca＋ ababc 12故abc＝1⇒ ＋ ＋ ≤a＋b＋c.1a 1b 1c7反过来，若a＝b＝1，c＝4，有 ＋ ＋ ≤a＋b＋c，但abc≠1，1a 1b 1c∴“abc＝1”是“ ＋ ＋ ≤a＋b＋c”的充分不必要条件．1a 1b 1c4．(2017·山东师大附中月考)已知a，b，c∈R ＋ ，且ab＋bc＋ca＝1，那么下列不等式中正确的是( )A．a 2＋b 2＋c 2≥2 B．(a＋b＋c) 2≥3C. ＋ ＋ ≥2 D．abc(a＋b＋c)≤1a 1b 1c 3 13答案 B解析 ∵a 2＋b 2≥2ab，b 2＋c 2≥2bc，c 2＋a 2≥2ac，三式相加可知2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(bc＋ab＋ac)，∴a 2＋b 2＋c 2≥1.∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab＋2bc＋2ca≥1＋2.∴(a＋b＋c) 2≥3.5．已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋ ，n＝a＋ ，则m＋n的最小值是( )1a 1bA．3 B．4C．5 D．6答案 B解析 由题意知ab＝1，则m＝b＋ ＝2b，n＝a＋ ＝2a，1a 1b∴m＋n＝2(a＋b)≥4 ＝4(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)．ab6．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝ ＋ 的最大值为________．3x 2y答案 2 5解析 方法一：由 ≤ 可得 ＋ ≤ ＝ ＝2 ，当且仅当3a＋ b2 a2＋ b22 3x 2y 2 （ 3x） 2＋ （ 2y） 2 2 3x＋ 2y 5x＝2y，即x＝ ，y＝ 时等号成立．53 52方法二：易知W0，W 2＝3x＋2y＋2 · ＝10＋2 · ≤10＋( )2＋( )2＝10＋(3x＋2y)＝23x 2y 3x 2y 3x 2y0，∴W≤2 ，当且仅当3x＝2y，即x＝ ，y＝ 时等号成立．553 527．已知三个正数a，b，c成等比数列，则 ＋ 的最小值为________．a＋ cb ba＋ c答案 52解析 由条件可知a，b，c0且b 2＝ac，即b＝ ，故 ≥ ＝2，当且仅当a＝b＝c时取等号，令 ＝t，aca＋ cb 2 acb a＋ cb则y＝t＋ 在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋ ＝ ，即 ＋ 的最小值为 .1t 12 52 a＋ cb ba＋ c 528．(2018·河南郑州外国语学校月考)某城镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，若这两年8的平均增长率为p%，则p与 的大小关系为( )m＋ n2A．p B．p＝m＋ n2 m＋ n2C．p≤ D．p≥m＋ n2 m＋ n2答案 C解析 依题意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%) 2，所以1＋p%＝ ≤ ＝1＋（ 1＋ m%） （ 1＋ n%）1＋ m%＋ 1＋ n%2，当且仅当m＝n时等号成立，所以p≤ ，故选C.m%＋ n%2 m＋ n29．已知不等式x 2－5ax＋b0的解集为{x|x4或x0的解集为{x|x4或x0，1x 41－ x 1x 41－ x 1－ xx 4x1－ x 1－ xx0，所以f(x)≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ ，即x＝ 时等号成立．4x1－ x 1－ xx ×4x1－ x 1－ xx 4x1－ x 13所以f(x)的最小值为9.10.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)．答案 a＝6 m，b＝3 m解析 设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝ ，其中k是比例系数且k0.kab依题意要使y最小，只需求ab的最大值．由题设，得4b＋2ab＋2a＝60(a0，b0)，即a＋2b＋ab＝30(a0，b0)．∵a＋2b≥2 ，∴2 · ＋ab≤30.2ab 2 ab当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值．9∴当a＝2b时有2 · ＋ab＝30，即b 2＋2b－15＝0.2 ab解之得b 1＝3，b 2＝－5(舍去)，∴a＝2b＝6.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．11．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．答案 (1)10天 (2)应该接受此优惠条件解析 (1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，则其购买量为6x吨．由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)．设每天所支付的总费用为y 1元，则y1＝ [9x(x＋1)＋900]＋6×1 8001x＝ ＋9x＋10 809≥2 ＋10 809＝10 989，900x 900x·9x当且仅当9x＝ ，即x＝10时取等号．900x所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y2＝ [9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝ ＋9x＋9 1x 900x729(x≥35)．令f(x)＝x＋ (x≥35)，x 2x1≥35，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋ )－(x 2＋ )100x 100x1 100x2＝ .因为x 2x1≥35，（ x1－ x2） （ x1x2－ 100）x1x2所以x 1－x 2100，即x 1x2－1000.所以f(x 1)－f(x 2)0，即f(x 1)f(x2)．所以f(x)＝x＋ 在[35，＋∞)上为增函数．100x所以当x＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7.此时y 210 989，所以该厂应该接受此优惠条件．