1、1单元综合检测六 圆(80 分钟 120 分)一、选择题(每小题 4 分,满分 32 分)1.如图, O 中,弦 AB,CD 相交于点 P, A=42, APD=77,则 B 的大小是 (B)A.34 B.35 C.43 D.44【解析】 D= A=42, B= APD- D=35.2.如图,已知在 O 中, OA BC, AOB=70,则 ADC 的度数为 (B)A.30 B.35C.45 D.70【解析】连接 OC,OA BC, , AOC= AOB. AOB=70, AOC=70,= ADC= AOC=35.123.如图,若 ABC 内接于半径为 R 的 O,且 A=60,连接 OB,O
2、C,则边 BC 的长为 (D)A. R B. R2322C. R D. R22 3【解析】延长 BO 交 O 于点 D,连接 CD, BCD=90, D= A=60, CBD=30,BD= 2R,DC=R ,BC= R.34.小颖同学在手工制作时,把一个边长为 12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为 (C)A.2 cm B.6 cm3 3C.4 cm D.8 cm3 3【解析】如图, O 是等边 ABC 的外接圆,连接 OB,作 OD BC 于点 D, ABC 是等边三角形, ABC=60, O 是等边 ABC 的外接圆, OBD=
3、ABC=30.12OD BC,BD= BC=6,OB=BD cos 30=6 =4 (cm).12 32 35.如图,在半径为 5 的 O 中,弦 AB=6,点 C 是优弧 上一点(不与点 A,B 重合),则 cos C 的值为 (B)A. B.35 45C. D.33 32【解析】连接 OA,OB,过点 O 作 OD AB 于点 D,则 BD= AB=3, BOD= AOB= C,在 Rt BOD12 12中, OB=5,BD=3,OD= 4, cos BOD= ,即 cos C= .=45 456.一个圆锥的高为 3 cm,侧面展开图是一个半圆,则圆锥的侧面积是 (A)A.6 cm 2 B
4、.9 cm 2C.6 cm2 D.9 cm23 3【解析】设圆锥的底面圆的半径为 r,母线长为 l,由题意得 2 r= l,即 l=2r,又 r 2+32=l2,解得 r= ,l=2 , 圆锥的侧面积是 rl= 2 =6(cm 2).3 3 3 37.如图,矩形 ABCD 中, G 是 BC 的中点,过 A,D,G 三点的圆 O 与边 AB,CD 分别交于点 E、点 F,则下列说法: AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心; AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心; BC 与圆 O相切 .其中正确说法的个数是 (C)3A.0 B.1 C.2 D.3【解析】连接 DG,AG,作 GH AD 于点
5、 H,连接 OD,如图, G 是 BC 的中点, AG=DG ,GH 垂直平分 AD, 点 O 在 HG 上, AD BC,HG BC,BC 与圆 O 相切; OG OH, 点 O 不是 HG 的中点, 圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点;而四边形 AEFD 为 O 的内接矩形, AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心 . 错误, 正确 .8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 AB 经过点 A(6,0),B(0,6), O 的半径为 2(O 为坐标原点), P 是直线 AB 上的动点,过点 P 作 O 的一条切线 PQ,Q 为切点,则切线长 PQ 的最小值为 (D)A. B.37C
6、.3 D.2 14【解析】连接 OQ,OP,在 Rt OPQ 中, PQ= ,OQ= 2,当 OP 取最小值时, PQ 最小 .又2-2OP 3 ,PQ .2 14二、填空题(每小题 5 分,满分 20 分)9.如图,四边形 ABCD 为 O 的内接四边形,已知 C= D,则 AB 与 CD 的位置关系是 AB CD . 【解析】 四边形 ABCD 为 O 的内接四边形, A+ C=180,又 C= D, A+ D=180,AB CD.10.如图,一个含有 30角的直角三角板 ABC 的直角边 AC 与 O 相切于点 A, C=90, B=30, O 的直径为 4,AB 与 O 相交于点 D,
7、则 AD 的长为 2 . 3【解析】连接 OA,过点 O 作 OE AD 于点 E,在 Rt OEA 中, OA=2, OAE=30,则 AE= ,AD=23.311.如图, AB 是圆 O 的直径,弦 CD AB, BCD=30,CD=4 ,则 S 阴影 = . 3834【解析】如图,连接 OC,设 AB 与 CD 交于点 E,AB 是 O 的直径,弦 CD AB,CE=DE= CD=212. BCD=30, DOE=60.又 DEO=90, ODE=30, CEB DEO(ASA),3S CEB=S DEO,S 阴影 =S 扇形 BOD. sin EOD= ,OD= 4.S 阴影 =S 扇
8、形 BOD=32 .6042360 =8312.如图, O 的半径为 2,弦 BC=2 ,点 A 是优弧 上一动点(不包括端点), ABC 的高3BD,CE 相交于点 F,连接 ED.下列四个结论: A 始终为 60; 当 ABC=45时, AE=EF; 当 ABC 为锐角三角形时, ED= ;3 线段 ED 的垂直平分线必平分弦 BC.其中正确的是 .(把你认为正确结论的序号都填上) 【解析】连接 CO 并延长交 O 于点 G,连接 BG,如图 1.则有 BGC= BAC.CG 为 O 的直径, CBG=90. sin BGC= , BGC=60, BAC=60, 正确 .如图=234=32
9、2, ABC=45,CE AB,即 BEC=90, ECB=45= EBC,EB=EC.CE AB,BD AC, BEC= BDC=90. EBF+ EFB=90, DFC+ DCF=90. EFB= DFC, EBF= DCF.在 BEF 和 CEA 中, BEF=,=,=,CEA,AE=EF , 正确 .如图 2, AEC= ADB=90, A= A, AEC ADB. A= A, AED ACB, . cos A= =cos = = 60= , ,ED= BC= , 正确 .取 BC 中点 H,连接 EH,DH,如图 3 和图12 =12 12 354. BEC= CDB=90,点 H
10、为 BC 的中点, EH=DH= BC. 点 H 在线段 DE 的垂直平分线上,即12线段 ED 的垂直平分线平分弦 BC, 正确 .三、解答题(满分 68 分)13.(13 分)如图, AB 是 O 的直径,过点 B 作 O 的切线 BM,弦 CD BM,交 AB 于点 F,且,连接 AC,AD,延长 AD 交 BM 于点 E.=(1)求证: ACD 是等边三角形;(2)连接 OE,若 DE=2,求 OE 的长 .解:(1) BM 是 O 的切线, AB 为 O 直径, AB BM,BM CD,AB 垂直平分 CD,AD=AC. ,AD=DC ,=AD=CD=AC , ACD 是等边三角形
11、.(2) ACD 是等边三角形, AB DC, DAB=30,连接 BD,则 BD AD,易证 EBD= DAB=30,DE= 2,BE= 4,BD=2 ,AB=4 ,OB=2 ,3 3 3在 Rt OBE 中, OE= =2 .2+2=(23)2+42 714.(15 分)如图,在 ABC 中, AB=AC,以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D,交 BC 于点 E,延长 AE 至点 F,使 EF=AE,连接 FB,FC.(1)求证:四边形 ABFC 是菱形;(2)若 AD=7,BE=2,求半圆和菱形 ABFC 的面积 .解:(1) AB 是直径, AEB=90,AE BC,6AB=AC ,
12、BE=CE ,AE=EF , 四边形 ABFC 是平行四边形,AC=AB , 平行四边形 ABFC 是菱形 .(2)设 CD=x.连接 BD.AB 是直径, ADB= BDC=90,AB 2-AD2=CB2-CD2, (7+x)2-72=42-x2,解得 x=1 或 x=-8(舍),AC= 8,BD= ,82-72=15S 菱形 ABFC=ACBD=8 .15S 半圆 = r2= 4 2=8 .12 1215.(20 分)如图,在 ABC 中, O 为 AC 上一点,以点 O 为圆心, OC 为半径作圆,与 BC 相切于点C,过点 A 作 AD BO 交 BO 的延长线于点 D,且 AOD=
13、BAD.(1)求证: AB 为 O 的切线;(2)若 BC=6,tan ABC= ,求 AD 的长 .43解:(1)过点 O 作 OE AB 于点 E,AD BO 于点 D, D=90, BAD+ ABD=90, AOD+ OAD=90, AOD= BAD, ABD= OAD,又 BC 为 O 的切线, AC BC, BCO= D=90, BOC= AOD, OBC= OAD= ABD,在 BOC 和 BOE 中, =,=,=, BOC BOE(AAS),OE=OC ,OE AB,AB 是 O 的切线 .(2) ABC+ BAC=90, EOA+ BAC=90, EOA= ABC, tan A
14、BC= ,BC=6,AC=BC tan ABC=8,43则 AB=10,由(1)知 BE=BC=6,AE= 4, tan EOA=tan ABC= , ,43 =34OE= 3,OB= =3 ,2+2 5 ABD= OBC, D= ACB=90, ABD OBC,7 ,即 ,AD= 2 .= 3=3510 516.(20 分)如图,已知 O 的半径为 2,AB 为直径, CD 为弦, AB 与 CD 交于点 M,将 沿 CD 翻折后,点 A 与圆心 O 重合,延长 OA 到点 P,使 AP=OA,连接 PC.(1)求 CD 的长 .(2)求证: PC 是 O 的切线 .(3)点 G 为 的中点
15、,在 PC 延长线上有一动点 Q,连接 QG 交 AB 于点 E,交 于点 F(F 与 B,C 不重合) .问 GEGF 是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由 .解:(1)连接 OC, 将 沿 CD 翻折后,点 A 与圆心 O 重合,OM= OA=1,CD OA,12OC= 2,CD= 2CM=2 =2 .2-2 3(2)AP=OA= 2,AM=OM=1,CM= ,3又 CMP= OMC=90,PC= =2 ,2+2 3OC= 2,PO=4,PC 2+OC2=PO2, PCO=90,PC 是 O 的切线 .(3)GEGF 是定值 .理由:连接 GA,AF,GB, 点 G 为 的中点, , BAG= AFG, = AGE= FGA, AGE FGA, ,GE GF=AG2,=AB 为直径, AB=4, BAG= ABG=45,AG= 2 ,28GE GF=AG2=8.
