1、1专题 02“三招五法”轻松破解含参零点问题一方法综述函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解具体的， （1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题
2、求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二解题策略类型一 “第一招”带参讨论【例 1】 【湖南省澧县一中 2018 届一轮第一次检测】已知函数 f(x)= ,如果函数f（x）恰有两个零点，那么实数 m 的取值范围为_【答案】【解析】分析：根据 与-2，0 和 4 的大小关系逐一判断 的零点个数即可得出结论若 ，则 在 上有 2 个零点 0，在 上无零点，符合题意； 或 故答案为： 【指点迷津】1.根据题设要求研究函数的性 质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2.由于函数含
3、有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解 2【举一反三】 【江苏省扬州中学 2019 届高三 10 月月考】已知定义在 上的函数 可以表示为一个偶函数 与一个奇函数 之和，设 若方程无实根，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】p（t）=t 2+2mt+m2m+1p（p（t） ）=p（t） 2+2mp（t）+m 2m+1，若 p（p（t） ）=0 无实根，即p（t） 2+2mp（t）+m 2m+1无实根，方程的判别式=4m 24（m 2m+1）=4（m1） 1当方程的判别式0，即 m1 时，方程无实根2当方程的判别式0，即 m1 时，方程有两个实根 ，即 ，只要方程无实根，故
4、其判别式 ，即得 ，且 ，m1，恒成立，由解得 m2，同时成立得 1m2综上，m 的取值范围为 m2类型二 “第二招”数形结合3【例 2】 【2018 年天津卷理】已知 ，函数 若关于 的方程 恰有 2个互异的实数解，则 的取值范围是_.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论 和 两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.令 ，其中 ，原问题等价于函数 与函数 有两个不同的交点，求 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象，同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件，结合 观察可得，实数 的取值范围是 .4【指点迷津】1.由两个基本初等函数组合而得的超越函数 f(
5、x) g(x) h(x)的零点个数，等价于方程 g(x) h(x)0 的解的个数，亦即 g(x) h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数 y g(x)与 y h(x)的图象的交点个数2.先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题交点的横坐标即零点.【举一反三】 【2019 届同步单元双基双测 AB 卷】已知函数 ，若函数有三个零点，则实数 的取值范围为_【答案】 .【解析】分析：求出函数|f（x）3x 的解析式，画出函数的图象
6、，利用函数的极值，转化求解即可5当 x0 时， 6，当且仅当 x=1 时取等号，此时b6，可得 b6；当 0x4 时，xx 2 ，当 x= 时取得最大值，满足条件的 b（ ，0综上，范围是 .故答案为： .类型三 “第三招”分离参数【例 3】 【广东省惠州市 2019 届 10 月调研】已知函数 是定义在 上的偶函数，且，若函数 有 6 个零点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，函数 F（x）=f（x）m 有六个零点，则当 x0 时，函数 F（x）=f（x）m 有三个零点，令 F（x）=f（x）m=0，即 m=f（x） ，6当
7、x2 时，f（x）= 0，且当 x+，f（x）0，f（x）= ，令 f（x）= =0，解得 x=3，当 2x3 时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x3 时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x） min=f（3）= ，故 f（x）在2，+）上的值域为 ，0） ， 2，当 m0 时，当 x0 时，函数 F（x）=f（x）m 有三个零点，故当 m0 时，函数 F（x）=f（x）m 有六个零点，故选 D.【指点迷津】1.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域（最值）问题加以 解决；2.通过将原函数中的变参量进行分离后变形成 g(x)l(a)，则原函数的零点问题化归为与 x 轴平行的直线yl(
8、a)和函数 g(x)的图象的交点问题【举一反三】 【2015 年天津卷理】已知函数 2, xf函数 2gxbfx，其中bR，若函数 yfxg恰有 4 个零点，则 b的取值范围是（ ）7A 7,4 B 7,4 C 70,4 D 7,24【答案】D类型四 “三招五法”一题多解【例 4】 【2014 年全国卷】已知函数 f(x) ax33 x21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围为( )A(2， ) B(，2)C(1，) D(，1)【答案】B【解析】法一 单调性法：利用函数的单调性求解由已知得， a0， f( x)3 ax26 x，令 f(x)0，得 x0 或 x a
9、.当 a0 时，x(，0 )，f(x)0；x（0， 2a） ，f(x)0.所以函数f(x)在(，0)和 2，上单调递增，在（0， ）上单调递减，且 f(0)10，故 f(x)有小于零的零8点，不符合题意当 a0；x(0，)，f(x)0，只需 f（ ）0，即 a24，解得 a0 时，如图(1)所示，不合题意；当 a0，则 1xxea ，要使 f(x)有唯一零点，则必有 21 ，即 2 .若 a0，则 f(x)的零点不唯一综上所述， 12 .三强化训练1 【2018 年新课标 I 卷理】已知函数 若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是A 1，0） B 0，+） C 1，+） D 1，+
10、）11【答案】C【解析】2.【安徽省肥东县高级中学 2019 届 8 月调研】已知函数 ，若函数有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】若函数 有两个零点，则函数 的图象与 有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数 的图象与 的图象如下：123.【黑龙江省 2018 年仿真模拟（十） 】已知函数 ，若关于 的方程有 8 个不等的实数根 ，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】绘制函数 的图象如图所示，令 ，由题意可知，方程 在区间 上有两个不同的实数根，令 ，由题意可知：，据此可得： .即 的取值范围是 .本题选择 D 选项. 134 【201
11、9 届同步单元双基双测 AB 卷】函数 的定义域为实数集 , ,对于任意的 都有 ,若在区间 函数 恰有三个不同的零点, 则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】，14由 KAC= ，K BC= ，结合图象得：m ，故选：5.【安徽省肥东县高级中学 2019 届 8 月调研】定义在 上的函数 ，满足 ，且当时， ，若函数 在 上有零点，则实数的 a 取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】因为当 时， ，所以 时， 所以 ，此时 ，故 所以 在 上的图象如图，要使函数 在 上有零点，只要直线 与 的图象有交点，由图象可 得， 所以使函数 在 上有零点，则实数 的取值
12、范围是 故选：B6.【安徽省皖中名校联盟 2019 届 10 月联考】设函数 若互不相等的实数 满足15则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案 】B【解析】不妨设 ， 的图像如图所示，7.【安徽省六安市舒城中学 2018 届仿真（三） 】函数 ，关于方程有三个不同实数解，则实数 的取值范围为( )A B C D 【答案】D【解析】当 时， ，即则 大致图象如图所示16设 ，当有一个根为 时， ，解得 ，此时另一个根为 ，满足条件根不是 时，则满足即综上所述，故实数 的取值范围为故选8.【四川省双流中学 2018 届一模】对于函数 和 ，设 ，若所有的，都有 ，则称 和 互为“零点相邻函数”. 与 互为“零点相邻函数” ，则实数 的取值范围是（ ）17A B C D 【答案】D【解析】9 【2018 年浙江卷】已知 R，函数 f(x)= ，当 =2 时，不等式 f(x)0 时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，当 x0 时，F(x)的最小值为 F(1)=1，当 x0 时，函数 F(x)的图象与 y=2 有 2 个交点，又函数 F(x)是偶函数，当 x0 时，函数 y=F(x)2 有 4 个零点所以正确综上可得正确
