1、珠海市 2013 年 5 月高三综合试题（二）理科数学 本试卷共 4 页， 21 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 则 等于|12,|0,AxBxABA B C D |02x|1|20x|10x2设 i为虚数单位，则复数 43i的虚部为 A4 B4i C4 D4i3已知非零向量 ， 满足 ，则函数 是 ab2fxabxRA.偶函数 B. 奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数4设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 等于),2(NcP)()4(c
2、PA. B. C. D. aa1a2a215已知变量 满足 ，则 的值域是xy、03xyzxyA B C D 03， (0)， ()2， 32，6已知实数 构成一个等比数列，则圆锥曲线 的离心率为4,9m1yxmA B C 或 D. 或 73073067567如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 A B. C. D. 8324328已知 是 R 上的偶函数， ，若 的图象向右平移)(xf )0(f)(xf一个单位后，则得到一个奇函数的图象，那么 的值为)9(7)5(31ff第 7 题A1 B0 C-1 D 29二、填空题：本大题共
3、 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）9某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是 k10. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到 因为 ，所以断定主修统计专业与84.3027)1(50223.841性别有关系，这种判断出错的可能性最高为 11 展开式中的常数项的值是 (用数字作答)831()x12在 中， ，则 _ABC32,Ccba13在等比数列 中，若 是互不相等的正整数，则 有等式 成立.类比na,rst 1rstrtsa上述性质，相应
4、地，在等差数列 中,若 是互不相等的正整数，则有等式 nb,rst成立.（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14 （几何证明选讲选做题）如图，圆内的两条弦 ， 相交于圆内一点 ，已知 ，ABCDP4A， ，则 的长为 .2PBPDC4专业性别非统计专业 统计专业男 13 10女 7 20P(K2k) 0.050 0.025 0.010 0.001k 3.841 5.024 6.635 10.828第 9 题15 （坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点 ， ， 是极点，则 的面积等于 )6,2(A)3,4(BOAB三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文
5、字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分 12 分）已知函数 ， 的()sin()fxAx(0|)2， ， ()xR部分图像如图所示(1)求 的解析式；(2) 且 ，f 3)(4gffxtan3求 ()g17 （本小题满分 12 分）某公益活动分别从 A、B 两个单位招募 9 名和 11 名志愿者，将这 20 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图，将身高 180cm 及以上的人组成甲队，不足 180cm 的人组成乙队（1 ）根据志愿者身高茎叶图指出 A、B 两个单位志愿者身高的中位数（2 ）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队中抽取人，再从这人中选人，那么至少有人是甲队的概率是多少（3 ）若只有
6、 B 单位的志愿者能够胜任翻译工作，现从甲队中选 3 名志愿者，用 表示所选志愿者中能够胜任翻译工作的人数，试写出 的概率分布列，并求 数学期望18 （本小题满分 14 分）如图，四边形 与 均为菱形，ACDEF，且 60BC（1）求证： ；平 面（2）求证： ；平 面/（3）求二面角 的余弦值BFA19 （本小题满分 14 分）数列 的前 项和记为 ，且满足 nanS21na（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）求和： ；0121231nnnCC（3 ）设各项均为正整数的等差数列 的公差为 1，并且满足：nb212lg2lglglogmmab试问数列 最多有几项？并求这些项的和nb20 （本小
7、题满分 14 分）已知椭圆 的方程为 ，点 分别为其左、C21(0)xyabAB、右顶点，点 分别为其左、右焦点，以点 为圆心， 为半径作圆 ；以点 为圆心，12F、 A1F为半径作圆 ；若直线 被圆 和圆 截得的弦长之比为 OB3:lyxB156（1）求椭圆 的离心率；C（2）己知 ，问是否存在点 ，使得过 点有无数条直线被圆 和圆 截得的弦长之比为7aPAB?若存在，请求出所有的 点坐标；若不存在，请说明理由34A F2F1yB xO21 （本小题满分 14 分）已知函数 21,4xxaf(1) 若 时， 恒成立，求 的取值范围；af(2) 若 时，函数 在实数集 上有最小值，求实数 的取
8、值范围 xRa2013 年 5 月珠海市高三综合测试（二）理科数学参考答案及评分标准本试卷共 4 页， 21 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 则 等于 C|12,|0,AxBxABA B C D |02x|1|20x|10x2设 i为虚数单位，则复数 43i的虚部为 （ ）AA4 B4i C4 D4i3已知非零向量 ， 满足错误！未找到引用源。 ，则函数 是 ( )Aab2fxabxRA.偶函数 B. 奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数4
9、设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 等于 B),2(NcP)()4(cPA. B. C. D. aa1a2a215已知变量 满足 ，则 的值域是 Dxy、03xyzxyA B C D03， (0)， ()2， 32，6已知实数 构成一个等比数列，则圆锥曲线 的离心率为（ C ）4,9m1yxmA B C 或 D. 3073067或 7567如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 ( A ) A B. C. D. 832432【答案】A8已知 是 R 上的偶函数， ，若 的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇)(xf )0(f)(x
10、f函数的图象，那么 的值为（ ）C9753)1(f A1 B0 C-1 D 2二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）9某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是 。4 k10. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到因为 ，所以断定主修统计专业与84.3027)1(50223.841性别有关系，这种判断出错的可能性最高为 。 （5%(或 0.05)）11 展开式中的常数项的值是 (用数字作答)28831()x12在 中， ，则
11、 _1ABC32,Ccba13在等比数列 中，若 是互不相等的正整数，则 有等式 成立.类比na,rst rstrtsa上述性质，相应地，在等差数列 中,若 是互不相等的正整数，则有等式 _成立. nb,rst0)()()( srt tbsr（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14 （几何证明选讲选做题）专业性别非统计专业 统计专业男 13 10女 7 20P( )k20.050 0.025 0.010 0.001k 3.841 5.024 6.635 10.828如图，圆内的两条弦 ， 相交于圆内一点 ，已知 ，ABCDP4A， ，则 的长为 .2PBPDC4 2515 （坐标
12、系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点 ， ， 是极点，则 的面积等于 4)6,2(A)3,4(BOAB三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分 12 分）已知函数 ， 的()sin()fxAx(0|)2， ， ()xR部分图像如图所示（1 ）求 的解析式；()fx（2 ） 且 ，求 3)(4gffxtan3()g解：(1)由图像知 ， （2 分）1A，()236TT （4 分）又 得()03 （6 分）sin2)fx(2) ()x （8 分）3si()sin(2)433gxxn(26xsicosi)sicos2in63xxx=
13、 （10 分） tan3 （12 分）2224sinc4tan16()2sio05g17 （本小题满分 12 分）某公益活动分别从 A、B 两个单位招募 9 名和 11 名志愿者，将这 20 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图，将身高 180cm 及以上的人组成甲队，不足 180cm 的人组成乙队（1 ）根据志愿者身高茎叶图指出 A、B 两个单位志愿者身高的中位数；（2 ）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队中抽取人，再从这人中选人，那么至少有人是甲队的概率是多少（3 ）若只有 B 单位的志愿者能够胜任翻译工作，现从甲队中选 3 名志愿者，用 表示所选志愿者中能够胜任翻译工作的人数，试写出 的概率
14、分布列，并求 数学期望。解：(1)A 单位中位数是 180cm，B 单位中位数是 173cm 2 分(2)总人数是 20 人，甲单位 8 人，乙单位 12 人，设甲、乙各抽 人和 人，则 ，得 ，mn5201mn23n甲队抽 2 人，乙队抽 3 人 4 分设“5 人中选 2 人，其中至少有 1 人是甲队的”为事件 A，则 1357()0CPA答：从这人中选人，至少有人是甲队的概率是 6 分710(3)甲队中 B 单位有 3 人，这 3 人能胜任翻译工作，故 7 分23， ， ，的概率分布列; ;358(0)2CP12358()CP; 1358()638()60123P5285281561611
15、 分的期望是 12 分190358E18 （本小题满分 14 分）如图，四边形 与 均为菱形， ，且 .ABCDEF。60DBFAFCA（1）求证： ；BDEFAC平 面（2）求证： ；平 面/（3）求二面角 的余弦值（1）证明：设 AC 与 BD 相交于点 O，连结 FO.因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BAC，且 O 为 AC 中点.又 FA=FC，所以 F. 2 分因为 DEFDEBDFO平 面，平 面 , ，所以 AC平 面. 3 分（2 ）证明：因为四边形 与 均为菱形，所以 /,/,E因为 平 面 平 面所以 F,FBC平 面 平 面又 DAEDA， 平 面 ， 平 面 ，所以
16、平面 /BC平 面又 平 面所以 E平 面 . 6 分（3 ）解：因为四边形 BDEF 为菱形，且 60BF。 ，所以DF为等边三角形因为 O为 中点，所以 .OD由（）知 ,ACO，故 ABC平 面.法一：由 ,F两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz.设 AB=2因为四边形 ABCD 为菱形， 60B。 ，则 BD=2，所以 OB=1， 3O.则 )3,(),(),01,3(),0( FCBAO8 分所以 CF).设平面 BFC 的法向量为 则有 所以 3xz0,y.(,)nxyz0nB取 x1，得 . 12 分(,31易知平面 AFC的法向量为 . (0,)v由二面角 A-FC-
17、B 是锐角，得.|15|cos,|nv所以二面角 A-FC-B 的余弦值为 .14 分法二：取 的中点 ，连接 ， ，CFGOBFD四边形 与 均为菱形， ，且ABDE。60AFCA ，设为Ea 为 、 中点，O ， F （8 分）32Ca ， OGB 是二面角 的平面角 （10 分）FA 62Fa ， ，又 （12 分）4OG104Ba2BO215cosG二面角 A-FC-B 的余弦值为 （14 分）19 （本小题满分 14 分）数列 的前 项和记为 ，且满足 nanS21na（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）求和： ；0121231nnnCC（3 ）设各项均为正整数的等差数列 的公差为
18、1，并且满足：b212lg2lglglogmmab试问数列 最多有几项？并求这些项的和nb19解：（1）由 得 ，相减得 ，即 12naS12naS nnaa21na21又 ，得 ， 数列 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列， 2aS04 分（2 ）由（1 ）知 12n nnnnnnn CCCSCS )12()12()()12(3203120 n)( 0 9 分（3 ）由已知得 11221 mbb又 是连续的正整数数列， 上式化为 11 分nb1n 1)(21mb又 ，消 得 )1(1mmb0231，由于 ， ， 时， 的最大值为 9.26311bN1b31此时数列的所有项的和为 14 分
19、65420 （本小题满分 14 分）已知椭圆 的方程为 ，点 分别为其左、C2(0)xyabAB、右顶点，点 分别为其左、右焦点，以点 为圆心， 为半径作圆 ；以点 为圆心，12F、 A1F为半径作圆 ；若直线 被圆 和圆 截得的弦长之比为 ；OB3:lyxB156（1）求椭圆 的离心率；C（2）己知 ，问是否存在点 ，使得过 点有无数条直线被圆 和圆 截得的弦长之比为7aPAB；若存在，请求出所有的 点坐标；若不存在，请说明理由34A F2F1yB xO解：（1）由 ，得直线 的倾斜角为 ，3lkl150则点 到直线 的距离 ，A1sin(8)2ada故直线 被圆 截得的弦长为 ，l 211
20、2()(aLcdc直线 被圆 截得的弦长为 ， （3 分）lB2os(805)3a据题意有： ，即 ， （4 分）1256L2)163c化简得： ， （5 分）370e解得： 或 ，又椭圆的离心率 ；41(0,1)e故椭圆 的离心率为 （6 分）C4e（2）假设存在，设 点坐标为 ，过 点的直线为 ；P(,)mnPL当直线 的斜率不存在时，直线 不能被两圆同时所截；LL故可设直线 的方程为 ，()ykx则点 到直线 的距离 ，)0,7(A217knD由（1）有 ，得 = ，4cea34Aarc故直线 被圆 截得的弦长为 ， （8 分）L211ALr则点 到直线 的距离 ，)0,7(B227kn
21、mD，故直线 被圆 截得的弦长为 ， （10 分）7BrLB22BLrD据题意有： ，即有 ，整理得 ，12342126()9()Ar1243即 ，两边平方整理成关于 的一元二次方程得2174knm27knk， （12 分）07)14350()4350( 2nkm关于 的方程有无穷多解，故有： ，49107122nm或故所求点 坐标为（1，0）或（ 49，0） （14 分）P（注设过 P 点的直线为 后求得 P 点坐标同样得分）mkxy21.（本小题满分 14 分）已知函数 21,4xxaf(1) 若 时， 恒成立，求 的取值范围；af(2) 若 时，函数 在实数集 上有最小值，求实数 的取值
22、范围xRa解： (1) 因为 时， ，所以令 ，则有 ，xa42xxaf2xt02at当 时恒成立，转化为 ，1f 41at即 在 上恒成立， 2 分42at0,a令 p (t)t ， ，则 ，所以 p (t)t 在 上单调递增，1t ,2a210ptt1t 0,2a所以 ，所以 ，解得 6 分4a5a2log5a(2) 当 时， ，即 ，7 分x21fx214afx当 时，即 时， ；2a0min()1fxfa当 时，即 ， ；8 分4a2in4ff当 时， ，令 ， ，则 xa2xxfxt0,at，10 分24aahtt当 ，即 时， ；a1min24()aaht当 ，即 时， 在开区间 上单调递减， ，2a2t0,t()4,0)aht无最小值；12 分综合 与 ，所以当 时，即 ，函数 ；x1a4amin4afx当 时， ，函数 无最小值；102a40afx当 时， ，函数 无最小值13 分42314af综上所述，当 时，函数 有最小值为 ；当 时，函数 无最小12fxa142fx值14 分
