2018年秋八年级数学上册 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明作业（打包7套）（新版）沪科版.zip

1第 13 章 三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系第 1 课时 三角形中边的关系知识要点基础练知识点 1 三角形及有关概念1.一位同学用三根木棒拼成如下图形,则其中符合三角形概念的是 (D)2.如图所示,图中有 8 个三角形;其中以 AB 为边的三角形是 △ ABO,△ ABC,△ ABD ;在△ BOC 中, OC 的对角是 ∠ OBC ,∠ OCB 的对边是 OB . 知识点 2 三角形按边的分类3.三角形按边可分为 (C)A.等腰三角形、直角三角形B.直角三角形、不等边三角形C.等腰三角形、不等边三角形D.等腰三角形、等边三角形4.已知△ ABC 的三边 a,b,c 满足( a-b)2+|b-c|=0,则△ ABC 是 等边 三角形 . 知识点 3 三角形的三边关系5.下列每组数分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是 (D)A.1 cm,2 cm,4 cm B.4 cm,5 cm,9 cmC.3 cm,3 cm,6 cm D.13 cm,11 cm,19 cm26.a,b,c,d 四根竹签的长度分别为 2 cm,3 cm,4 cm,6 cm,若从中任意选取三根首尾依次相接围成不同的三角形,则围成的三角形共有 (B)A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个7.以下列长度的三条线段为边,能构成三角形的有哪些?(1)6 cm,8 cm,10 cm;(2)5 cm,8 cm,2 cm;(3)三条线段之比为 4∶ 5∶ 6;(4)a+1,a+2,a+3(a0).解:(1)6 +810,可以构成三角形 .(2)5+26,可以构成三角形 .(4)a+1+a+2a+3,可以构成三角形 .综合能力提升练8.为估计池塘边 A,B 两点之间的距离,小文在池塘的一侧选取一点 C,测得 AC=6 米, BC=10 米,则A,B 两点之间的距离可能是 (C)A.20 米 B.16 米C.8 米 D.3 米9.等腰三角形的两边长分别为 25 cm 和 13 cm,则它的周长是 (C)A.63 cm B.51 cmC.63 cm 或 51 cm D.以上都不正确【变式拓展】等腰三角形的两边长分别为 3,7,则它的周长为 (B)A.13 B.17C.13 或 17 D.不能确定10.四根长度分别为 3,4,6,x(x 为正整数)的木棒,从中任取三根,首尾顺次相接都能组成一个三角形,则 (D)A.组成的三角形中周长最小为 9B.组成的三角形中周长最小为 10C.组成的三角形中周长最大为 19D.组成的三角形中周长最大为 1611.长为 4,5,6,9 的四根木条,选其中三根组成三角形的选法有 3 种 . 12.一个三角形的三边长分别是 3,1-2m,8,则 m 的取值范围是 -5AD+BD,你能说明其原因吗?3解:(2)如图,延长 BD 交 AC 于点 E.因为 BC+ECBD+ED,AE+EDAD,所以 BC+EC+AE+EDBD+ED+AD,所以 BC+EC+AEBD+AD,即 AC+BCAD+BD.16.用一条长为 21 cm 的细绳围成一个等腰三角形 .(1)如果腰长是底边长的 3 倍,那么底边长是多少?(2)能围成一边长为 5 cm 的等腰三角形吗?说明理由 .解:(1)设等腰三角形的底边长为 x cm,则腰长为 3x cm.由题意得 3x+3x+x=21,解得 x=3.故底边长是 3 cm.(2)能 .理由如下:当腰长为 5 cm 时,底边长为 21-2×5=11(cm),而 5+511,不合题意,舍去;当底边长为 5 cm 时,腰长为 ×(21-5)=8(cm),此时三边长为 8 cm,8 cm,5 cm,满足三边关系 .故可以围成底边长为 5 cm 的等腰三角形 .拓展探究突破练17.如图的三个三角形,是分别用 6 根、7 根、8 根等长的火柴首尾顺次相接搭成的 .(1)4 根火柴首尾顺次相接 不能 搭成三角形 .(填“能”或“不能”) (2)9 根、11 根火柴首尾顺次相接能搭成几种不同的三角形?请分别写出它们的边长 .解:(2)9 根火柴能搭成三种不同的三角形,边长分别为 1,4,4;2,3,4;3,3,3.11 根火柴能搭成四种不同的三角形,边长分别为 1,5,5;2,4,5;3,3,5;3,4,4.1第 2 课时 三角形中角的关系知识要点基础练知识点 1 三角形按角的分类1.下列说法正确的是 (B)A.所有的等腰三角形都是锐角三角形B.等边三角形属于等腰三角形C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D.一个三角形里有两个锐角,则一定是锐角三角形2.下列关于三角形分类不正确的是(整个大方框表示全体三角形) (C)知识点 2 三角形的内角和3.如图是一块三角形木板的残余部分,量得∠ A=100°,∠ B=40°,则这块三角形木板另外一个角∠ C 的度数为 (B)A.30° B.40° C.50° D.60°4.在△ ABC 中,若∠ A=80°,∠ B=∠ C,则∠ C 的度数为 (C)A.10° B.30° C.50° D.80°5.一个三角形的三个内角度数的比是 2∶ 3∶ 4,那么这个三角形是 锐角 三角形 .(填“锐角”“钝角”或“直角”) 6.在△ ABC 中,∠ A-2∠ B=20°,∠ A+∠ B=110°,求∠ A,∠ B,∠ C 的大小 .解:因为∠ A-2∠ B=20°,∠ A+∠ B=110°,所以∠ A=80°,∠ B=30°,在△ ABC 中,∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-80°-30°=70°.2综合能力提升练7.在下列条件中: ① ∠ A+∠ B=∠ C;② ∠ A∶ ∠ B∶ ∠ C=1∶ 2∶ 3;③ ∠ A=90°-∠ B;④ ∠ A=∠ B=∠ C,能确定△ ABC 是直角三角形的条件有(D)12A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个8.在一个三角形的三个内角中: ① 最少有两个锐角; ② 最多有一个直角; ③ 最多有一个钝角 .说法正确的有 (D)A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个9.如图,在△ ABC 中,∠ ABC=∠ ACB,点 P 为△ ABC 内的一点,且∠ PBC=∠ PCA,∠ BPC=110°,则∠ A 的大小为 (A)A.40° B.50° C.60° D.70°【变式拓展】如图,已知∠1 =20°,∠2 =27°,∠ A=52°,则∠ BDC 的度数是 99° . 10.在三个内角互不相等的△ ABC 中,最小的内角为∠ A,则在下列四个度数中,∠ A 最大可取(B)A.30° B.59° C.60° D.89°11.在△ ABC 中,∠ A+∠ B=150°,∠ C=3∠ A,则∠ A= 10° . 12.如图,在△ ABC 中,∠ A=75°,直线 DE 分别与边 AB,AC 交于 D,E 两点,则∠1 +∠2 = 255° . 13.如图,在△ ABC 中,∠ A=155°,第一步:在△ ABC 的上方确定点 A1,使∠ A1BA=∠ ABC,∠ A1CA=∠ ACB;第二步:在△ A1BC 的上方确定点 A2,使∠ A2BA1=∠ A1BA,∠ A2CA1=∠ A1CA;…,则∠ A1= 130° ;照此继续,最多能进行 6 步 . 314.如图,在△ ABC 中, DE∥ BC,∠ AED=50°,CD 平分∠ ACB,求∠ CDE 的度数 .解: ∵DE ∥ BC,∠ AED=50°,∴ ∠ ACB=∠ AED=50°,∵CD 平分∠ ACB,∴ ∠ BCD= ∠ ACB=25°,12∵DE ∥ BC,∴ ∠ EDC=∠ BCD=25°.15.如图,在△ ABC 中, BC 边不动,点 A 是一个动点 .当点 A 竖直向上运动,∠ A 越来越小,∠ B,∠ C 越来越大 .若∠ A 减少 α 度,∠ B 增加 β 度,∠ C 增加 γ 度,请写出 α ,β ,γ 三者之间的等量关系,并说明你是如何得到的 .解: α=β+γ ,依题意得(∠ A-α )+(∠ B+β )+(∠ C+γ )=180°,∴ ∠ A-α+ ∠ B+β+ ∠ C+γ= 180°,∴ ∠ A+∠ B+∠ C-α+β+γ= 180°,又 ∵ ∠ A+∠ B+∠ C=180°,∴α=β+γ.16.如图, A 点在 B 处的北偏东 40°方向, C 点在 B 处的北偏东 85°方向, A 点在 C 处的北偏西 45°方向,求∠ BAC 及∠ BCA 的度数 .4解:因为∠ DBA=40°,∠ DBC=85°,DB∥ CE,所以∠ ECB=180°-85°=95°,∠ ABC=85°-40°=45°,因为∠ ECA=45°,所以∠ BCA=95°-45°=50°,所以∠ BAC=180°-50°-45°=85°.拓展探究突破练17.已知 AD 与 BC 相交于点 O.(1)如图 1,试探究∠ A+∠ B 与∠ C+∠ D 的数量关系;(2)若∠ ABC 与∠ ADC 的平分线相交于点 E,如图 2,试探究∠ A,∠ C,∠ E 之间的数量关系 .解:(1)在△ AOB 中,∠ A+∠ B+∠ AOB=180°,在△ COD 中,∠ C+∠ D+∠ COD=180°,又因为∠ AOB=∠ COD,所以∠ A+∠ B=∠ C+∠ D.(2)由(1)的结论可知∠ A+∠ ABE=∠ E+∠ ADE,∠ C+∠ CDE=∠ E+∠ EBC,所以∠ A+∠ ABE+∠ C+∠ CDE=∠ E+∠ ADE+∠ E+∠ EBC.又因为 BE 平分∠ ABC,DE 平分∠ ADC,所以∠ ABE=∠ EBC,∠ ADE=∠ CDE,所以∠ A+∠ C=2∠ E.1第 3 课时 三角形中几条重要线段知识要点基础练知识点 1 三角形的角平分线1.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点,交点一定在 (A)A.三角形的内部 B.三角形的一边上C.三角形的外部 D.三角形的某个顶点上2.如图,∠1 =∠2 =∠3 =∠4,则 AE 是△ ABD 的角平分线; AF 是△ ADC 的角平分线; AD 是 △ ABC 或△ AEF 的角平分线 . 知识点 2 三角形的中线3.如图,在△ ABC 中, AD 是 BC 边上的中线,已知 AB=7 cm,AC=5 cm,则△ ABD 和△ ACD 的周长差为 2 cm. 【变式拓展】在△ ABC 中, AC=5 cm,AD 是△ ABC 的中线,把△ ABC 的周长分成两部分,若其差为 3 cm,则 AB= 2 cm 或 8 cm . 知识点 3 三角形的高24.若 H 是△ ABC 三条高 AD,BE,CF 的交点,则△ BCH 中 BC 边上的高是 DH ,△ ABH 中 BH 边上的高是 AE . 知识点 4 定义5.下列语句中属于定义的是 (D)A.两点确定一条直线B.连接三角形的顶点和对边中点的线段C.两直线平行,内错角相等D.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心综合能力提升练6.三角形一边上的中线把原三角形分成两个 (B)A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形C.直角三角形 D.周长相等的三角形7.下列说法正确的是 (C)A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形的内部B.直角三角形的高只有一条C.三角形的高至少有一条在三角形内部D.钝角三角形的三条高都在三角形外部8.如图, D,E 分别是△ ABC 的边 AC,BC 的中点,则下列说法不正确的是 (A)A.DE 是△ ABC 的中线B.BD 是△ ABC 的中线C.AD=DC,BE=ECD.DE 是△ BCD 的中线9.如图,在△ ABC 中, AD,AE,AF 分别是三角形的高线、角平分线及中线,那么下列结论错误的是 (C)A.AD⊥ BC B.BF=CFC.BE=EC D.∠ BAE=∠ CAE10.如图,在△ ABC 中,∠1 =∠2, G 为 AD 的中点,延长 BG 交 AC 于点 E.F 为 AB 上的一点,CF⊥ AD 于点 H.下列判断正确的是 (C)3A.AD 是△ ABE 的角平分线B.BE 是△ ABD 中 AD 边上的中线C.CH 为△ ACD 中 AD 边上的高D.AH 为△ ABC 的角平分线11.在△ ABC 中, AB 边上的高是 CE ,BC 边上的高是 AD ;在△ BCF 中, CF 边上的高是 BC . 12.如图,在边长为 1 的正方形网格中,△ ABC 的顶点 B 的坐标是(1, -4),过点 B 作 AC 边上的高线,则垂足 D 点的坐标是 (1,0) . 13.如图,已知△ ABC 中, AM 是 BC 边的中线, N 是 AM 的中点, O 是 BN 的中点,若△ MON 的面积是 3 cm2,则△ ABC 的面积为 24 cm2. 14.如图 1,在△ ABC 中, OB,OC 是∠ ABC,∠ ACB 的平分线;(1)填写下面的表格 .∠ A 的度数 50°60°70°∠ BOC的度数115°120°125°(2)试猜想∠ A 与∠ BOC 之间存在一个怎样的数量关系,并证明你的猜想;(3)如图 2,△ ABC 的高 BE,CD 交于 O 点,试说明图中∠ A 与∠ BOD 的关系 .解:(2)猜想:∠ BOC=90°+ ∠ A.12理由:因为在△ ABC 中, OB,OC 是∠ ABC,∠ ACB 的平分线,4所以∠ OBC= ∠ ABC,∠ OCB= ∠ ACB,12 12因为∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A,所以∠ OBC+∠ OCB= (∠ ABC+∠ ACB)= (180°-∠ A)=90°- ∠ A,12 12 12所以∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°- =90°+ ∠ A.(90°-12∠𝐴) 12(3)因为△ ABC 的高 BE,CD 交于 O 点,所以∠ BDC=∠ BEA=90°,所以∠ ABE+∠ BOD=90°,∠ ABE+∠ A=90°,所以∠ A=∠ BOD.拓展探究突破练15.【操作示例】如图 1,△ ABC 中, AD 为 BC 边上的中线,则 S△ ABD=S△ ADC.【实践探究】(1)在图 2 中, E,F 分别为长方形 ABCD 的边 AD,BC 的中点,则 S 阴 和 S 长方形 ABCD之间满足的表达式为 S 阴 = S 长方形 ABCD ; 12(2)在图 3 中, E,F 分别为平行四边形 ABCD 的边 AD,BC 的中点,则 S 阴 和 S 平行四边形 ABCD之间满足的表达式为 S 阴 = S 平行四边形 ABCD ; 12(3)在图 4 中, E,F 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD,BC 的中点,则 S 阴 和 S 四边形 ABCD之间满足的表达式为 S 阴 = S 四边形 ABCD ; 12(4)在图 5 中, E,G,F,H 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD,AB,BC,CD 的中点,并且图中阴影部分的面积为 20 平方米,则图中四个小三角形的面积和 S1+S2+S3+S4= 20 平方米 . 5(4)提示:设空白处面积分别为 x,y,m,n(如图),则 S 四形边 BEDF= S 四边形 ABCD,S 四边形 AHCG= S 四边12 12形 ABCD,所以 S1+x+S2+S3+y+S4= S 四边形 ABCD,S1+m+S4+S2+n+S3= S 四边形 ABCD,12 12所以( S1+x+S2+S3+y+S4)+(S1+m+S4+S2+n+S3)=S 四边形 ABCD=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S 阴 ,故 S1+S2+S3+S4=S 阴 =20.113.2 命题与证明第 1 课时 命 题知识要点基础练知识点 1 命题及真命题、假命题的概念1.下列语句中,属于命题的是 (A)A.等角的余角相等 B.两点之间,线段最短吗C.连接 P,Q 两点 D.花儿会不会在春天开放2.下列命题: ① 两点确定一条直线; ② 两点之间,线段最短; ③ 对顶角相等; ④ 内错角相等 .其中真命题的个数有 (C)A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个3.有下列命题: ① 同角的补角相等; ② 三角形的两边之和小于第三边; ③ 两个锐角的和是锐角; ④同旁内角互补 .其中是假命题的有 ②③④ .(只填序号) 知识点 2 命题的构成及改写4.把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…,那么…”的形式为:如果 两条直线平行于同一条直线 ,那么 这两条直线平行 . 5.下列各语句中,哪些是命题,哪些不是命题?是命题的,请先将它改写为“如果…,那么…”的形式,再指出命题的条件和结论 .(1)同号两数的和一定不是负数;(2)若 x=2,则 1-5x=0;(3)延长线段 AB 至点 C,使 B 是 AC 的中点 .解:(1)如果两个数是同号,那么这两个数的和一定不是负数,条件:两个数是同号,结论:这两个数的和一定不是负数 .(2)如果 x=2,那么 1-5x=0,条件: x=2,结论:1 -5x=0.(3)不是命题 .知识点 3 互逆命题及反例6.下列命题: ① 对顶角相等; ② 同位角相等,两直线平行; ③ 若 a=b,则 |a|=|b|;④ 若 x=0,则=0.它们的逆命题一定成立的有 (C)A.①②③④ B.①④C.②④ D.②27.下列选项中,可以用来证明命题“若 a2b2,则 ab”是假命题的反例是 (A)A.a=-2,b=1 B.a=3,b=-2C.a=0,b=1 D.a=2,b=1综合能力提升练8.下列不是命题的是 (A)A.过一点作已知直线的垂线B.两点确定一条直线C.钝角大于 90°D.凡是直角都相等9.下列命题中,真命题有 (B)① 等腰三角形两边长分别为 2 和 5,则它的周长是 9 或 12;② 无理数 - 在 -2 和 -1 之间 ;③ 若 a-b0,则 ab;④ 北偏东 30°与南偏东 50°的两条射线的夹角为 80°.A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个10.写出下列命题的逆命题,并判断原命题和逆命题的真假:(1)若 m2≠ n2,则 m≠ n;(2)如果一个三角形有一个内角是钝角,那么它的另外两个内角是锐角 .解:(1)逆命题:若 m≠ n,则 m2≠ n2;原命题是真命题,逆命题是假命题 .(2)逆命题:如果一个三角形有两个内角是锐角,那么这个三角形的另一个内角是钝角 .原命题是真命题,逆命题是假命题 .拓展探究突破练11.一个命题是真命题,它的逆命题也是真命题吗?一个命题是假命题,它的逆命题也是假命题吗?举例说明你的观点的正确性 .解:一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题 .如“对顶角相等”是真命题,它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题 .一个命题是假命题,它的逆命题不一定是假命题 .如“相等的角是直角”是假命题,它的逆命题“直角都相等”是真命题 .1第 2 课时 命题的证明知识要点基础练知识点 1 基本事实与定理1.“两点之间,线段最短”是 (B)A.定义 B.基本事实C.定理 D.只是命题2.下列叙述错误的是 (B)A.所有的命题都有条件和结论B.所有的命题都是定理C.所有的定理都是命题D.所有的公理都是真命题知识点 2 推理与证明3.下列推理中,错误的是 (D)A.∵AB=CD ,CD=EF,∴AB=EFB.∵ ∠ α= ∠ β ,∠ β= ∠ γ ,∴ ∠ α= ∠ γC.∵a ∥ b,b∥ c,∴a ∥ cD.∵AB ⊥ EF,EF⊥ CD,∴AB ⊥ CD4.如图所示, OA⊥ OC,OB⊥ OD,证明∠ AOB=∠ COD 的理论依据是 (C)A.垂直的定义 B.同角的补角相等C.同角的余角相等 D.角平分线的定义5.如图,已知∠ EDC=∠ A,∠1 =∠3,求证: BD 平分∠ ABC.2证明: ∵ ∠ EDC=∠ A(已知),∴DC ∥ AB(同位角相等,两直线平行) .∴ ∠2 =∠3(两直线平行,内错角相等) .又∠1 =∠3(已知), ∴ ∠1 =∠2(等量代换),∴BD 平分∠ ABC(角平分线的定义) .综合能力提升练6.在证明过程中,对已学过的基本事实、定义、定理以及题设,可用来作为推理的依据的是(D)A.基本事实、题设与定义B.定义、定理与基本事实C.基本事实、定理与假设推理D.基本事实、定理、定义与题设7.如图,已知∠1 =∠2,有以下结论: ① ∠3 =∠4; ②AB ∥ CD;③AD ∥ BC,则 (B)A.三个都正确B.只有一个正确C.三个都不正确D.有两个正确8.(1)已知:如图, AB∥ CD,∠ A=∠ C,求证: BC∥ AD.证明: ∵AB ∥ CD(已知),∴ ∠ ABE=∠ C ( 两直线平行,同位角相等 ). ∵ ∠ A=∠ C(已知),∴ ∠ ABE=∠ A ( 等量代换 ). ∴BC ∥ AD( 内错角相等,两直线平行 ). (2)请写出问题(1)的逆命题并判断它是真命题还是假命题,真命题请写出证明过程,假命题举出反例 .(2)解:(1)的逆命题为:已知:如图, BC∥ AD,∠ A=∠ C,求证: AB∥ CD.(它为真命题)证明: ∵BC ∥ AD(已知),∴ ∠ ABE=∠ A(两直线平行,内错角相等) .∵ ∠ A=∠ C(已知),∴ ∠ ABE=∠ C(等量代换) .∴AB ∥ CD(同位角相等,两直线平行) .拓展探究突破练39.已知:如图,∠ BAE+∠ AED=180°,∠1 =∠2,求证:∠ M=∠ N.证明: ∵ ∠ BAE+∠ AED=180°(已知),∴AB ∥ CD(同旁内角互补,两直线平行),∴ ∠ BAE=∠ AEC(两直线平行,内错角相等),又 ∵ ∠1 =∠2(已知),∴ ∠ BAE-∠1 =∠ AEC-∠2(等式的性质),即∠ MAE=∠ NEA,∴AM ∥ NE(内错角相等,两直线平行),∴ ∠ M=∠ N(两直线平行,内错角相等) .1第 3课时 三角形的内角和的证明知识要点基础练知识点 1 三角形的内角和定理的证明与辅助线1.如图,在证明“△ ABC内角和等于 180°”时,延长 BC至点 D,过点 C作 CE∥ AB,得到∠ ABC=∠ ECD,∠ BAC=∠ ACE,由于∠ BCD=180°,可得到∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC=180°,这个证明方法体现的数学思想是 (D)A.数形结合 B.特殊到一般C.一般到特殊 D.转化知识点 2 直角三角形的两锐角互余2.在 Rt△ ABC中,∠ B是直角,∠ C=22°,那么∠ A的度数是 (C)A.22° B.58°C.68° D.112°3.如图, AC⊥ BD,∠1 =∠2,∠ D=40°,求∠ BAD的度数 .解: ∵AC ⊥ BD,∠1 =∠2,∴ ∠1 =45°,∠ ACB=90°,∵ ∠ D=40°,∴ ∠ CAD=50°,∴ ∠ BAD=∠1 +∠ CAD=95°.知识点 3 有两个角互余的三角形是直角三角形24.三角形有一个角的度数是 36°角的余角,另一个角是 144°角的补角,那么这个三角形是(C)A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.无法确定5.如图,点 E是△ ABC中 AC边上的一点,过点 E作 ED⊥ AB,垂足为 D.若∠1 =∠2,则△ ABC是直角三角形吗?为什么?解:△ ABC是直角三角形 .理由如下:∵ED ⊥ AB,∴ ∠ ADE=90°,△ ADE是直角三角形 .∴ ∠1 +∠ A=90°.又 ∵ ∠1 =∠2, ∴ ∠2 +∠ A=90°,∴ △ ABC是直角三角形 .综合能力提升练6.如图, AB∥ CD,∠ CED=90°,∠ AEC=35°,则∠ D的大小为 (B)A.65° B.55° C.45° D.35°7.如图,△ ABC的角平分线 CD,BE相交于点 F,∠ A=90°,EG∥ BC,且 CG⊥ EG于点 G.下列结论:① ∠ CEG=2∠ DCB;②CA 平分∠ BCG;③ ∠ ADC=∠ GCD;④ ∠ DFB= ∠ CGE.其中正确的结论有 (C)12A.1个 B.2个C.3个 D.4个8.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠ α 的度数是 (C)A.25° B.20°C.15° D.10°【变式拓展】把一副常用的三角板按如图所示的方式拼在一起,点 B在 AE上,那么图中的∠ ABC= 75° . 39.如图,在△ ABC中,∠ BAC=90°,AC≠ AB,AD是斜边 BC上的高, DE⊥ AC,DF⊥ AB,垂足分别为E,F,则图中与∠ C(∠ C除外)相等的角的个数是 (A)A.3 B.4 C.5 D.610.如图,在△ ABC中,∠ ACB=68°,若 P为△ ABC内一点,且∠1 =∠2,则∠ BPC= (D)A.68° B.120° C.92° D.112°11.如图,已知△ ABC中,∠ ACB=90°,CD为 AB边上的高,∠ ABC的平分线 BE分别交 CD,CA于点 F,E,则下列结论正确的是 (A)① ∠1 =∠2; ② ∠4 =∠5; ③ ∠ A=∠4; ④ ∠2 与∠5 互余 .A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③12.如图,∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360° . 13.直角三角形两锐角的平分线相交所成的角的度数为 45°或 135° . 14.如图,已知∠ AOD=30°,点 C是射线 OD上的一个动点 .在点 C的运动过程中,△ AOC恰好是直角三角形,则此时∠ A所有可能的度数为 60°或 90° . 15.如图, BD,CE是△ ABC的高, BD和 CE相交于点 O.(1)图中有哪几个直角三角形?(2)图中有与∠2 相等的角吗?请说明理由 .4(3)若∠4 =55°,∠ ACB=65°,求∠3,∠5 的度数 .解:(1)直角三角形有:△ BOE,△ BCE,△ ACE,△ BCD,△ COD,△ ABD.(2)与∠2 相等的角是∠1 .理由如下: ∵BD ,CE是△ ABC的高,∴ ∠1 +∠ A=90°,∠2 +∠ A=90°,∴ ∠1 =∠2,∴ 与∠2 相等的角是∠1 .(3)∵ ∠ ACB=65°,BD是高,∴ ∠3 =90°-∠ ACB=90°-65°=25°,在△ BOC中,∠ BOC=180°-∠3 -∠4 =180°-25°-55°=100°,∴ ∠5 =∠ BOC=100°.16.在△ ABC中,∠ ACB=90°,∠ B=30°,CD⊥ AB于点 D,CE是△ ABC的角平分线 .(1)求∠ DCE的度数;(2)若∠ CEF=135°,求证: EF∥ BC.解:(1) ∵ ∠ B=30°,CD⊥ AB,∴ ∠ DCB=90°-∠ B=60°.∵CE 平分∠ ACB,∠ ACB=90°,∴ ∠ ECB= ∠ ACB=45°,12∴ ∠ DCE=∠ DCB-∠ ECB=60°-45°=15°.(2)∵ ∠ CEF=135°,∠ ECB= ∠ ACB=45°,12∴ ∠ CEF+∠ ECB=180°,∴EF ∥ BC.拓展探究突破练17.如图,在△ ABC中, O是高 AD和 BE的交点 .(1)观察图形,试猜想∠ C和∠ DOE,∠ C和∠ AOE之间具有怎样的数量关系?请说明理由 .(2)在这个解题过程中包含这样一个规律:如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角的数量关系为 相等或互补 . (3)如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,其中一个角比另一个角的 3倍少 60°,求这两个角的度数 .解:(1)连接 OC,∵AD ⊥ BC,BE⊥ AC,∴ ∠ ACO+∠ COE=90°,∠ BCO+∠ COD=90°,∴ ∠ ACO+∠ COE+∠ BCO+∠ COD=180°,即∠ ACB+∠ DOE=180°.∵ ∠ DOE+∠ AOE=180°,∴ ∠ ACB=∠ AOE.5(2)提示:两种情况分别如图所示 .(3)设较小的角为 α ,则另一个角为 3α- 60°,∴α+ 3α- 60°=180°或 α= 3α- 60,解得 α= 60°或 30°.1第 4 课时 三角形的外角知识要点基础练知识点 1 三角形外角的概念1.如图,下列关于外角的说法正确的是 (D)A.∠ HBA 是△ ABC 的外角B.∠ HBG 是△ ABC 的外角C.∠ DCE 是△ ABC 的外角D.∠ GBA 是△ ABC 的外角知识点 2 三角形外角的性质2.如图,∠ A=30°,∠ B=45°,∠ C=40°,则∠ DFE= (C)A.75° B.100°C.115° D.120°3.如图所示,已知 AB∥ CD,则 (A)A.∠1 =∠2 +∠3 B.∠1 ∠2 +∠3C.∠2 =∠1 +∠3 D.∠1 ∠ DOE∠ BDCB.∠ DOE∠ BDC∠ AC.∠ DOE∠ A∠ BDCD.无法确定5.如图, D 是△ ABC 的 BC 边上一点,∠ B=∠ BAD,∠ ADC=80°,∠ BAC=70°.求:(1)∠ B 的度数;(2)∠ C 的度数 .解:(1) ∵ ∠ ADC=∠ B+∠ BAD=80°,∠ B=∠ BAD,∴ ∠ B=40°.(2)∵ ∠ BAC+∠ B+∠ C=180°,∠ BAC=70°,∠ B=40°,∴ ∠ C=70°.综合能力提升练6.如图所示,∠ ACD 是△ ABC 的一个外角, CE 平分∠ ACD,F 为 CA 延长线上的一点, FG∥ CE,交AB 于点 G,下列说法正确的是 (C)A.∠2 +∠3 ∠1B.∠2 +∠3 ∠1C.∠2 +∠3 =∠1D.无法判断7.△ ABC 的三条外角平分线相交成一个△ A'B'C',则△ A'B'C' (C)A.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是锐角三角形 D.一定不是锐角三角形8.有一块试验地形状为等边三角形(设其为△ ABC),为了了解情况,管理员甲从顶点 A 出发,沿 AB→ BC→ CA 的方向走了一圈回到顶点 A 处 .管理员乙从 BC 边上的一点 D 出发,沿DC→ CA→ AB→ BD 的方向走了一圈回到出发点 D 处 .则甲、乙两位管理员从出发到回到原处的途中身体 (D)A.甲、乙都转过 180°B.甲、乙都转过 360°C.甲转过 120°,乙转过 180°D.甲转过 240°,乙转过 360°39.如果一个三角形的三个内角与一个外角的和是 225°,则与这个外角相邻的内角是 135 °. 【变式拓展】若三角形的一个内角等于这个三角形外角和的 ,则这个内角的度数为 13120° . 10.如图, AD 是∠ EAC 的平分线,∠ B=50°,∠ D=15°,则∠ ACB= 80° . 11.如图,已知在△ ABC 中,∠1 =∠2 .(1)请你添加一个与直线 AC 有关的条件,由此可得出 BE 是△ ABC 的外角平分线 .(2)请你添加一个与∠1 有关的条件,由此可得出 BE 是△ ABC 的外角平分线 .(3)如果“已知在△ ABC 中,∠1 =∠2 不变”,请你把(1)中添加的条件与所得结论互换,所得的命题是否是真命题,理由是什么?解:(1) AC∥ BE.(2)∠1 =∠ ABE 或∠1 =∠ DBE.(3)是真命题,理由如下:因为 BE 是△ ABC 的外角平分线,所以∠ ABE=∠ DBE,又 ∵ ∠ ABD 是三角形 ABC 的外角,所以∠ ABD=∠1 +∠2,即∠ ABE+∠ DBE=∠1 +∠2,又 ∵ ∠ ABE=∠ DBE,∠1 =∠2,所以∠ ABE=∠1,所以 AC∥ BE.12.星期天,小明见爸爸愁眉苦脸在看一张图纸,他便悄悄地来到爸爸身边,想看爸爸为什么犯愁 .爸爸见到他,高兴地对他说:“来帮我一个忙,你看这是一个四边形零件的平面图,它要求∠ BDC 等于 140°才算合格,小明通过测量得∠ A=90°,∠ B=19°,∠ C=40°后就下结论说此零件不合格,于是爸爸让小明解释这是为什么,小明很轻松地说出了原因,并用如下的三种方法解出此题 .请你分别说出不合格的理由 .(1)如图 1,连接 AD 并延长 .(2)如图 2,延长 CD 交 AB 于点 E.(3)如图 3,连接 BC.解:(1)∠ BDC=∠1 +∠2 =∠ BAC+∠ B+∠ C=90°+19°+40°=149°≠140°,故不合格 .(2)∠ BDC=∠1 +∠ B=∠ A+∠ C+∠ B=149°≠140°,故不合格 .(3)∵ ∠1 +∠2 =180°-(90°+19°+40°),4∴ ∠ BDC=180°-(∠1 +∠2) =149°≠140°,故不合格 .13.如图,在△ ABC 中,点 E 在 AC 上,∠ AEB=∠ ABC.(1)图 1 中,作∠ BAC 的平分线 AD,分别交 CB,BE 于 D,F 两点,求证:∠ EFD=∠ ADC.(2)图 2 中,作△ ABC 的外角∠ BAG 的平分线 AD,分别交 CB,BE 的延长线于 D,F 两点,试探究(1)中结论是否仍成立?为什么?解:(1) ∵AD 平分∠ BAC,∴ ∠ BAD=∠ DAC,∵ ∠ EFD=∠ DAC+∠ AEB,∠ ADC=∠ ABC+∠ BAD,又 ∵ ∠ AEB=∠ ABC,∴ ∠ EFD=∠ ADC.(2)(1)中结论仍成立 .理由: ∵AD 平分∠ BAG,∴ ∠ BAD=∠ GAD,∵ ∠ FAE=∠ GAD,∴ ∠ FAE=∠ BAD,∵ ∠ EFD=∠ AEB-∠ FAE,∠ ADC=∠ ABC-∠ BAD,又 ∵ ∠ AEB=∠ ABC,∴ ∠ EFD=∠ ADC.拓展探究突破练14.已知△ ABC.(1)如图 1,若 D 点是△ ABC 内任意一点,求证:∠ D=∠ A+∠ ABD+∠ ACD.(2)若 D 点是△ ABC 外一点,位置如图 2 所示 .猜想∠ D,∠ A,∠ ABD,∠ ACD 有怎样的关系?请直接写出所满足的表达式 .(不需要证明)(3)若 D 点是△ ABC 外一点,位置如图 3 所示,猜想∠ D,∠ A,∠ ABD,∠ ACD 之间有怎样的关系?并证明你的结论 .解:(1)延长 BD 交 AC 于点 E.∵ ∠ BDC 是△ CDE 的外角, ∴ ∠ BDC=∠ ACD+∠ CED,∵ ∠ CED 是△ ABE 的外角, ∴ ∠ CED=∠ A+∠ ABD.∴ ∠ BDC=∠ A+∠ ABD+∠ ACD.(2)∠ D+∠ A+∠ ABD+∠ ACD=360°.(3)令 BD,AC 交于点 E,∵ ∠ AED 是△ ABE 的外角, ∴ ∠ AED=∠ A+∠ ABD,∵ ∠ AED 是△ CDE 的外角, ∴ ∠ AED=∠ D+∠ ACD,∴ ∠ D+∠ ACD=∠ A+∠ ABD.