1、 1 常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学 试题 2018 年 1 月 一、 填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分请把答案填写在 答题卡相应位置上 1若 集合 2 2 , 0 ,1 , | 1A B x x ，则集合 ABI 2命题“ 20,1, 1 0xx ”是 命题（选填“真”或“假”） 3 若复数 z 满足 22 i 1 ( i )zz 其 中 为 虚 数 单 位， 则 z 4 若一组样本数据 2015， 2017， x， 2018， 2016 的平均数为 2017， 则该组样本数据的方差为 5 右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 6函数 1()lnfx
2、x的定义域记作集合 D 随机地投掷一枚质地均匀的 正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数 1,2, ,6L ），记骰子 向上的点数为 t ，则事件“ tD ”的概率为 7 已知圆锥的高为 6，体积为 8 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是 7，则该圆台的高为 8各项均为正数的等比数列 na 中，若 2 3 4 2 3 4a a a a a a ，则 3a 的最小值为 9 在平面直角坐标系 xOy 中 ，设 直线 : 1 0l x y 与 双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyC a bab 的两条渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧， 则双曲线 C 的 离心率 e 的取值范围是 注
3、 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题 第 14 题）、解答题（第 15 题 第 20 题）本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚 4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶
4、带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 （第 5 题） 结束 开始 输出 2 10已知实数 ,xy满足 0,2 2 0,2 4 0,xyxyxy则 xy 的取值范围是 11已知函数 ( ) lnf x bx x ，其中 bR 若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 ()y f x 相切，则 kb 的值为 12如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 s in ( ) ( 0 , 0 )yx 的图象与 x 轴的 交点 ,ABC 满足 2OA OC OB ，则 13在 ABC 中， 3,7,5 BCACAB ， P 为 ABC 内一点（含边界），若满足 )(41 R BCBABP ， 则 BPBA 的取值范围为
5、 14已知 ABC 中， 3AB AC， ABC 所在平面内存在点 P 使得 2 2 233P B P C P A ，则 ABC 面积的最大值为 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分） 已知 ABC 中， abc, 分别为三个内角 ABC, 的对边， 3 sin cosb C c B c （ 1）求角 B ； （ 2）若 2b ac ，求 11tan tanAC 的值 16（本小题满分 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形， PC ABCD平 面 ， PB
6、PD ，点 Q 是棱 PC 上异于 P， C 的一点 （ 1）求证： BD AC ； （ 2）过点 Q 和 AD 的平面截四棱锥得到截面 ADQF （点 F 在棱 PB 上），求证： QF BC （第 16 题） 1 -1 （第 12 题） 3 17 （本小题满分 14 分）已知 小明 （如图中 AB 所示 ） 身高 1.8 米，路灯 OM 高 3.6 米 ， AB， OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点 A， O点光源从 M 发出，小明在地面上的影子记作 AB （ 1）小明沿着圆心为 O， 半径为 3 米 的圆周在地面上走一圈，求 AB 扫过的图形面积； （ 2）若 3OA 米，小明从
7、A 出发 ，以 1 米 /秒的速度沿线段 1AA 走到 1A ，31 OAA，且101AA 米 t 秒时， 小明在地面上的影子 长度记为 )(tf （单位：米） ， 求 )(tf 的表达式与最小值 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 )0(1:2222 babyaxC 的右焦点为 F ，点 A 是椭圆的左顶点，过原点的直线 MN 与椭圆交于 NM, 两点（ M 在第三象限），与椭圆的右准线交于 P 点已知 MNAM ，且 243OA OM buuur uuuur （ 1）求椭圆 C 的离心率 e ； （ 2）若 103AM N POFS S a，求椭圆 C
8、 的标准方程 （第 17 题） x y （第 18 题） 4 19（本小题满分 16 分） 已知各项均为正数的无穷数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 1aa （其中 a 为常数），1 ( 1) ( 1)nnn S n S n n *()nN 数列 nb 满足 2211nnnnnaab aa ( *)nN （ 1）证明数列 na 是等差数列，并求出 na 的通项公式； （ 2）若无穷等比数列 nc 满足：对任意的 *nN ，数列 nb 中总存在两个不同的项 sb ， tb（ *,stN ），使得 s n tb c b ，求 nc 的公比 q 20 （本小题满分 16 分） 已知函数2l
9、n() ()xfx xa ，其中 a 为常数 （ 1）若 0a ，求函数 ()fx的极值； （ 2）若函数 ()fx在 (0 )a， 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 3）若 1a ，设函数 ()fx在 (01)， 上的极值点为 0x ，求证： 0( ) 2fx 5 常州市教育学会学生学业水平监测 数学（附加题） 2018 年 1 月 21【选做题】在 A、 B、 C、 D 四 小题中 只能选做两题 ，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4 1：几何证明选讲 在 ABC 中 ， N 是边 AC 上一点，且 2CN
10、 AN ， AB 与 NBC的 外接圆 相切， 求 BCBN的值 B选修 4 2：矩阵与变换 已知矩阵 421aA不存在逆矩阵 ， 求 ： （ 1） 实数 a 的值； （ 2）矩阵 A 的特征向量 C选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 .曲线 C 的参数方程为 2cos 1,2sinxy （ 为参数），直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 24，直线 l与曲线 C 交于 M， N 两点，求 MN 的长 D选修 4 5：不等式选讲 已知 0, 0ab，求证： 3322ab ab 注 意 事 项 考生在答题前请认真
11、阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第 21 题有 A、 B、 C、 D 4 个小题供选做，每位考生在 4 个选做题中选答 2 题若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分第 22、 23 题为必答题每小题 10 分，共 40 分考试时间30 分钟考试结束后， 请将本卷和答题卡一并交回 2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚 4 如需作图，
12、须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 5 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 （ 选修 4 1） 6 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分 10 分） 已知正四棱锥 ABCDP 的侧棱和底面边长相等 ， 在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量 的值： 若这两条棱所在的直线相交，则 的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则 0 ； 若这两条棱所在的直线异面，则 的
13、值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制） （ 1）求 )0( P 的值 ； （ 2）求随机变量 的分布列及数学期望 )(E 23 （本小题满分 10 分） 记 11( 1 ) ( ) ( )2x x x n L（ 2n 且 *nN ）的展开式中含 x 项的系数为 nS ，含 2x 项的系数为 nT （ 1）求 nS ； （ 2）若 2nnT an bn cS ，对 2,3,4n 成立，求实数 abc, 的值； （ 3）对（ 2）中的实数 abc, ，用数学归纳法证明：对任意 2n 且 *nN ， 2nnT an bn cS 都成立 7 常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学 试题 参考答案
14、及评分标准 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分 1 2 2真 3 1 4 2 5 7 6 56 7 3 8 3 9 (1, 2)10 4 ,83 11 1e 12 34 13 5 25 , 84 14 52316二、 解答题：本大题共 6小题，共计 90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15解：（ 1）由正弦定理得 3 s in s in c o s s in s inB C B C C， ABC 中， sin 0C ，所以3 sin cos 1BB，所以 1sin( )62B ， 56 6 6B ， 66B ，所以 3B ； （ 2）因为 2b ac ，由 正
15、弦定理得 2sin sin sinB A C ， 1 1 c o s c o s c o s s in s in c o s s in ( ) s in ( ) s inta n ta n s in s in s in s in s in s in s in s in s in s inA C A C A C A C B BA C A C A C A C A C A C 所以， 21 1 s i n 1 1 2 3t a n t a n s i n s i n 332BA C B B 16（ 1）证明： PC ABCD平 面 ， BD ABCD平 面 ，所以BD PC ，记 AC BD， 交于
16、点 O ，平行四边形对角线互相平分，则 O 为 BD 的中点，又 PBD 中， PB PD ，所以 BD OP ， 又 =PC OP PI ， PC OP PAC， 平 面 ，所以 BD PAC平 面 ，又 AC PAC平 面 ，所以 BD AC ； （ 2）四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD BC ，又AD PBC平 面 ， BC PBC平 面 ，所以 AD PBC平 面 ， 又 AD ADQF 平 面 ， A D Q F P B C Q FI平 面 平 面，所以AD QF ， 又 AD BC ，所以 QF BC 17 解：（ 1）由题意 AB OM ， 1.8 1 3.6 2A B
17、 A BO B O M ， 3OA ，所以 6OB ， 小明在地面上的身影 AB 扫过的图形是圆环，其面积为 226 3 2 7 ( ) 平 方 米； （ 2）经过 t 秒，小明走到了 0A 处，身影为 00AB ，由（ 1）知 000 12AB ABOB OM，所以220 0 0 0 0 0( ) 2 c o sf t A B O A O A A A O A A A O A A ， 化简得 2( ) 3 9 , 0 1 0f t t t t ， 23 27()24f t t ，当 32t 时， ()ft 的最小值为 332， 答： 2( ) 3 9 , 0 1 0f t t t t ，当 3
18、2t（秒）时， ()ft 的最小值为 332（米） 8 18解：（ 1）由题意22222 2 21( ) ( )22xyabaaxy ，消去 y 得 2 222 0c x ax ba ，解得 212 2abx a x c ， ， 所以 22 ( ,0)M abxac ， 2 22 43MA abO A O M x x a bc uuur uuuur ， 22 34ca，所以 32e； （ 2）由（ 1） 2 2 2( , )33M b b，右准线方程为 433xb， 直线 MN 的方程为 2yx ，所以 4 3 4 6( , )33P b b， 21 3 4 6= 2 22 2 3P O F
19、PS O F y b b b ， 22 2 4 222 33A M N A O M MS S O A y b b b ， 所以 224 2 102 2 +33b b a， 210 2 2033bb，所以 2, 2 2ba， 椭圆 C 的标准方程为 128 22 yx 19 解： （ 1）方法一：因为 1 ( 1) ( 1)nnn S n S n n ， 所以 21( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )nnn S n S n n ， 由 -得， 2 1 1( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 1 )n n n nn S n S n S n S n ， 即 21( 1 ) ( 2 2
20、 ) ( 1 ) 2 ( 1 )n n nn S n S n S n ，又 10n ， 则 2122n n nS S S ，即 212nnaa 在 1 ( 1) ( 1)nnn S n S n n 中令 1n 得， 1 2 122a a a ，即 212aa 综上，对任意 *nN ，都有 1 2nnaa ， 故数列 na 是以 2 为公差的等差数列 又 1aa ，则 22na n a 方法二：因为 1 ( 1) ( 1)nnn S n S n n ，所以 1 11nnSS ，又 11S a a，则数列 nSn是以 a 为首项， 1为公差的等差数列， 因此 1nS nan ，即 2 ( 1)nS
21、 n a n 当 2n 时， 1 22n n na S S n a ，又 1aa 也符合上式， 故 22na n a ( *)nN ， 故对任意 *nN ，都有 1 2nnaa ，即数列 na 是以 2 为公差的等差数列 （ 2）令 1 2122nn nae a n a ，则数列 ne 是递减数列，所以 211ne a 考察函数 1yxx ( 1)x ，因为 2221110xy xx ，所以 1yxx 在 (1, ) 上递9 增 因此 1422( 2 )n ne e a a ，从而 142 , 22)nn nbe e a ( a 因为对任意的 *nN ，总存在数列 nb 中的两个不同项 sb
22、， tb ，使得 s n tb c b ，所以对任意的 *nN 都有 42 , 22)nc a ( a ，明显 0q 若 1q ，当 21 log 1( 2)qn aa 时，有 111 422 2)nnnc c q q a ( a ，不符合题意，舍去； 若 01q，当 22 21 lo g 22q aan aa 时，有 111 4222)nnnc c q qa ( a ，不符合题意，舍去；故 1q 20 解：（ 1）当 0a 时，2ln() xfx x，定义域为 (0 )， 31 2ln() xfx x ，令 ( ) 0fx ，得 ex x (0 e)， e ( e )， ()fx 0 ()f
23、x 极大值 12e 当 ex 时， ()fx的极大值为 12e，无极小值 （ 2）31 2 ln()()a xxfx xa ，由题意 ( ) 0fx 对 (0 )xa， 恒成立 (0 )xa， ， 3( ) 0xa， 1 2ln 0a xx 对 (0 )xa， 恒成立 2 lna x x x 对 (0 )xa， 恒成立 令 ( ) 2 lng x x x x， (0 )xa， ， 则 ( ) 2ln 1g x x ， 若 120ea ，即 120ea - ，则 ( ) 2 ln 1 0g x x 对 (0 )xa， 恒成立， ( ) 2 lng x x x x在 (0 )a， 上单调递减， 则
24、 2 ( ) ln ( ) ( )a a a a - ， ln( )a0 ， 1a 与 12ea - 矛盾，舍去； 若 12ea ，即 12ea ，令 ( ) 2 ln 1 0g x x ，得 12ex ， 当 120ex 时， ( ) 2 ln 1 0g x x ， ( ) 2 lng x x x x单调递减， 10 当 12e xa 时， ( ) 2 ln 1 0g x x ， ( ) 2 lng x x x x单调递增， 当 12ex 时， 1 1 1 1 12 2 2 2 2m i n ( ) ( e ) 2 e l n ( e ) e 2 eg x g g， 122ea 综上 122
25、ea （ 3）当 1a 时，2ln() ( 1)xfx x ，31 2 ln() ( 1)x x xfx xx 令 ( ) 1 2 lnh x x x x ， (01) ， ， 则 ( ) 1 2 ( ln 1 ) 2 ln 1h x x x ，令 ( ) 0hx ，得 12ex 当 12e1x 时， ( ) 0hx ， ( ) 1 2 lnh x x x x 单调递减， 12( ) (0 2e 1hx ， ， 31 2 ln( ) 0( 1)x x xfx xx 恒成立， 2ln() ( 1)xfx x 单调递减， 且 12( ) (e )f x f ， 当 120ex 时， ( ) 0hx
26、 ， ( ) 1 2 lnh x x x x 单调递增， 其中 1 1 1 1 4( ) 1 2 l n( ) l n 02 2 2 2 eh ， 又 2 2 2 225( e ) e 1 2 e l n ( e ) 1 0eh ， 存在唯一 20 1(e , )2x ，使得 0( ) 0hx ， 0( ) 0fx ， 当 00 xx 时， ( ) 0fx ， 2ln() ( 1)xfx x 单调递增， 当 120 exx 时， ( ) 0fx ， 2ln() ( 1)xfx x 单调递减，且 12( ) (e )f x f ， 由 和 可知，2ln() ( 1)xfx x 在 0(0 )x，
27、 单调递增，在 0( 1)x， 上单调递减， 当 0xx 时，2ln() ( 1)xfx x 取极大值 0 0 0 0( ) 1 2 ln 0h x x x x ， 00 01ln 2xx x， 00 22000 0ln 11() 112 ( 1 )( 1 )2 ( )22xfx xxxx ， 又0 1(0 )2x ， 20 1 1 12( ) ( 0)2 2 2x ， 0 201( ) 2112 ( )22fx x 11 常州市教育学会学生学业水平监测 高三 数学（附加题） 参考答案 21、【选做题】在 A、 B、 C、 D 四 小题中 只能选做两题 ，每小题 10分，共计 20分 A选修
28、4 1：几何证明选讲 解 ：记 NBC 外接圆为圆 O， AB、 AC 分别是 圆 O 的切线和割线 ， 所以 2AB AN AC， 又 AA ， 所以 ABN 与 ACB 相似， 所以 BC AB ACBN AN AB， 所以 2 3B C A B A C A CB N A N A B A N ， 3BCBN B选修 4 2：矩阵与变换 （ 2） 42=021 ， 即 ( 4)( 1) 4 0 ， 所以 2 50， 解得 120, 5 1 0 时 ， 4 2 020xyxy ， 2yx ， 属于 1 0 的一个特征向量为 12； 2 5 时 ， 202 4 0xyxy ， 2xy ， 属于
29、1 0 的一个特征向量为 21 C选修 4 4：坐标系与参数方程 解： 曲线 22: ( 1) 4C x y ，直线 : 2 0l x y ，圆心 (1,0)C 到直线 l 的距离为221 0 2 2211d ，所以弦长 22 12 2 4 1 42M N r d D选修 4 5：不等式选讲 证明 ： 0, 0ab，不妨设 0ab ， 则 5522ab ， 1122ab ， 由排序不等式得 5 1 5 1 5 1 5 12 2 2 2 2 2 2 2a a b b a b b a ， 所以 5 1 5 1 5 1 5 12 2 2 2 2 2 22 2 2 2a a b b a b b a a
30、ba b a b 【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 20分 22 解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到 PAC ，PBD 为等腰直角三角形 的可能取值为： 0, ,32，共 28 28C 种情况，其中： 0 时，有 2 种； 3 时，有 3 4+2 4=20 种； 2 时，有 2+4=6 种； （ 1）141282)0( P； （ 2）7528164)3( P，143286)2( P 再根据（ 1）的结论， 随机变量 的分布列如下表： 12 0 3 2 P 141 75 143 根据上表， 842914327531410)( E 23 解：
31、（ 1） 112 2! ( 1 ) !nnnS nn L （ 2） 222=3TS ， 3311=6TS ， 447=2TS ， 则2 =4 2311 =9 367 16 92a b ca b ca b c ，解得 1 1 14 1 2 6a b c ， ， （ 3）当 2n 时，由（ 2）知等式成立； 假设 *( N , 2)n k k k 且 时，等式成立，即 21 1 14 12 6kkT kkS ； 当 1nk时，由21 1 1( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( )211 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( )2111( ) ( )!1kkf x x x x xkkx x x xkkS x T x xkk LLL知2111 1 1 1 12 1 ( ) 1 ( 1 ) ! 1 4 1 2 6k k kkT S T k kk k k ，所以221111 1 1 12 1 ( ) 3 2 ( 3 5 )( 1 ) ! 1 4 1 2 6 ( 1 )11 2 1 2 1 22!kkkkkT k k k k kkkkkSkk ， 又 21 1 1 ( 3 5 )( 1 ) ( 1 )4 1 2 6 1 2kkkk ，等式也成立； 综上可得，对任意 2n 且 *nN ，都有 2nnT an bn cS 成立
