1、1第三讲 柯西不等式与排序不等式测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.下列不等式中一定成立的是( )A.(ax+by)2( a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by| 2+22+2C.(a2+b2)(x2+y2)( ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)( ab+xy)2解析 由柯西不等式可知,只有 C 项正确 .答案 C2.设 xy0,则 的最小值为( )(2+42)(2+12)A.-9 B.9 C.10 D.0解析 =9 .2+(2)2(1)2+2(1+2)2 (当且仅当 =2时,等号成立 )2答案 B3.
2、设 a1 a2 an,b1 b2 bn为两组实数, c1,c2,cn是 b1,b2,bn的任一排列,则和S=a1bn+a2bn-1+anb1,T=a1c1+a2c2+ancn,K=a1b1+a2b2+anbn的关系是( )A.S T K B.K T SC.T K S D.K S T解析 根据排序不等式知反序和乱序和顺序和,则 S T K.答案 A4.若 3x+2y+z= ,则 x2+y2+z2的最小值是( )7A. B. C. D.212 714 76解析 由柯西不等式可得(3 2+22+12)(x2+y2+z2)(3 x+2y+z)2,即 14(x2+y2+z2)( )2=7,于是7x2+y
3、2+z2 ,当且仅当 =z,即 x= ,y= ,z= 时,等号成立,故 x2+y2+z2的最小值是 .12 3=2 3714 77 714 12答案 A5.用柯西不等式求函数 y= 的最大值为( )2-3+2+7-3A. B.3 C.4 D.522解析 由柯西不等式,得函数 y=4,2-3+2+7-312+(2)2+12 (2-3)+(7-3)当且仅当 时,等号成立,2-31 =2=7-31故函数 y 的最大值为 4.故选 C.答案 C6.已知 =1(ab0),设 A=a2+b2,B=(x+y)2,则 A,B 间的大小关系为( )22+22A.AB C.A B D.A B3解析 A=a2+b2
4、=1(a2+b2)= (a2+b2) =(x+y)2=B,即 A B,当且仅当 时,(22+22) (+)2 =等号成立 .答案 D7.已知 a0,且 M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则 M 与 N 的大小关系是( )A.M N B.MN C.M N D.MN.答案 B8.已知 x,y,z 是正实数,且 =1,则 x+ 的最小值是 ( )1+2+3 2+3A.5 B.6 C.8 D.9解析 由柯西不等式可得x+2+3=(+2+3)(1+2+3) =9,(1+22+33)2当且仅当 x=3,y=6,z=9 时,等号成立,故 x+
5、的最小值是 9.2+3答案 D9.已知 a,b 是给定的正数,则 的最小值为( )422+ 22A.2a2+b2 B.2ab C.(2a+b)2 D.4ab解析 =(sin2+ cos2 )422+ 22 (422+ 22)4 =(2a+b)2,(2+)2当且仅当 sin =cos 时,等号成立 . 2故 的最小值为(2 a+b)2.422+ 22答案 C10.已知正数 x,y,z 满足 x+2y+3z=1,则 的最小值为( )1+2+ 42+3+ 93+A.1 B.9 C.36 D.18解析 由柯西不等式可得( x+2y+2y+3z+3z+x) (1 +2+3)2,(1+2+ 42+3+ 9
6、3+)x+ 2y+3z=1, 2 36,(1+2+ 42+3+ 93+) 18,1+2+ 42+3+ 93+ 当且仅当 x+2y= ,即 x= ,y=0,z= 时 , 的最小2+32 =3+3 13 29 1+2+ 42+3+ 93+值为 18.答案 D11.在锐角三角形 ABC 中,设 p= ,q=acos C+bcos B+ccos A,则 p,q 的大小关系是( )+2A.p q B.p=qC.p q D.无法确定解析 不妨设 A B C,则 a b c,cos Acos Bcos C.则由排序不等式可得 q=acos C+bcos B+ccos A acos B+bcos C+ccos
7、 A, 5acos C+bcos B+ccos A acos C+bcos A+ccos B, 由 + 得 2(acos C+bcos B+ccos A) acos B+bcos A+bcos C+ccos B+ccos A+acos C,即 2(acos C+bcos B+ccos A)2 R(sin Acos B+cos Asin B)+2R(sin Bcos C+cos Bsin C)+2R(sin Ccos A+cos Csin A),整理,得 acos C+bcos B+ccos A Rsin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)=R(sin A+sin B+sin C)=
8、=p.2+2+22 =+2答案 C12. 导学号 26394060 设 P 为 ABC 内一点, D,E,F 分别为 P 到 BC,CA,AB 所引垂线的垂足,如图 .若 ABC 的周长为 l,面积为 S,则 的最小值为( )+A. B. C. D.22 2 24 22解析 设 AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则 a1b1+a2b2+a3b3=2S. (a3b3+a2b2+a1b1) =(a3+a2+a1)2=l2,(33+22+11) (3333+2222+1111)2,当且仅当 b1=b2=b3,即 PE=PF=PD 时,等号成立 .33+22+11
9、22答案 A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.若 =2, =3,则 x1y1+x2y2+x3y3的最大值为 . 21+22+23 21+22+236解析 由柯西不等式可得( )( )( x1y1+x2y2+x3y3)2,即( x1y1+x2y2+x3y3)26,所21+22+23 21+22+23以 x1y1+x2y2+x3y3 ,故 x1y1+x2y2+x3y3的最大值为 .6 6答案 614.若 a,b,c0,则 a+b+c. +解析 不妨设 a b c0,则 ab ac bc0, 0,则由排序不等式可得111 ab +ac +bc =a+b+c(当且仅当
10、 a=b=c 时,等号成立) .+ 1 1 1答案 15.设正实数 a1,a2,a100的任意一个排列为 b1,b2,b100,则 + 的最小值为 .11+22100100解析 不妨设 00,所以 s t.7答案 s t三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)已知 a0,b0,a+b=1,求证 2 .2+1+2+1 2证明 由柯西不等式可得( )2=( 1+ 1)2( )2+( )22+1+2+1 2+1 2+1 2+1 2+1(12+12),因此( )22(2 a+2b+2)=8,2+1+2+1故 2 当且仅当 a=b= 时,等号成立 .2+1+2+1 2
11、( 12 )18.(本小题满分 12 分)已知 a,b,c 都是非零实数,求证 a2+b2+c2.42+42+42证明 由柯西不等式可得 (b2+c2+a2)(42+42+42)= (b2+c2+a2)(2)2+(2)2+(2)2 =(a2+b2+c2)2,(2+2+2)2又因为 a2+b2+c20,所以 a2+b2+c2(当且仅当 a=b=c 时,等号成立) .42+42+4219.(本小题满分 12 分)设 x2+4y2=1,求 u=2x+y 的最值以及取得最值时,实数 x,y 的值 .解 u=2x+y=2x+ 2y.12由柯西不等式可得 x2+(2y)222+(12)2 ,(2+122)
12、28即(2 x+y)2 1,174所以 u2 ,故 - u ,当且仅当 4y= x,且 x2+4y2=1 时,等号成立,解得174 172 172 12x= ,y= .41717 1734所以 u 的最大值是 ,此时 x= ,y= ;172 41717 1734u 的最小值是 - ,此时 x=- ,y=- .172 41717 173420.(本小题满分 12 分)设 a,b,c(0, + ),利用排序不等式证明 a2ab2bc2c ab+cbc+aca+b.证明 不妨设 a b c0,则 lg alg blg c,由排序不等式可得 alg a+blg b+clg c blg a+clg b+
13、alg c,alg a+blg b+clg c clg a+alg b+blg c,以上两式相加可得 2alg a+2blg b+2clg c( b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,即 lg a2a+lg b2b+lg c2clg ab+c+lg ba+c+lg ca+b,lg(a2ab2bc2c)lg( ab+cba+cca+b),故 a2ab2bc2c ab+cbc+aca+b(当且仅当 a=b=c 时,等号成立) .21. 导学号 26394061(本小题满分 12 分)已知 a0,b0,c0,函数 f(x)=|x+a|+|x-b|+c 的最小值为 4.(1)求 a
14、+b+c 的值;(2)求 a2+ b2+c2的最小值 .14 19解 (1)因为 f(x)=|x+a|+|x-b|+c |(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当 -a x b 时,等号成立 .又 a0,b0,所以 |a+b|=a+b,所以 f(x)的最小值为 a+b+c.9又已知 f(x)的最小值为 4,所以 a+b+c=4.(2)由(1)知 a+b+c=4,由柯西不等式,得 (4+9+1)(142+192+2) =(a+b+c)2=16,(22+33+1)2即 a2+ b2+c2 .14 19 87当且仅当 ,即 a= ,b= ,c= 时等号成立 .故 a2+ b2+c2的最
15、小值为 .122=133=1 87 187 27 14 19 8722. 导学号 26394062(本小题满分 12 分)如图,等腰直角三角形 AOB 的直角边长为 1,在此三角形中任取点 P,过 P 分别引三边的平行线,与各边围成以 P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时 P 的位置 .解 分别取 OA,OB 所在的直线为 x 轴、 y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系 .则 AB 的方程为 x+y=1,记点 P 坐标为 P(xP,yP),则以 P 为公共顶点的三个三角形的面积和 S= (1-xP-yP)2,122+122+12所以 2S= +(1-xP-yP)2.2+210由柯西不等式,得 +(1-xP-yP)2(12+12+12)( xP+yP+1-xP-yP)2,2+2即 6S1,所以 S ,当且仅当 ,即 xP=yP= 时,等号成立 .16 1=1=1-1 13故当 xP=yP= 时 ,面积和 S 最小 ,且最小值为 ,13 16此时点 P 坐标为 .(13,13)
