1、数列1、数列中 与 之间的关系：naS注意通项能否合并。1,()2.nn2、等差数列：定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即 na=d ， （n2，nN ） ，1na那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数 成等差数列aAb、 、 2abA通项公式： 1()()nmdnd或 pq、 是 常 数 ） .前 项和公式： 1122nn aSad常用性质：若 ，则 ；Nqpm, qpnmaa下标为等差数列的项 ，仍组成等差数列；,2kka数列 （ 为常数）仍为等差数列；ban,若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、nnabk、 ，也成等差数列。*(,
2、)pnqN单调性： 的公差为 ，则：nad） 为递增数列；0dn） 为递减数列；） 为常数列；na数列 为等差数列 （p,q 是常数）napq若等差数列 的前 项和 nS，则 k、 kS2、 k23 是等差数列。3、等比数列定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。等比中项：若三数 成等比数列 （ 同号） 。反之不一定成立。ab、 G、 2,ab通项公式： 1nnmaq前 项和公式：n11nnaqS常用性质若 ，则 ；Nqpm,mnpqa 为等比数列，公比为 (下标成等差数列,则对应的项成等比数列),2kkak数列 （ 为不等于零的常数
3、）仍是公比为 的等比数列；正项等比数列 ；则n na是公差为 的等差数列；lglgq若 是等比数列，则 na2nca， ， 1n，是等比数列，公比依次是()rnZ2.rq， ， ，单调性：为递增数列；110,0,aqaq或 na为递减数列；或为常数列；n为摆动数列；0qa既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。若等比数列 的前 n项和 nS，则 k、 kS2、 k23 是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法类型 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。类型 公式法：若已知数列的前 n项和 nS与 的关系，求数列 的
4、通项 可用anan公式 构造两式作差求解。1,()2nnSa用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二” ，即分段式；另一种是“合二为一” ，即 和 合为一个表达， （要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验1n 1n证能否统一） 。类型 累加法：形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造： )(1fan)(f121().()nafnf将上述 个式子两边分别相加，可得：1()(2).(),(2)naffnfan若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;()f若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和; n若 是关于 的分
5、式函数，累加后可裂项求和. ()f类型 累乘法：形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：1()naf1()naf)(nf121(.)()nfafa将上述 个式子两边分别相乘，可得：n1()(2).(),(2)fffan有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类型 构造数列法：形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式： qpann1,p0p（1）若 时，数列 为等差数列; n（2）若 时，数列 为等比数列;0（3）若 且 时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等pqna比数列来求.方法有如下两种：法一： 设 ,展开移项整理得 ,与题设1()nna1(1)nn
6、ap比较系数（待定系数法）得1nnapq,即1,(0)()1nnqqapa1()nnqqapa构成以 为首项，以 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公1nqap1式求出 的通项整理可得n.na法二： 由 得 两式相减并整理得 即qpann11(2)npq1,nap构成以 为首项，以 为公比的等比数列.求出 的通项再转化1na21 为类型（累加法）便可求出 .n形如 型的递推式：1()nnpf当 为一次函数类型（即等差数列）时：()f法一： 设 ，通过待定系数法确定 的值，转1()nnaABaABAB、化成以 为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项1pna公式求出 的通项整理可
7、得n .n法二： 当 的公差为 时，由递推式得： ，()fd1()nnpf两式相减得： ，令 得：1nap1(naad1nnba转化为 类型 求出 ，再用类型（累加法）便可求出bdb.当 为指数函数类型（即等比数列）时：()f法一： 设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以1()()nnafpaf为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求1()f ()naf出 的通项整理可得n .n法二： 当 的公比为 时，由递推式得： ，()fq1()nnpf，两边同时乘以 得 ，由两式相1napaq减得 ，即 ，在转化为类型便可求出11()nnaqpa1naqp.na法三： 递推公式为 （
8、其中 p，q 均为常数）或 （其中nn1 1nnaprqp，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，1nann11引入辅助数列 （其中 ） ，得： 再应用类型的方法解决。nbnqaqbpnn1当 为任意数列时，可用通法：()f在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则1()nnapf1np11()nnafpnabp，在转化为类型（累加法） ，求出 之后得 .11nnfb nbn类型 对数变换法：形如 型的递推式：1(0,)qnnapa在原递推式 两边取对数得 ，令 得：1q 1lglgnnaqplgnba，化归为 型，求出 之后得 （注意：底数不一1lgnbq pn1b10.
9、定要取 10，可根据题意选择） 。类型 倒数变换法：形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为11nnapa01na形式，化归为 型求出 的表达式，再求 ；1nqpann11nan还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归nnmapq 1nnmqap为 型求出 的表达式，再求 .a1nn类型 形如 型的递推式：nnqapa12用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解。方法为：设1，比较系数得 ，可解得 ，于是)(112nnkhka qhkp,hk、是公比为 的等比数列，这样就化归为 型。1nakh qpann1总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能
10、转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 .n5、非等差、等比数列前 项和公式的求法n 错位相减法若数列 为等差数列，数列 为等比数列，则数列 的求和就要采用此法.nanbnab将数列 的每一项分别乘以 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列b的前 项和.n此法是在推导等比数列的前 项和公式时所用的方法 .n 裂项相消法一般地，当数列的通项 时，往往可将12()ncaban12(,bc为 常 数 ）变成两项的差，采用裂项相消法求和.na可用待定系数法进行裂项：设 ，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得12nban，从而可得21c12112=().()canbbanb常见的拆项公式有： (1)nn； 1();(2)2n 1();abab 1;mmnnC !(1)!.nn 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组. 倒序相加法如果一个数列 ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与na倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： 121.nna记住常见数列的前 项和： ()3.; 2151n 22.()1.6n
