1、- 1 -导函数（理）1、 （单调区间、极值、最值问题）已知函数 22()3)(),xfxaeR其中 a。（1）当 0a时，求曲线 ()yfx在点 1，处的切线的斜率；（2）当 3时，求函数 的单调区间与极值。解：（1）当 时，求曲线 ()yfx在点 ()f，处的切线的斜率为 3e；（2）当 a时， ()fx在 2a， ， ， 内是增函数，在 (2)a， 内是减函数；函数 ()fx在 2处取得极大值 2()()3affe， 且 ；函数 在 处取得极小值 2(4).， 且当 3a时， ()fx在 )(2)a， ， ， 内是增函数，在 a， 内是减函数；函数 f在 2处取得极大值 2(2)(3)f
2、fe， 且 ；函数 ()x在 处取得极小值 ()aa， 且 。2、 （单调区间、极值、最值问题）设 Rk，函数 1 xfx，Fxfkx， R，试讨论函数 F的单调性。解： 1 1 kxf，21 1 kxx，对于 Fx，分段进行研究。对于 1 Fxkx，对 k分类：当 0k时， 210，函数 Fx在 1，上是增函数；当 时， 2211kFxx，令 0，得 k或 xk（舍） ，- 2 -函数 Fx在 1 k，上是减函数，在 1 k，上是增函数；对于 )()(x， xF12( ，对 分类：当 0k时， 0，函数 在 ，上是减函数；当 时，由 102xk，解得 24xk；函数 F在 1 4k，上是减函
3、数，在 21 ，上是增函数。3、 （单调区间、极值、最值问题）已知函数ln()xf。（1）求函数 ()fx的单调区间；（2）设 0a，求函数 ()f在 2,4a上的最小值。解：（1）定义域为 ,， 21lnx，令 21ln()0xf，则 e，当 x变化时， ()fx， f的变化情况如下表：()fx的单调增区间为 (0,)e；单调减区间为 (,)e。 （2）由（1）知 fx在 ,上单调递增，在 ,上单调递减，所以，当 4ae时，即 4时， ()f在 2,4a上单调递增， min()(2);fxfa当 时， ()fx在 2,a上单调递减， min()4fxa 当 2e时，即 e时， ()f在 ,e
4、上单调递增， ()fx在 ,4e上单调递减，min()(),4.fxf下面比较 a的大小， ln(2)4,afaf若 14e， minl()();fxf若 1e， minl4()();afxf- 3 -综上，当 01a时， minl2()()afxf；当 1时， minl4()()afxf。4、 （单调性问题）已知 R，函数 xxe， 其中 R， e为自然对数的底数。（1）当 2时，求函数 f的单调递增区间；（2）若函数 fx在 1,上单调递增，求实数 a的取值范围；（3）函 数 是 否 为 R上 的 单调函数？ 若 是 ， 求 出 实数 的 取 值 范 围 ； 若 不 是 ， 请 说 明 理
5、 由 。解：（1）当 2a时， 2xfxe， 22()xxxfee令 ()0fx，即 0e， 2,0，解得 。函数 的单调递增区间是 。（2） 函数 fx在 1,上单调递增， ()fx 对 1,都成立，22() x xfaeaeae ，20xx对 1,都成立。0,2e对 x都成立，即 211xa 对 ,1都成立；令 yx，则 20yx， yx在 1,上单调递增，132， a。（3）若函数 fx在 R上单调递减，则 ()0fx 对 R都成立，即20xae对 x都成立， ,e20ax 对 Rx都成立，24，即 24a ，这是不可能的，故函数 f不可能在 上单调递减；若函数 fx在 R上单调递增，则
6、 ()0fx 对 R都成立，即 20xxae 对都成立， 0,xe2a对 x都成立，而 24a，故函数 f不可能在 R上单调递增。- 4 -综上可知函数 fx不可能是 R上的单调函数。5、 （不等式成立问题）已知函数 2)1ln()(xaxf， 0a， 1,(x。（1）求函数 ()fx的单调递增区间；（2）若不等式 )21ln(12对一切正整数 恒成立，求实数 的取值范围。解：（1） xaxf)( ax， 由 02a，得 21，0， 12a， 0a，又 1212，函数 ()fx的单调递增区间为 )21,0(a，递减区间为 )1,2(a。 （2）不等式 )1ln2，即为 2ln(令 xn1，当
7、N时， ,0(x， 则不等式即为 2)1l(x；令 2)l()g， ,，在 xf的表达式中，当 a时， )(xfg，又 2a时， 211， 在 )21,0单调递增，在 )1,2(单调递减，)(xg在 时，取得最大，最大值为 4ln(g，因此，对一切正整数 n，当 时， 21)l取得最大值 4ln，实数 的取值范围是 412l。6、 （不等式成立问题）已知函数 1)()1ln()xkxf 。（1）求函数 )(xf的单调区间；（2）若不等式 0恒成立，试确定实数 k的取值范围；- 5 -（3）证明： ),2()1ln(在x上恒成立； ,4*2 nNi。解：（1）函数 kxfxf 1)(,1()(的
8、 定 义 域 为当 0k时 0 k，则 在 上是增函数 当 时，若 ),1(x时，有 0)( kxf，若 ),1(kx时有 1 kxf，则 )1,()f在 上是增函数，在 ),1(k上是减函数；（2）由（1）知 0，时 ),(在f递增，而 0)(,1)2(xfkf 不成立，故 0，又由（1）知 kfyln)1(max，要使 0x恒成立，则 ln1ma ky即可，由 lnk得 ；（3）由（2）知，当 1时有 ),1()(在xf恒成立，且 ),2)(在xf上是减函数，0)(f， 0),2(fx恒成立，即 ln在x上恒成立；令 21nx，则 ln2，即 )(ln，从而 21，4)(23154l3 成
9、立。7、 （不等式成立问题）已知函数 0xbaxf ，其中 Rba,。（1）若曲线 xfy在点 ,P处的切线方程为 13y，求函数 xf的解析式；（2）讨论函数 的单调性；（3）若对于任意的 2,1a，不等式 10xf在 ,4上恒成立，求 b的取值范围。解：（1） 2()fx，由导数的几何意义得 ()3f，于是 8a，由切点 (2)Pf， 在直线 1yx上可得 27b，解得 9b，所以函数 ()f的解析式为 ()9fx。- 6 -（2） 2()1afx，当 0a时，显然 ()0)fx，这时 ()fx在 0,， ,内是增函数；当 时，令 ，解得 a；当 x变化时， ()fx， f的变化情况如下表
10、：所以 ()fx在 ,a， ),内是增函数，在 (0)a， ， ()， 内是减函数。（3）解：由（2）知， (fx在 1,4上的最大值为 14f与 f中的较大者，对于任意的 2,1a，不等式 0f在 ,上恒成立，当且仅当 04(1)f ， ， 即394ba ，对任意的 2,a成立，从而得满足条件的 b的取值范围是 47,(。8、 （不等式成立问题）设函数 432() )fxaxR，其中 Rba,。（1）当 103a时，讨论函数 的单调性；（2）若函数 ()fx仅在 处有极值，求 的取值范围；（3）若对于任意的 2， ，不等式 1)(xf在 ， 上恒成立，求 b的取值范围。解：（1） 32()4
11、43fxaxa；当 0a时， 2(0)()2x。令 ()fx，解得 1x， 2， 3。当 变化时， ()f， f的变化情况如下表：- 7 -所以 ()fx在 102， ， ()， 内是增函数，在 (0) ， ， 12， 内是减函数。（2） 43fax，显然 x不是方程 430xa的根；为使 ()x仅在 0处有极值，必须 243a 恒成立，即有 296 ；解此不等式，得 83a ，这时， (0)fb是唯一极值，因此满足条件的 a的取值范围是83，。（3）由条件 2a， 可知 29640a，从而 2340xa恒成立。当 0x时， ()0fx；当 时， ()fx。因此函数 在 1， 上的最大值是 1
12、与 f两者中的较大者。为使对任意的 2a， ，不等式 ()fx 在 ， 上恒成立，当且仅当 ()1f ， ， 即 2ba ， 在 2， 上恒成立；所以 4b，因此满足条件的 的取值范围是 4,(。9、 （不等式证明问题）设 0a，函数 )0(,ln2l1)xaxf 。（1）令 ()Fxf，讨论 ()Fx在 ,内的单调性并求极值；（2）求证：当 1时，恒有 2lnlax。解：（1）根据求导法则有 ()10fx，故 ()2l0Fxfxa，于是 2()10xF，列表如下：- 8 -故知 ()Fx在 02)，内是减函数，在 (2)， 内是增函数，所以，在 处取得极小值 )lnFa。（2）证明：由 a
13、知， (x的极小值 ()2l0；于是由上表知，对一切 0)， ，恒有 ()xf；从而当 0x时，恒有 (fx，故 (f在 0， 内单调增加；所以当 1时， )1，即 21lnl0xax；故当 x时，恒有 2lnlxa。10、 （不等式证明问题）已知函数 2()l,()3fxgx。（1）求 ()fx在 ,2(0)tt上的最小值；（2）若存在 1,e（ 是 常 数 ， e 2.71828） ， 使不等式 2()fxg成立，求实数 a的取值范围；（3）证明对一切 (0,)x都有 lnxe成立。解：（1）- 9 -11、 （不等式证明问题）已知函数 )()(Rxef。（1）求函数 ()fx的单调区间和
14、极值；（2）已知函数 yg的图象与函数 ()yfx的图象关于直线 1x对称，证明：当x时， ()()fx；（3）如果 12，且 12()ffx，证明 12x。解：（1） efx，令 e0，则 1x。当 x变化时， ,f的变化情况如下表，略- 10 -所以 fx在区间 ,1内是增函数，在区间 1,内是减函数；函数 在 处取得极大值 f且 ef。（2）因为函数 ygx的图象与函数 yx的图象关于直线 1x对称，所以 2gxf，于是 2。记 Fx，则 eexxF， 2exxF ，当 1x时， 20，从而 210x，又 x，所以 ，于是函数 在区间 ,上是增函数，因为 1eF，所以，当 x时， 10F
15、x，因此 fxg。（3）若 120x，由（1）及 12ff，得 2，与 12矛盾；若 ，由（1）及 x，得 1x，与 x矛盾；则 12x，不妨设 12,。由（2）可知 2fxgfx，所以 1222fxfgxfx。因为 ，所以 ，又 1，由（1） ， 在区间 ,1内是增函数，所以 12x，即 12x。附：解决不等式证明问题的思路：通过构造函数，以导数为工具，证明不等式或比较大小。证明不等式 fxg在区间 D上成立，等价于函数 fxg在区间 D上的最小值等于零；而证明不等式 fx在区间 上成立，等价于函数 fx在区间 上的最小值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最值问题。1
16、2、 （函数零点问题）设函数 3211fxxmxR，其中 0m。（1）当 m时，求曲线 y在点 ,f处的切线的斜率；1（2）求函数 fx的单调区间与极值；（3）已知函数 有三个互不相同的零点 120,x，且 12x，若对任意的12,1xfxf恒成立，求 m的取值范围。- 11 -解：（1）当 1m时， 3221,fxxfx，故 1f。所以，曲线 yf在点 ,处的切线的斜率为 。（2） 22fxx，令 0fx，解得 xm或 。因为 0m，所以， 1m。当 变化时， ,f的变化情况如下表：所以 fx在区间 ,1m， ,内是减函数，在 1,m内是增函数；函数 在 处取得极小值 321f；函数 fx在
17、 处取得极大值 。（3）由题设， 2212133fxmxx，所以，方程 221103，有两个相异实根 12,，故 123，4m，由 解得 2。因为 12x，所以 2123x，故 x。如果 ，则 120f，而 10fx，不合题意；如果 12x，对任意的 ,x，有 2,x，则 1203f，又 1f，所以， x在 2,上的最小值为 ，于是对任意的 12,x， 1fxf恒成立的充要条件是 min1ff，即 203fm，解得 3m。注意到 2，于是 的取值范围是 1,。13、 （函数零点问题）已知函数 Rxttxxf ,1634)(2，其中 t。（1）当 t时，求曲线 y在点 )0(,f处的切线方程；- 12 -（2）当 0t时，求 ()fx的单调区间；（3）证明：对任意 ,t， ()fx在区间 )1,0(内均存在零点。- 13 -14、 （函数零点问题）已知 0a，函数 2()ln,0.fxax。 （ ()fx的图象连续不断）（1）求 ()fx的单调区间；（2）当 8a时，证明：存在 0(2,)x，使 03()2fxf；（3）若存在均属于区间 1,3的 ，且 1，使 ()，证明： ln2ln5。- 14 -补充 1：关于函数图象的切线问题的处理方法。 审题要津与解法研究第 410 页 题目 12，第 407 页 题目 9。补充 2：审题要津与解法研究经典例题解析。
