1、15.2 矩形、菱形与正方形过关演练 (30 分钟 70 分)1.(2018山东滨州) 下列命题,其中是真命题的为 (D)A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形【解析】一组对边平行,另一组对边相等的四边形也可以是等腰梯形,故 A 错误;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故 B 错误;对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形,故 C 错误;一组邻边相等的矩形是正方形,故 D 正确 .2.(2018湖北宜昌) 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 E,F 分别是对角线 AC 上的两点,EG A
2、B,EI AD,FH AB,FJ AD,垂足分别为 G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于 (B)A.1 B. C. D.12 13 14【解析】 四边形 ABCD 是正方形, 直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴,EG AB,EI AD,FH AB,FJ AD,垂足分别为 G,I,H,J. 根据对称性可知,四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等, S 阴影 = S 正方形 ABCD= .12 123.如图,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,CE BD,DE AC.若 AC=4,则四边形 OCED 的周长为 (B)A.4 B.8 C.10 D.122【解
3、析】在矩形 ABCD 中, OC=OD= AC=2,又 CE BD,DE AC,所以四边形 OCED 是菱形,菱形12OCED 的周长为 42=8.4.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,下列结论:AC BD;OA=OB ; ADB= CDB; ABC 是等边三角形 .其中一定成立的是 (D)A. B. C. D.【解析】 菱形的对角线互相垂直, AC BD,故 正确; 菱形的对角线互相平分但不一定相等, OA 与 OB 不一定相等,故 错误; 菱形的每条对角线平分一组对角, ADB= CDB,故 正确;在菱形 ABCD 中, AB=BC,只有当 ABC=60时, A
4、BC 是等边三角形才成立,故 错误 .5.如图,在矩形 ABCD 中, O 为 AC 的中点,过点 O 的直线分别与 AB,CD 交于点 E,F,连接 BF 交AC 于点 M,连接 DE,BO.若 COB=60,FO=FC,则下列结论: FB OC,OM=CM; EOB CMB;四边形 EBFD 是菱形; MBOE= 3 2.其中正确结论的个数是 (C)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】连接 BD, 四边形 ABCD 是矩形, AC=BD ,AC,BD 互相平分, O 为 AC 的中点, BD也过 O 点, OB=OC , COB=60,OB=OC, OBC 是等边三角形, OB=BC=O
5、C , OBC=60,在 OBF 与 CBF 中, OBF CBF(SSS), OBF 与 CBF 关于直线 BF 对称,=,=,=,FB OC,OM=CM,故 正确; OBC=60, ABO=30, OBFCBF, OBM= CBM=30, ABO= OBF,AB CD, OCF= OAE,OA=OC ,易证AOE COF,OE=OF ,OB EF, 四边形 EBFD 是菱形,故 正确; EOB FOBFCB, EOB CMB 错误,故 错误; OMB= BOF=90, OBF=30,MB= ,OF= ,OE=OF ,MB OE= 3 2,故 正确 .33326.已知矩形的对角线 AC 与
6、BD 相交于点 O,若 AO=1,那么 BD= 2 . 【解析】 四边形 ABCD 是矩形, AC=BD ,AC=2AO.AO= 1,AC= 21=2,BD= 2.37.如图,在平行四边形 ABCD 中,延长 AD 到点 E,使 DE=AD,连接 EB,EC,DB.请你添加一个条件 答案不唯一,如 EDB=90或 AB=BE 等 ,使四边形 DBCE 是矩形 . 【解析】 四边形 ABCD 是平行四边形, AD BC,AD=BC,DE=AD ,DE=BC , 四边形 DBCE是平行四边形,由矩形的判定条件可添加 EDB=90或 BE=CD 或 AB=BE 等,可使四边形 DBCE是矩形 .8.
7、如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边三角形 ADE,则 BED= 45 . 【解析】由题意得 AB=AE, BAE=90+60=150, AEB= ABE=15, AED=60, BED=60-15=45.9.(2018浙江金华) 如图,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形 ABCD 内,装饰图中的三角形顶点 E,F 分别在边 AB,BC 上,三角形 的边 GD 在边 AD 上,则 的值是 . 2+14【解析】设七巧板的边长为 x,则 AB= x+ x,BC= x+x+ x=2x, .12 22 12 12 =12+222 =2+1410.(10 分) (2018呼和浩特) 如图,已知
8、A,F,C,D 四点在同一条直线上, AF=CD,AB DE,且AB=DE.(1)求证: ABC DEF;(2)若 EF=3,DE=4, DEF=90,请直接写出使四边形 EFBC 为菱形时, AF 的长度 .解:(1) AB DE, A= D,AF=CD ,AF+FC=CD+FC ,即 AC=DF,AB=DE , ABC DEF.(2)AF= .75提示:连接 BE 交 AD 于点 O.在 Rt EFD 中, DEF=90,EF=3,DE=4,DF= =5,32+42 四边形 EFBC 是菱形,4BE CF,EO= ,=125OF=OC= ,CF= ,2-2=95 185AF=CD=DF-F
9、C= 5- .185=7511.(10 分)如图,已知四边形 ABCD 为矩形, AD=20 cm,AB=10 cm.M 点从 D 到 A,P 点从 B 到 C,两点的速度都为 2 cm/s;N 点从 A 到 B,Q 点从 C 到 D,两点的速度都为 1 cm/s.若四个点同时出发 .(1)判断四边形 MNPQ 的形状;(2)四边形 MNPQ 能为菱形吗?若能,请求出此时运动的时间;若不能,说明理由 .解:(1)四边形 MNPQ 是平行四边形 .理由如下:在矩形 ABCD 中, BC=AD=20 cm,CD=AB=10 cm,且 A= B= C= D=90.设运动时间为 t 秒,则 AN=CQ
10、=t cm,BP=DM=2t cm.BN=DQ= (10-t)cm,CP=AM=(20-2t)cm.由勾股定理,得 NP= ,MQ= ,2+2 2+2NP=MQ.同理可得 MN=PQ. 四边形 MNPQ 是平行四边形 .(2)能 .理由如下: 当四边形 MNPQ 为菱形时,有 NP=QP, ,2+2=2+2 ,42+(10-)2=(20-2)2+2解得 t=5.即四边形 MNPQ 为菱形时,运动时间是 5 s.12.(10 分)如图,正方形 ABCD 中,点 O 为两条对角线的交点 .(1)如图 1,点 M,N 分别在 AD,CD 边上, MON=90,求证: OM=ON;(2)如图 2,若
11、AE 交 CD 于点 E,DF AE 于点 F,在 AE 上截取 AG=DF,连接 OF,OG,那么 OFG 是哪种特殊三角形,证明你的结论;(3)如图 3,若 AE 交 BC 于点 E,DF AE 于点 F,连接 OF,求 DFO 的度数 .解:(1)连接 OA,OD,则 OA=OD, 四边形 ABCD 是正方形,5 AOD=90, OAM= ODN=45, MON=90, AOD- MOD= MON- MOD, AOM= DON, AOM DON(ASA),OM=ON.(2) OFG 为等腰直角三角形 .证明:连接 OA,OD,则 OA=OD, 四边形 ABCD 是正方形, AOD=90,
12、 OAD= ODC=45,DF AE, DAE+ ADF= ADF+ FDE=90, DAE= FDE, OAG= ODF.AG=DF , OAG ODF(SAS),OG=OF , AOG= DOF, GOF= GOD+ DOF= GOD+ AOG=90, OFG 为等腰直角三角形 .(3)如图,在 AE 上截取 AG=DF,连接 OA,OD,OG,其中 OA 与 DF 交于点 H,则 AO=DO, AFD= AOD=90, AHF= DHO, GAO= FDO, OAG ODF(SAS),OG=OF , AOG= DOF, GOF= GOA- FOA= DOF- FOA= AOD=90, G
13、FO=45,DF AE, DFO=45.名师预测1.如图,在 ABC 中,点 E,D,F 分别在边 AB,BC,CA 上,且 DE CA,DF BA.下列四个判断中,不正确的是 (D)A.四边形 AEDF 是平行四边形B.如果 BAC=90,那么四边形 AEDF 是矩形C.如果 AD 平分 BAC,那么四边形 AEDF 是菱形D.如果 AD BC,那么四边形 AEDF 是菱形【解析】由 DE CA,DF BA,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可得四边形AEDF 是平行四边形,故 A 正确;又有 BAC=90,根据有一角是直角的平行四边形是矩形,可6得四边形 AEDF 是矩形,故 B
14、正确;如果 AD 平分 BAC,那么 EAD= FAD,又有 DF BA,可得 EAD= ADF, FAD= ADF,AF=FD ,那么根据邻边相等的平行四边形是菱形,可得四边形AEDF 是菱形,故 C 正确;如果 AD BC 且 AB=AC,那么 AD 平分 BAC,可得四边形 AEDF 是菱形,只有 AD BC,不能判断四边形 AEDF 是菱形,故 D 错误 .2.如图,正方形 ABCD 的边长为 9,将正方形折叠,使顶点 D 落在 BC 边上的点 E 处,折痕为 GH,若 BEEC= 2 1,则线段 CH 的长是(B)A.3 B.4 C.5 D.6【解析】设 CH=x,BEEC= 2 1
15、,BC=9,EC= 3,由折叠的性质知 EH=DH=9-x,在 Rt ECH 中,由勾股定理得(9 -x)2=32+x2,解得 x=4.3.如图,在正方形 ABCD 中, M,N 是对角线 AC 上的两个动点, P 是正方形四边上的任意一点,且 AB=4,MN=2,设 AM=x,若 PMN 是等腰三角形,则下列说法: 当 x=0(即 M,A 两点重合)时,P 点有 6 个; 当 P 点有 8 个时, x=2 -2; 当 PMN 是等边三角形时, P 点有 4 个; 当20x4 -2 时, P 点最多有 9 个 .其中说法正确的是 (B)2A. B. C. D.【解析】 如图 1,当 x=0(即
16、 M,A 两点重合)时, P 点有 6 个,故 正确; 如图 2,当 P 点有 8 个时,0 x4 -2,故 错误;2 如图 3,当 PMN 是等边三角形时, P 点有 4 个,故 正确;7 当 0x4 -2 时, P 点最多有 8 个,故 错误 .24.如图,四边形 ABCD 为矩形,过点 D 作对角线 BD 的垂线,交 BC 的延长线于点 E,取 BE 的中点 F,连接 DF,DF=4.设 AB=x,AD=y,则 x2+(y-4)2的值为 16 . 【解析】在矩形 ABCD 中, CD=AB=x,在 Rt BDE 中, BDE=90,点 F 为 BE 的中点,所以BF=EF=DF=4,所以
17、 x2+(y-4)2=CD2+CF2=DF2=16.5.如图,在菱形 ABCD 中, AC 交 BD 于点 O,DE BC 于点 E,连接 OE,若 ABC=140,则 OED= 20 . 【解析】在菱形 ABCD 中, ABC=140, DBC=70.DE BC, BDE=20,O 是 BD的中点, OED= ODE=20.6.如图,正方形 ABCD 的面积为 12, ABE 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,在对角线上有一点 P,使 PD+PE 最小,则这个最小值为 2 . 3【解析】连接 BD 交 AC 于点 O,在正方形 ABCD 中,点 D 与点 B 关于 AC 对称,则
18、 BE 与 AC 的交点为点 P,此时 PD+PE 最小,为 BE 的长 .因为正方形 ABCD 的面积为 12,所以 AB= =2 ,在12 3等边 ABE 中, BE=AB=2 ,所以 PD+PE 的最小值为 2 .3 37.在 ABCD 中,过点 D 作 DE AB 于点 E,点 F 在边 CD 上, DF=BE,连接 AF,BF.(1)求证:四边形 BFDE 是矩形;(2)若 CF=3,BF=4,DF=5,求证: AF 平分 DAB.证明:(1) 四边形 ABCD 是平行四边形, DC AB,又 DF=BE , 四边形 BFDE 是平行四边形 .DE AB, DEB=90, 四边形 B
19、FDE 是矩形 .8(2) 四边形 DEBF 是矩形, BFC=90,CF= 3,BF=4,BC= =5,2+2=32+42AD=BC= 5,AD=DF , DAF= DFA,在 ABCD 中, DC AB, DFA= FAB, DAF= FAB,即 AF 平分 DAB.8.如图,在平行四边形 ABCD 中, AC=6 cm,BD=8 cm,点 P 从点 A 出发以每秒 1 cm 的速度沿射线 AC 移动,点 Q 从点 C 出发以每秒 1 cm 的速度沿射线 CA 移动 .(1)经过几秒,以 P,Q,B,D 为顶点的四边形为矩形?(2)若 BC AC,垂足为 C,求(1)中矩形的边 BQ 的长
20、 .解:(1)当时间 t=7 秒时,四边形 BPDQ 为矩形 .理由:如图所示,当 t=7 秒时, PA=QC=7,AC= 6,CP=AQ= 1,PQ=BD= 8. 四边形 ABCD 为平行四边形, AC=6,BD=8,AO=CO= 3,BO=DO=4,OQ=OP= 4, 四边形 BPDQ 为平行四边形,PQ=BD= 8, 四边形 BPDQ 为矩形 .(2)由(1)得 OB=4,OC=3,CQ=7,BC AC, BCA=90,BC 2+CQ2=BQ2,OC2+BC2=OB2,BQ= =2 (cm).2-2+2=42-32+72 149.如图,四边形 ABCD 为菱形,点 E 为对角线 AC 上
21、的一个动点,连接 DE 并延长交射线 AB 于点F,连接 BE.(1)如图 1,求证: AFD= EBC;(2)如图 2,若 DE=EC,且 BE AF,求 DAB 的度数;(3)若 DAB=90,当 BEF 为等腰三角形时,求 EFB 的度数 .解:(1) 四边形 ABCD 是菱形,CD=CB , ACD= ACB,在 DCE 和 BCE 中, =,=,=, 9 DCE BCE, CDE= EBC,CD AB, CDE= AFD, AFD= EBC.(2) 四边形 ABCD 是菱形, AD=AB , DAC= BAC,AE=AE , DAE BAE,DE=EB ,DE=EC ,EB=EC ,
22、 ACD= ACB= CBE,AD=CD , ACD= CAD= BAC, CBE= DAB,12BE AF,AD BC, DAB+ ABC=180,即 DAB+90+ DAB=180,12解得 DAB=60.(3)分两种情况: 如图 1,当点 F 在线段 AB 的延长线上时, EBF 为钝角, 只能是 BE=BF,设 BEF= EFB=x,则 EBC= AFD=x, EBF=(90+x),在 EBF 中,有 90+x+x+x=180,解得 x=30, EFB=30; 如图 2,当点 F 在线段 AB 上时, EFB 为钝角, 只能是 FE=FB,设 BEF= EBF=x,则有 AFD=2x, EBC= AFD=2x, EBC+ EBF= ABC=90,即 2x+x=90,解得 x=30, EFB=180-2x=120.综上,当点 F 在线段 AB 的延长线上时, EFB=30;当点 F 在线段 AB 上时, EFB=120.
