1、,3.2 微积分基本公式,3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式,3.2.1 原函数和不定积分的概念,一、案例 二、概念和公式的引出,一、案例路程函数,这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如何求物体的运动方程s(t)呢？,二、概念和公式的引出,如果在开区间I内，可导函数 F(x)的导函数为f(x),或,则称函数 F(x)是函数f(x)在区间I内的一个原函数,原函数,即,其它符号的名称与定积分中的名称一致,不定积分,C称为积分常数，,或,或,函数的不定积分与导数（或微分）之间的运
2、算关系：,3.2.2 基本积分表,一、案例 二、概念和公式的引出,一、案例幂函数的不定积分,于是,类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式,因为,是,的一个原函数,1.基本积分表,(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),二、概念和公式的引出,(9),(10),(11),(12),(13),2、不定积分的性质,即两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差）。,性质可推广到有限个函数的情形,为常数,即被积函数中不为的常数因子可以提到积分号外,(1) 性质1,(2) 性质2,3.2.3 微积分基本公式,一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一
3、步练习,列车快进站时必须减速若列车减速后的速度为,（km/min），问列车应该在离站台多远的,地方开始减速？,解,由变速直线运动路程的计算，有,当列车速度为,时停下，解出,（min）,一、案例列车制动,，且,（km）,即列车在距站台1.5km处开始减速,列车从减速开始到停下来的3min内所经过的路程为,将s(0)=0代入上式，得C=0，故,原函数，则,此公式称为微积分基本公式，也称为牛顿莱布尼兹公式,二、概念和公式的引出,微积分基本公式,2、定积分的性质,即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差),性质可推广到有限个函数的情形,为常数,即被积函数的常数因子可以提到积分号外,(1) 性质
4、1,(2) 性质2,牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.,该公式把定积分的计算归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.,练习1 运动方程 已知一物体作直线运动，,(1)求速度v与时间t的函数关系；,(2)求路程s与时间t的函数关系,解,满足,且,求不定积分，得,且,求不定积分，得,练习2 磁场能量 在电压和电流关联参考方向下，,电感元件吸收的功率为,在dt时间内，电感元件在磁场中的能量增加量为,电流为零时，磁场亦为零，即无磁场能量；当电流从,0增大到i时，电感元件储存的磁场能量为,由此可见，磁场能量只与最终的电流值有关，而与电流建立的过程无关。,练习3 电流函数,若t=0时i=2A，求电流i关于时间t的函数.,一电路中电流关于时间的变化率为,解,练习4 结冰厚度,起到时刻 t(单位：h)冰的厚度（单位：cm），,t 是正的常数求y关于t的函数,解,其中 t=0开始结冰，此时冰的厚度为0，即有 y(0)=0,代入上式，得 C=0.所以,
