1、2018 年下学期衡阳市 高二期中考试试题理科数 学 本试卷分第卷( 选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试用时 120 分钟一、单选题1命题“若 ,则 且 ”的逆否命题是( D )A 若 ,则 且 B 若 ,则 或C 若 且 ,则 D 若 或 ,则2 已知抛物线方程为 ，则该抛物线的焦点坐标为( C )A B C D 3下列命题错误的是（B ）A 命题“ ， ”的否定是“ ， ”;B 若 是假命题，则 ， 都是假命题C 双曲线 的焦距为D 设 ， 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面 ，使得 ，且4与椭园 共焦点且渐近线方程为 的双曲线的标准方程为( D ）A B C D 5已
2、知 .若“ ”是真命题，则实数 a 的取值范围是( C )A (1，+) B (， 3) C (1，3) D 6直线 截圆 所得弦的长度为 4，则实数 的值是（ A）A 3 B 4 C 6 D 7方程 表示的曲线是( D )2310xyxA 两条直线 B 两条射线 C 两条线段 D 一条直线和一条射线8已知 、 是椭圆 ： 的两个焦点， 为椭圆 上一点，且，若 的面积为 9，则 的值为（ C ）A 1 B 2 C 3 D 49如图，空间四面体 的每条边都等于 1，点 ， 分别是 ， 的中点，则 等于（A ）A B C D 10已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上的动点，则2136xy
3、12F、 ,BM1MFB的最小值为（B ）A B C D 4264611如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D ,E 分别为 BB1,A1C1 的中点，则异面直线 AD,CE 所成角的余弦值为（C）A B C D 12 为双曲线 上一点， 分别为 的左、右焦点，P2:1,0xyab12,FC，若 外接圆半径与其内切圆半径之比为 ，则 的离心率为（D）21F12PF5A B 2 C 或 D 2 或 33题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C B D C A D C A B C D2、填空题13已知 O 为空间任意一点， A,B,C,D 四
4、点满足任意三点不共线，但四点共面，且 ,则 _；34AxyzO=+uvuv234xyz+=【答案】-114有下列几个命题:“若 ,则 ”的否命题;“若 ,则 , 互为相反数”的逆命题;ab2 0xyxy“若 ,则 ”的逆否命题; “若 ,则 有实根”的逆24xxm20否命题;其中真命题的序号是_.【答案】1515已知点 在椭圆 上，则 的最大值为_；2143yx+=【答案】416已知椭圆 上一点 A 关于原点的对称点为点 为其右焦点，若,设 ,且 ，则椭圆的离心率 的取值范围为_【答案】三、解答题17已知 ，已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆；命题 ：“函数在 上为单调增函数若“ 或 ”
5、为真命题， “ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围【答案】 或【试题解析】若 为真命题，则 解得 若 为真命题，则 即 ,若“ 或 ”为真命题， “ 且 ”为假命题，则 一真一假.当 时，由 得 ,当 时，由 得综上，实数 的取值范围是 或18已知向量 ， ，若向量 同时满足下列三个条件： ； ； 与 垂直. （1）求向量 的坐标；（2）若向量 与向量 共线，求向量 与 夹角的余弦值.【答案】(1) 或 ；(2) .（1）设 ，则由题可知 解得 或所以 或 .（2）因为向量 与向量 共线，所以 . 又 ， ，所以 ， ，所以 ，且 ， ，所以 与 夹角的余弦值为 .19如图，设 是圆 上的动点
6、，点 是 在 轴上的投影， 为 上一点，P25xyDPxMPD且 .45MD（1）当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；MC（2）求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的长度.3,045【答案】 （1） .（2） .216xy（1）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由已知得 . 在圆上，M,xyP,xy 54xyP，25xy即 ，整理得 ，即 的方程为 .2242156xyC2156xy（2）过点 且斜率为 的直线方程为 ，3,0443设直线与 的交点为 ， ，将直线方程 代入 的方程，C12,Axy2,Bxy435yxC得 ，即 .x 1+x2=3，x 1x2=-8线段 的长度为2235x3
7、80AB.22111264155ABy直线被 所截线段的长度为 .C420如图所示，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ， 为 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】（1）证明：因为 ， ， ，所以 ， ，在 中， ， ， ，由余弦定理可得：解得： 所以 ，所以 是直角三角形，又 为 的中点，所以 又 ，所以 为等边三角形，所以 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以平面 .（2）解：由（1）可知 ，以点 为原点，以 , ， 所在直线分别为 轴，轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， .所以 ， ， .设 为平面 的法
8、向量，则 ，即设 ，则 ， ，即平面 的一个法向量为 ，所以 ,所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .21已知 为双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线，并在 轴上方交双曲线于点 ，且 .（1）求双曲线 的方程；(2)过圆 上任意一点 作切线 交双曲线 于 两个不同l点， 中点为 ，若 ，求实数ABON的 值 .【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析【解析】：（1）根据已知条件 得 ，焦点坐标为， 轴， 在直角三角形 中， ，解得 ，于是所求双曲线方程为 .（2）当直线 的斜率不存在时，则 ，于是 ，此时， 2.当直线 的斜率存在时，设 的方程为 切线 与 的交点坐标为 ，于是有 消
9、去 化成关于 的二次为 . 为 的中点， 即 坐标为则 ，又点 到直线 的距离为， .代入得： ，故 . 2.22已知抛物线 ： （ ）与椭圆 ： 相交所得的弦长为C2ypx0C1546xy2p（）求抛物线 的标准方程；（）设 ， 是 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，ABOOAB当 ， 变化且 为定值 （ ）时，证明：直线 恒过定点，并求出该定点tan2的坐标【答案】 （） ；（）直线 恒过定点 2yxAB ,1【解析】 （）设抛物线 与椭圆 交于 ，2:0Cypx25:46xyC1 ,Mxy两点由椭圆的对称性可知， ， ， 将点 代2 ,Nxy120 ,1p21 ,
10、p入抛物线 中，得 ， :px12x再将点 代入椭圆 中，得 ，解得 故抛物线 的 ,2pM215:46xyC21546p1pC标准方程为 yx（）设点 ， ，由题意得 （否则 ，不满足 ） ，3 ,A4 ,By34xtan2且 ， ，30x4设直线 ， 的方程分别为 ， ， 联立 ，解得 ，OABykxm0 ,k2ykx32k，联立 ，解得 ， ； 则由两点式得，直线 的方程为32yk2ymx323 AB22xkm化简得 因为 ，由 ，得2kkyxm2，得 ，将代入，化简得tantan11k1m，得 22myx22yx得 ，得 ，得22 11m2211mm，2myx即 令 ，不管 取何值，都有 所以直线 恒过定点2120xm1yAB ,考点：（1）轨迹方程；（2）直线过定点；（3）直线与圆的位置关系.
