1、1复数复数基础知识一、复数的基本概念（1）形如 a + bi 的数叫做复数（其中 Rba， ） ；复数的单位为 i，它的平方等于1，即 12.其中 a 叫做复数的实部， b 叫做虚部实数：当 b = 0 时复数 a + bi 为实数虚数：当 时的复数 a + bi 为虚数；纯虚数：当 a = 0 且 时的复数 a + bi 为纯虚数（2）两个复数相等的定义： 0 baiRdcdbcdicb ） 特 别 地，（ 其 中 ，且（3）共轭复数： 的共轭记作 ； zaizab（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； ，对应zi点坐标为 ,pb（5）复数的模：对于复数 ，把 叫做复数 z
2、的模；zabi2zab二、复数的基本运算设 ，11zabi22zi（1） 加法： ；112abi（2） 减法： ；122z（3） 乘法： 特别 。1212ai 2zab（4）幂运算： 1i23i45i6三、复数的化简（ 是均不为 0 的实数） ；的化简就是通过分母实数化的方法将分母cdizab,化为实数： 2acbdcicidiizab2对于 ，当 时 z 为实数；当 z 为纯虚数是 z 可设为0cdizabcdab进一步建立方程求解xi一、知识梳理1、复数的有关概念（1）复数的概念：形如 的数叫做复数，其中 分别是它的 (,)abiR,ab。若 ，则 为实数，若 ，则 为虚数，若 i，则 为
3、纯虚数。abi（2）复数相等： 。icdi(,)abcdR（3）共轭复数： 与 共轭 。,（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面， 轴叫做 ，x轴叫做 。实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 y；各象限内的点都表示 。（5）复数的模：向量 的模 叫做复数 的模，记作： ，OZrzabi即 。zabi2、复数的几何意义（1）复数 复平面上的点 。zi (,)ZabR（2）复数 复平面上的向量 。abO3、复数的运算（1）复数的四则运算设 ， ，则zabi2zcdi(,)abR加法： ；1减法： ；2z乘法： = ；1一一对应一一对应3除法： = = （ ） 。12z
4、0cdi（注：分母实数化）（2）复数的运算定律：； ；1z123z； ；2 ()= ； ； = 。mnznmz12nz4、几个重要的结论（1） ；)|(2| 2112zzz（2） ；|（3）若 z 为虚数，则 。2|z复数最重要的一点就是：记住 1i2例 1：已知 ，求14zabi（1） 当 为何值时 z 为实数,（2） 当 为何值时 z 为纯虚数（3） 当 为何值时 z 为虚数,ab（4） 当 满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。例 2：已知 ； ，求当 为何值时134zi234abi,ab12=z例 3：已知 ，求 ， ；1ziz4变式：1 i是虚数单位, 41i()-等于
5、( )Ai B-i C1 D-1变式 2：已知 是虚数单位， （ ）i32i 1i1ii1i变式 3：已知 是虚数单位，复数 = （ ） i1A B C D2i2i变式 4：已知 i 是虚数单位，复数 （ ）312i(A)1i (B)55i (C)-5-5i (D)-1i变式 5：已知 是虚数单位，则 （ ）i3i(A) (B)1 (C) (D)1 i变式 6：已知 iZ =2+i,则复数 z=（）（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i变式 7：i 是虚数单位，若 17(,)2iabiR，则乘积 ab的值是（A）15 （B）3 （C）3 （D）15真题实战：1 （2005
6、）若 ，其中 a、bR，i 是虚数单位，则 =（ ）iia)2( 2baA0 B 2 C D5252 （2005）已知向量 则 x= .,/),6(),3(x且3.（2007）若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=A-2 B C. D212124 （2008）已知 0a，复数 zai（ 是虚数单位） ，则 |z的取值范围是（ ）A (15)， B (13)， C (5)， D (13)，55.（2009）下列 n 的取值中，使 =1(i 是虚数单位）的是niA. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=56 （2011）设复数 z 满足 iz=1，其中 i
7、 为虚数单位，则A-i Bi C-1 D17.（2012）设 i 为虚数单位，则复数 43i=（ ）A.3 B.1 C.-5 D.-68 （2013）若 ， ，则复数 的模是()3ixyi,xyRxyiA2 B3 C4 D5二、例题分析类型一：复数的有关概念及复数的几何意义【例 1】当实数 为何值时，m22lg()(3)zmmi（1）为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。类型二：复数相等【例 2】已知集合 ，集合 同时满足2(3)1),8Mabi23,(1)(Niabi，求整数 的值。,N6【例 3】已知 为共轭复数，且 ，求 。,xy2()346xyii,xy练习：已
8、知复数 的共轭复数为 ，且满足 ，求 。zz29ziiz类型三：复数的代数运算【例 4】计算：（1） ； （2） ； （3）45(2)13i 20131ii；632ii（4） 。22011ii类型四：复数加减法的几何意义【例 5】如图，平行四边形 ，顶点 分别表示 ，试求：OABC,0,324ii（1） 、 表示的复数；（2）对角线 所表示的复数。AB7练习：若 为复数，且 ，求 的最大值。z1zzi类型五：复数综合【例 6】求同时满足下列两个条件的所有复数 。z（1） ；（2） 的实部和虚部都是整数。0zz练习：已知虚数 使得 和 都为实数，求 。z12z21zz8三、巩固提高1、 的值是
9、（ 353ii）A i B -i C 1 D 12、当 时， 的值是 ( )1z501zA 1 B -1 C i D i3、 等于 ( )36()2iiA 0 B 1 C -1 D i4、设 、 、 、 ，若 为实数，则 ( )abcdRiabcd(A) (B) (C) (D) 00bcad0bcad5、 （ 221ii）（A） （B） （C）1 （D）ii16、 （ 205)1(i）A B C Dii2052057、对于 ，下列结论成立的是 ( )10202izA 是零 B 是纯虚数 C 是正实数 D 是负实数zzz8、已知 ，那么复数 在复平面内对应的点位于 （ 3(3)ii9）A 第一象
10、限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限9、设非零复数 满足 ，则代数式 的值是（ ,xy022yx190190xy）A B 1 C 1 D 0198210、若 ，则|z|的最大值是 ( )2|43|izA 3 B 7 C 9 D 511、复数 z 在复平面内对应的点为 A，将点 A 绕坐标原点按逆时针方向旋转 ，再向左平2移一个单位，向下平移一个单位，得到点 B，此时点 B 与点 A 恰好关于坐标原点对称，则复数 z 为 ( )A 1 B 1 C i Di12、设复数： 为实数，则 （ 212,(),zxRz若 x）A2 B1 C1 D2 13、若复数 z 满足方程 ，则 .ziz14、
11、设复数 则复数 的虚部等于 .12,3ii215i15、已知 .求 的值 .015)( 24xxxf )(231if16、已知复数 ，复数 满足 ，则复数 。032ziz0zz17、知 ，求使 的最小正整数 .i*niNn18、计算：3024222(8)(4)117iiii1019、设 ， ，试求满足 的最小正整 的值。iz31iz12 nz21,mn20、是否存在复数 ，使其满足 ，如果存在，求出 的值，如zaizi32()Rz果不存在，说明理由21、设等比数列 其中 ( ，且 ) nzz32,1123,zabizai,bR0a（1）求 的值；,ab（2）试求使 的最小自然数 n021nzz（3）对（2）中的自然数 ，求 的值。12z1122、已知 ，且复数 的虚部减去它的实部所得的差等于 ，求(0)1aiz()zi32复数 的模；23、已知复数 当 ，求实数 的取值范围。(13)(13),iiz zai2a24、在复数范围内解方程 (i 为虚数单位)iz23)(2
