1、(1) 若反常积分 0 1 1 ( ) a b d x x x 收敛， 则 ( ) (A) 1 a 且 1. b (B) 1 a 且 1. b (C) 1 a 且 1. a b (D) 1 a 且 1 a b . (2) 已知函数 2 1 1 1 ( ), , ( ) ln , , x x f x x x 则 ( ) f x 的一个原函数是 （ ） (A) 2 1 1 1 1 ( ), , ( ) (ln ), . x x F x x x x (B) 2 1 1 1 1 1 ( ), , ( ) (ln ) , . x x F x x x x (C) 2 1 1 1 1 1 ( ), , (
2、) (ln ) , . x x F x x x x (D) 2 1 1 1 1 1 ( ), , ( ) (ln ) , . x x F x x x x (3) 若 y (1 x 2 ) 2 1 x 2 , y (1 x 2 ) 2 1 x 2 是微分方程 y p( x) y q( x) 的两个解，则 q( x) （ ） (A)3 x(1 x 2 ). (B) 3 x(1 x 2 ). (C) 2 1 x x . (D) 2 1 x x . (4) 已知函数 0 1 1 1 1 2 1 , , ( ) , , , , , x x f x n n n n x 则 （ ） (A) x 0是 f(
3、x)的第一类间断点. (C) f( x)在 x 0处连续但不可导. (B) x 0是 f( x)的第二类间断点. (D) f( x)在 x 0处可导. (5) 设 A， B 是可逆矩阵， 且 A与 B 相似， 则下列结论错误的是 ( ) (A) A T 与 B T 相似. (C) A A T 与 B B T 相似. (B) A 1 与 B 1 相似 (D) A A 1 与 B B 1 相似. 2016 数学 试题 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在 答题 纸 指定位置上.(6) 设二次型 1 2
4、 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f ( x , x , x ) x 2 x 2 x 2 4 x x 4 x x 4 x x ，则 1 2 3 f ( x , x , x ) 2在空间直 ( ) 角坐标下表示的二次曲面为 (A) 单叶双曲面. (C) 椭球面. (B) 双叶双曲面. (D)柱面. (7) 设随机变量 X N( , 2 ) ( 0)， 记 p P X 2 ， 则 ( ) (A) p 随着 的增加而增加. (B) p 随着 的增加而增加. (C) p 随着 的增加而减少. (D) p 随着 的增加而减少. (8) 随机试验 E有三种两两不相容的结果 A 1 2 3 , A
5、, A ,且三种结果发生的概率均为 1 3 ,将试验 E 独 立重复做 2次， X 表示 2次试验中结果 A 1 发生的次数， Y 表示 2次试验中结果 A 2 发生的次数， 则 X 与 Y 的相关系数为 （ ） (A) 1(B) 1 3 (C) 1 3 (D) 1 2 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在 答题纸 指定位置上.(9) 0 2 0 lim _. 1 cos x x t ln 1 t sin t d t x (10)向量场 A ( x, y, z ( = ) x +y +z ) i +xyj +zk 的旋度 rotA =_. (11) 设函数 f u, v
6、 可微， z z x, y 由方程 x 1 z y 2 x 2 f x z, y 确定，则 d z | 0,1 _. (12) 设函数 f x 2 arctan 1 x x ax ，且 f 0 1，则 a _ . 2 (13) 行列式 1 0 0 0 1 0 _. 0 0 1 4 3 2 1 (14) 设 x 1 , x 2 ,., x n 为来自总体 N , 2 的简单随机样本，样本均值 x 9.5，参数 的置信度 为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则 的置信度为0.95的双侧置信区间为 _ . 三、解答题：1523 小题,共 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出
7、 文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10 分) 已知平面区域 r, 2 cos , , 2 2 D r 2 1 计算二重积分 D x dx dy . (16)(本题满分10分) 设函数 y( x)满足方程 y 2 y k y 0，其中 0 k 1. 0 y( x) d x （I）证明：反常积分 收敛； + 0 （II）若 y(0) 1, y (0) 1,求 y( x) d x的值. (17)(本题满分10分) ( x, y) 设函数 f ( , 满足 ) (2 1) e 2 x y , f (0, y) y 1, L t f x y x x 且 是从点 (0,0)到点 (1,
8、t)的光滑 曲线，计算曲线积分 ) ( x, y) d ( x, y) d L t I ( t f x f y x y ，并求 I( t)的最小值. (18)(本题满分10分) 设有界区域 由平面 2 x y 2 z 2与三个坐标平面围成， 为 整个表面的外侧，计算曲 面积分 I ( x 2 1) dy dz 2 y dz dx 3 z dx dy . (19)(本题满分10分) 2 已知函数 f ( x)可导，且 f (0) 1,0 f ( x) 1 .设数列 x n 满足 1 ( x n )( n 1,2 ) n x f 证明： (I)级数 1 1 n n n x x 绝对收敛； (II)
9、 lim n lim x n n x n 存在，且0 2.(20)(本题满分11分) 设矩阵 1 1 1 2 2 2 1 , 1 1 1 1 A a B a 2 a a . 当 a为何值时，方程 A X B无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求此方程. (21)(本题满分11分) 已知矩阵 0 1 1 2 3 0 0 0 0 A (I)求 A 99 (II)设3阶矩阵 1 2 3 B ( , , )满足 B 2 B A.记 1 2 3 B 100 ( , , )，将 1 2 3 , , 分别表示为 1 2 3 , , 的线性组合. (22)(本题满分11 分) 设二维随机变量 ( X , Y) 在区域 D ( x, y) 0 x 1, x 2 y x 上服从均匀分布，令 1, , 0, . X Y U X Y (I)写出( X , Y)的概率密度； (II)问 U 与 X 是否相互独立？并说明理由； (III)求 Z U X 的分布函数 F( z). 23 (本题满分11 分) 2 3 3 ,0 , ) 0, x f ( x x ， 其他， 其中 (0, )为未知参数， 1 2 3 X , X , X 为 来自总体 X 的简单随机样本，令 1 2 3 T max( X , X , X ). (I) 求T 的概率密度； (II) 确定 a ，使得 aT 为 的无偏估计.
