1、2017-2018 学年吉林省长春市高三（上）期中数学试卷（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 z= ，则 z的共轭复数 | |=（ ） A 5 B 1 C D 2已知集合 A=x|x| 1， B=x|x2 2x 3 0，则 A B=（ ） A（ 1， 1） B R C（ 1， 3 D（ 1， 3 3已知向量 （ ） A B C D 4 “ ” 是 “f （ x） =Asin（ x +）是偶函数 ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5已知命题 p“ 函数 f（ x）
2、 =log2（ x2 2x 3）在（ 1， + ）上单调递增 ” ，命题 q“ 函数 f（ x） =ax+1 1的图象恒过（ 0， 0）点 ” ，则下列命题正确的是（ ） A p q B p q C p （ q） D（ p） q 6已知向量 是奇函数，则实数 a 的值为（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 7要得到 y=sinxcosx cos2x+ 的图象，只需将函数 y= sin2x的 图象（ ） A左移 B右移 C左移 D右移 8已知实数 a=cos224 sin224 ， b=1 2sin225 ， c= ，则 a， b， c 的大小关系为（ ） A b a c B c a b C
3、a b c D c b a 9直线 x=1， x=e与曲线 y= 围成的面积是（ ） A B C D 10已知等差数列 an满足 a3=3，且 a1， a2， a4成等比数列，则 a5=（ ） A 5 B 3 C 5或 3 D 4或 3 11若函数 f（ x） =lnx+x2 ax+a+1为（ 0， + ）上的增函数，则实数 a的取值范围是（ ） A B（ ， 2 C 1， + ） D 2， + ） 12已知 f（ x）为定义域为 R的函数， f（ x）是 f（ x）的导函数，且 f（ 1） =e， x R都有 f（ x） f（ x），则不等式 f（ x） ex的解集为（ ） A（ ， 1）
4、B（ ， 0） C（ 0， + ） D（ 1， + ） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分 13若 = 14函数 f（ x） =ex（ x+sinx+1）在 x=0处的切线方程为 15已知实数 a， b， c成公差为 1的等差数列， b， c， d成等比数列， a 0，则 a+b+c+d的取值范围是 16已知 O是 ABC内一点，且 5 = 三、解答题（本大题共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知 ABC三个内角 A， B， C的对边分别为 （ 1）求角 A的大小； （ 2）当 a=2时，求 ABC周长的最大值 18长春某高校 “ 红烛 ” 志愿者协会计划募捐救
5、助农村贫困学生，采用如下方式：在不透明的箱子中放入大小形状均相同的白球七个，红球三个，每位参与者投币 10元有一次摸奖机会，一 次性从箱中摸球三个，若有一个红球，奖金 5元，两个红球奖金 10元，三个全为红球奖金100元 （ 1）求参与者中奖的概率； （ 2）若有 200个爱心人士参加此项活动，求此次募捐所得善款的期望值 19在三棱锥 P ABC中， ABC与 PAC均为正三角形， AB=2，平面 ABC 平面 PAC M， D分别是 AC 与 PC的中点， E在 AP上且 AE= AP （ 1）证明 ME 平面 MBD； （ 2）若 F为 PA上一点，且 PF=FA ，当二面角 F BD M
6、为直二面角时，求 的值； （ 3）写出三棱锥 P ABC外接球的体积（不需要过程） 20已知一动点 M到直线 x= 4的距离是它到 F（ 1， 0）距离的 2倍 （ 1）求动点 M的轨迹方程 C； （ 2）若直线 l经过点 F，交曲线 C于 A， B两点，直线 AO交曲线 C于 D求 ABD 面积的最大值及此时直线 BD 的斜率 21已知函数 f（ x） =alnx+ （ 1）讨论 f（ x）的单调性； （ 2）当 f（ x）有两个极值点 x1， x2，且 m恒成立时，求 m的取值范围 22已知曲线 C1的参数方程为 ，以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极
7、坐标方程为 msin cos= （ 1）求 C1， C2的直角坐标方程； （ 2）若曲线 C2与 C1交于 M， N两点，与 x轴交于 P点，若 ，求 m的值 2017-2018 学年吉林省长春市高三（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 z= ，则 z的共轭复数 | |=（ ） A 5 B 1 C D 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算 【解答】解： z= = ， ，则 | |=|i|=1 故选： B 2已知集合
8、 A=x|x| 1， B=x|x2 2x 3 0，则 A B=（ ） A（ 1， 1） B R C（ 1， 3 D（ 1， 3 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】先分别求出集合 A， B，由此能求出 A B 【解答】解： 集合 A=x|x| 1=x|x 1或 x 1， B=x|x2 2x 3 0=x| 1 x 3， A B=x|1 x 3=（ 1， 3 故选： C 3已知向量 （ ） A B C D 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】根据向量的夹角公式计算即可 【解答】解：设 与 的夹角为 ， | |=1， | |= =2， cos= = = ， 0 ， = ， 故选： B 4
9、 “ ” 是 “f （ x） =Asin（ x +）是偶函数 ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】根据充要条件的定义，结合三角函数的图象和性质，可得答案 【解答】解：当 “ ” 时， “f （ x） =Asin（ x +） =Acosx 是偶函数 ” ， “f （ x） =Asin（ x +）是偶函数 ” 时， “ +k ， k Z” ， 故 “ ” 是 “f （ x） =Asin（ x +）是偶函数 ” 的充分不必要条件， 故选： A 5已知命题 p“ 函数 f（ x） =log2（
10、 x2 2x 3）在（ 1， + ）上单调递增 ” ，命题 q“ 函数 f（ x） =ax+1 1的图象恒过（ 0， 0）点 ” ，则下列命题正确的是（ ） A p q B p q C p （ q） D（ p） q 【考点】 2E：复合命题的真假 【分析】先判断两个简单命题的真假，进而根据复 合命题真假判断的真值表得到答案 【解答】解：函数 f（ x） =log2（ x2 2x 3）的定义域为：（ ， 1） （ 3， + ）， 故命题 p“ 函数 f（ x） =log2（ x2 2x 3）在（ 1， + ）上单调递增 ” ，为假命题； 令 x+1=0，则 x= 1， ax+1 1=0，故函数
11、f（ x） =ax+1 1的图象恒过（ 1， 0）点， 故命题 q“ 函数 f（ x） =ax+1 1的图象恒过（ 0， 0）点 ” ，为假命题； 则 p q， p q， p （ q）均为假命题； （ p） q为真命题， 故选： D 6已知向量 是奇函数，则实数 a 的 值为（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】根据向量的数量积和奇函数的定义即可求出 【解答】解： f（ x） = =2ex+ae x， f（ x）为奇函数，且定义域为 R， f（ 0） =0， 即 2+a=0， 解得 a= 2， 故选： D 7要得到 y=sinxcosx cos2
12、x+ 的图象，只需将函数 y= sin2x的图象（ ） A左移 B右移 C左移 D右移 【考点】 HJ：函数 y=Asin（ x + ）的图象变换 【分析】利用三角恒等变换化简 函数的解析式，再利用函数 y=Asin（ x + ）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：要得到 y=sinxcosx cos2x+ = sin2x + = sin（ 2x ）的图象， 只需将函数 y= sin2x的图象象右平移 个单位即可， 故选： D 8已知实数 a=cos224 sin224 ， b=1 2sin225 ， c= ，则 a， b， c 的大小关系为（ ） A b a c B c a b C a b
13、 c D c b a 【考点】 GI：三角函数的化简求值 【分析】由题意利用余弦函数的值域和单调 性，可得 a， b， c的大小关系 【 解 答 】 解 ： 实 数 a=cos224 sin224=cos48 ， b=1 2sin225=cos50 ，c= =tan46 1， 再根据余弦函数 y=cosx在（ 0 ， 90 ）上单调递减，且它的值域为（ 0， 1）， 可得 c a b， 故选： B 9直线 x=1， x=e与曲线 y= 围成的面积是（ ） A B C D 【考点】 6G：定积分在求面积中的应用 【分析】利用定积分的几何意义表示出曲边图形的面积，再求值 【解答】解：如图所示， 由
14、直线 x=1， x=e 与曲线 y= 围成的阴影部分面积是 （ ） dx= dx dx = lnx = 1+0 = （ 2 5） 故选： A 10已知等差数列 an满足 a3=3，且 a1， a2， a4成等比数列，则 a5=（ ） A 5 B 3 C 5或 3 D 4或 3 【考点】 84：等差数列的通项公式 【分析】设等差数列 an的公差为 d，可得 a1=3 2d， a2=3 d， a4=3+d，由 a1， a2， a4成等比数列，得关于 d的方程，求出 d，则 a5可求 【解答】解：设等差数列 an的公差为 d， 则 a1=3 2d， a2=3 d， a4=3+d， 由 a1， a2，
15、 a4成等比数列，得 =a1a4，即（ 3 d） 2=（ 3 2d）（ 3+d）， 解得： d=0或 1， 当 d=0时， a5=a3+2d=3； 当 d=1时， a5=a3+2d=5 故选： C 11若函数 f（ x） =lnx+x2 ax+a+1为（ 0， + ）上的增函数，则实数 a的取值范围是（ ） A B（ ， 2 C 1， + ） D 2， + ） 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】由函数 f（ x） =lnx+x2 ax+a+1为 （ 0， + ）上的增函数，可得： f （ x） = +2xa 0，化为： a +2x=g（ x），利用导数研究函数的单调性极值与最值
16、即可得出 【解答】解： f （ x） = +2x a， 函数 f（ x） =lnx+x2 ax+a+1为（ 0， + ）上的增函数， f （ x） = +2x a 0，化为： a +2x=g（ x）， g （ x） =2 = = ， 可知： x= 时，函数 g（ x）取得极小值即最小值， =2 则实数 a的取值范围是 a 2 故选： A 12已知 f（ x）为定义域为 R的函数， f（ x）是 f（ x）的导 函数，且 f（ 1） =e， x R都有 f（ x） f（ x），则不等式 f（ x） ex的解集为（ ） A（ ， 1） B（ ， 0） C（ 0， + ） D（ 1， + ） 【考点
17、】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】根据题意，令 g（ x） = ，结合题意对其求导分析可得 g （ x） 0，即函数 g（ x）在 R 上为增函数，又由 f（ 1） =e，可得 g（ e） = =1，而不等式 f（ x） ex可以转化为 g（ x） g（ 1），结合函数 g（ x）的单调性分析可得答案 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 令 g （ x ） = ， 其 导 数 g （ x ）= = ， 又由， x R都有 f（ x） f（ x），则有 g （ x） 0，即函数 g（ x）在 R上为增函数， 若 f（ 1） =e，则 g（ e） = =1， f（ x） ex 1
18、g（ x） g（ 1）， 又由函数 g（ x）在 R上为增函数， 则有 x 1，即不等式 f（ x） ex的解集为（ ， 1）； 故选： A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分 13若 = 【考点】 GI：三角函数的化简求值 【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得 cos（ ）的值，再利用两角和的余弦公式求得 cos=cos （ ） + 的值 【解答】解： sin（ ） = ， （ 0， ）， cos（ ） = = ， cos=cos （ ） + =cos（ ） cos sin（ ） sin = ， 故答案为： 14函数 f（ x） =ex（ x+sinx+1）在 x=0处的切线方程
19、为 3x y+1=0 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】求出函数的导数，可得在 x=0 处切线的斜率，求得切点坐标，运用斜截式方程可得切线的方程 【解答】解： f （ x） =ex（ sinx+cosx+x+2）， f （ 0） =3， f（ 0） =1， 故切线方程是： y 1=3x， 即 3x y+1=0， 故答案为： 3x y+1=0 15已知实数 a， b， c成公差为 1的等差数列， b， c， d成等比数列， a 0，则 a+b+c+d的取值范围是 （ 7， + ） 【考点】 7F：基本不等式 【分析】根据题意，由等差中项的性质可得 a+b+c=3b，且 c=
20、b+1，再结合等比中项的性质可得 d= =b+ +2，则 a+b+c+d=3b+b+ +2=4b+ +2，分析可得 b的取值范围，令 t=4b+ +2，结合对勾函数的单调性分析可得答案 【解答】解：根据 题意，实数 a， b， c成公差为 1的等差数列，则 a+b+c=3b，且 c=b+1， 若 b， c， d成等比数列，则有 c2=bd， 又由 c=b+1，则 d= =b+ +2， 则 a+b+c+d=3b+b+ +2=4b+ +2， 又由 a 0，则 b 1， 令 t=4b+ +2，（ b 1）， 分析可得 t 7， 则 a+b+c+d的取值范围为（ 7， + ）； 故答案为：（ 7， + ） 16已知 O是 ABC内一点，且 5 = 2
