1、1专题 04 巧妙构造函数应用导数证明不等式问题一方法综述利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧二解题策略类型一 “比较法”构造差函数证明不等式【例 1】 【2018 届广州模拟】已知函数 (xfea 为自然对数的底数， a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为1.(1)求 a的值及函数 fx的极值；(2)证明：
2、当 20.e 时 ， 【答案】见解析.【解析】(2)证明：令 22.xxgege ， 则 由(1)得 0ffln ，故 x在 R 上单调递增2所以当 2001.xxgxe 时 ， ， 即 【指点迷津】当题目中给出简单的基本初等函数，例如 3 fxglnx ， ，进而证明在某个取值范围内不等式fxg成立时，可以类比作差法，构造函数 hfxgfx 或 ，进而证明 00minmaxh或 即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具此外，在能够说明gxf的前提下，也可以类比作商法，构造函数 ()()fxfxhg =， 进而证明1minmaxh【举一反三】 【广东省佛山市南海区南海中学 2018 届考前七
3、校联合体高考冲刺】已知函数 ，() 设函数 ，讨论函数 的单调性；（）求证：当 时，【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】（）要证 ，即证 ，令 ， 当 时， ， 成立； 当 时， ， 3当 时， ；当 时， ， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ， ， ， ，即 成立，故原不等式成立类型二 “拆分法”构造两函数证明不等式【例 2】 【山东省青岛市 2019 届 9 月期初调研】已知函数 .(1)若 上存在极值，求实数 m 的取值范围；(2)求证：当 时， 【答案】 （1） ;（2）见解析【解析】（2）要证即证 令 ，则4再令 ，则当 时， ， 在 上是增函数， ， 在 上是增函
4、数当 时， 令 ，则当 时， ，即 在 上是减函数当 时，所以 ，即【指点迷津】当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离” “不知所措”的感觉这时可以将原不等式合理拆分为 fxg的形式，进而证明 maxinfg即可，此时注意配合使用导数工具在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准【举一反三】 【山东省实验中学 2019 届高三第一次诊断】已知函数 （ ） （1）若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围；（2）令 ，是否存在实数 ，当 （ 为自然对数的底数）时，函数 的最小值是
5、，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；（3）当 时，证明： 【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析.【解析】5分析：（1）根据函数在 上是减函数知其导数 在 上恒成立，结合二次函数性质可求得 的范围（2）先假设存在，对函数 求导，根据 的值分情况讨论 在 上的单调性和最小值取得，可知当 能够保证当 时 有最小值 3（3）令 由（2）知， ，令 可求出其最大值为 3，即有 ，化简即可得证.解：（1） 在 上恒成立，令 ，有 得 ，得 （2）假设存在实数 ，使 有最小值 3，当 时， 在 上单调递减， （舍去） ，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 ，满足条件当 时， 在 上单调递减
6、， （舍去） ，综上，存在实数 ，使得当 时 有最小值 3 类型三 “换元法”构造函数证明不等式【例 3】 【四川省成都石室中学 2019 届高三上学期入学】已知函数 ， ，其中（1）若 ，求 的单调区间；（2）若 的两根为 ，且 ，证明： .【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】6分析：(1) 由已知得 ， ,解不等式即可得到单调区间；（2）由题意可得 ，要证 ，即证：，即证： .解：（1）由已知得 ， 所以 ， 当 时， ；当 时， 故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 7【指点迷津】若两个变元 x1，x 2之间联系“亲密” ，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于
7、m(x1，x 2)的表达式(其中 m(x1，x 2)为 x1，x 2组合成的表达式)，进而使用换元令 m(x1，x 2)t，使所要证明的不等式转化为关于 t 的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元【举一反三】 【2018 届四川省资阳市 4 月模拟（三诊） 】已知函数 lnpFx（其中 0p） （1）当 12ep时，求 Fx零点的个数 k 的值；（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为 1,2i ，求证： 12ekxx 【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】8（2）由（1）知 Fx的两个零点为 12x， ，不妨设 12x，于是 1122ln0ln0ppF， ， 且 12
8、44pxp，两式相减得 2112lxx（*） ， 令 12()6xtt，则将 12xt代入（*）得 2lnptx，进而 1lnpt，所以 12 lln1ttpp，下面证明 lt，其中 16t，即证明 1ln2tt，设 21lnftt，则 ft，令 u 1lnt，则 220tut，9所以 ut为增函数，即 1lnftt为 ,6增函数，故 10ftf，故 2lnftt为 1,减函数，于是 2ln10fttf，即 2lntt所以有 1lnt，从而 12xp而由 1e，得 ep，所以 12ex，得证类型四 “转化法”构造函数证明不等式【例 4】 【内蒙古赤峰二中 2019 届第二次月考】设函数 有两个
9、极值点 ，且（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；（II）证明：【答案】 （）函数的单调递增区间为 和 ，单调递减区间 ，其中， 且 .（）证明见解析【解析】10（）由韦达定理和知， ，则 x 20， ，a=2x 2（1+x 2） ，于是 f（x 2）= 2x 2（1+x 2）ln（1+x 2） ，设函数 g（t）=t 22t（1+t）ln（1+t） ，则 g（t）=2（1+2t）ln（1+t） ，当 t= 时，g（t）=0，当 t（ ，0）时，g（t）0，故 g（t）在 ，0）上是增函数于是，当 t（ ，0） ，g（t）g（ ）= ，因此 f（x 2）=g（x 2） 【指点迷津】在关于 x
10、1，x 2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于 m(x1，x 2)的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的【举一反三】 【江西师范大学附属中学 2018 年 10 月高三月考】设 ，函数（1）若 无零点，求实数 的取值范围；（2）若 有两个相异零点 ，求证： 【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】(1)若 时，则 是区间 上的增函数， ，函数 在区间 有唯一零点；若 ，有唯一零点 ；若 ，令 ，得 ，在区间 上， ，函数 是增函数；在区间 故在区间 11三强化训练1.【山西省长治市第二中学 2017-2018 学年高二下期末】设函数 在点
11、处的切线方程为 .（1）求 的值，并求 的单调区间；（2）证明：当 时， .【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 ，由已知， ，故 a=-2,b=-2.，当 时， ，当 时， ，故 f(x)在 单调递减，在 单调递减； ，即 ，设 ，12，所以 g(x)在 递增，在 递减，当 x0 时， .2. 【2018 届高三第一次全国大联考】已知函数 有两个零点 （ ）.（1）求实数 的取值范围；（2）求证： .【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】作出直线 ，由图可知，实数 的取值范围为 .（2）由题意 ，即 ，所以 .故 ，即 ，整理得 ，即 ，不妨设 ，由题意得 .13则 ，所以 .所以
12、 ，故 记函数 （ ） ，则 ，因为 ，所以 ，所以函数 在 上单调递增，所以 .而 ，所以 ，故 ，即 3. 【2018 届吉林省长春市高三质量监测（三） 】已知函数 .（1）若 在 上是单调递增函数，求 的取值范围；（2）设 ，当 时，若 ，其中 ，求证： .【答案】(1) (2)见解析【解析】（2） ， 14设 ，则 ，在 上递增且令 ，设 ， 在 上递增， ， ， ，令即：又 ， 即：， ， 在 上递增，即： ，得证. 4 【2018 届山东省济南市高三一模】已知函数 2ln1fxaax R有两个不同的零点.（1）求 a的取值范围；（2）设 1x， 2是 fx的两个零点，证明： 12.
13、【答案】(1) , (2)见解析【解析】15当 0a时，令 0fx得： xa，则x, a,af+ 0 -fx增 极大 减（ii）当 1a时， max0fg， 2fe 21e， fx在区间 1,ae上有一个零点，16 31ln31faa 213a ln31aa，设 hx， ()x， 0hx， 在 ,上单调递减，则 2l0， 31310faha， x在区间 ,上有一个零点，那么， fx恰有两个零点.综上所述，当 f有两个不同零点时， a的取值范围是 1,.（1） 【解法二】函数的定义域为： 0,. 21fxa 2xa，当 a时，易得 f，则 f在 0,上单调递增，则 fx至多只有一个零点，不符合题
14、意，舍去. 当 0时，令 0fx得： xa，则x, a,af+ 0 -fx增 极大 减 maxff极 大 ln1fa.要使函数 有两个零点，则必有 l0fa，即 ln10a，设 ln1g， 10ga，则 g在 ,上单调递增，又 0， ；当 a时： 12fe 210e，17 fx在区间 1,ae上有一个零点；设 lnh， 1 xx， h在 0,1上单调递增，在 1,上单调递减， 0， lnx， 2lnfxaa 223axx 23ax，则 4， fx在区间 ,4上有一个零点，那么，此时 恰有两个零点.综上所述，当 fx有两个不同零点时， a的取值范围是 1,.（2） 【证法一】由（1）可知， f有
15、两个不同零点， ，且当 0,xa时， fx是增函数；当 ,xa时， x是减函数；不妨设： 12，则： 120ax；设 Fxff， ,，则： xx 12ax 21xa22aax.当 0,时， 0Fx， x单调递增，又 0Fa， x， 2ffa， 1,a， 11xx， 2fxf， 2ff， 2,， 1,xa， fx在 ,a上单调递减， 1xa， 2.18当 0,xa时， 0Fx， x单调递增，又 ， ， fafx， 1,x， 2ff 11fxfx 12fax， 2,xa， 1,a， 在 ,上单调递减， 1， 2x.5.【2018 届四川省攀枝花市高三第三次（4 月）统考】已知函数 21xfxn，
16、21,gxnxmnR.(I)若函数 ,fg在区间 01（ ， ） 上均单调且单调性相反,求实数 n的取值范围；()若 0ab,证明: 2abn【答案】 （） 2n；（）见解析【解析】19（）由（） 21lnxfx在 0,上单调递增，21lnfxfx即 l1x，令 0,1ab得 2l1abb， ln0a .ln2ba在（）中，令 ,2n由 gx在 0,上均单调递减得： 10gx所以 1lx，即 1ln2x，取 ,ab得ln2abba，即 lab，由 ln0得： .lnab综上： .ln26.【河北省衡水中学 2019 届高三上二调】已知函数 .(1)当 时，若 在 上恒成立，求 的取值范围；(2
17、)当 时，证明： .【答案】 （1） （2）见解析【解析】20（2）因为 ，所以 ， .令 ，则 .当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.所以 ，即当 时， ，所以 在 上单调递减.又因为所以当 时， 当 时，于是 对 恒成立. 7. 【四川省高 2019 届高三第一次诊断】已知函数 .（1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）设 ，证明： .【答案】 （1） ； （2）见解析.【解析】21（2）证明：因为 ，所以由于 ，等价于 ，令 ，设函数当 时， ，所以 ，所以 在 上是单调递增函数，又 ，所以 ，所以 ，即等价于 ，令 ，设函数 当 时， ，所以 ，所以 在 上是单调递减函数，
18、又 ，所以 所以 ，即综上可得： .228.【北京市第八十中学 2019 届 10 月月考】已知函数 .（1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）当 时，求证： .【答案】(1) ex4y+e=0;(2)证明见解析.【解析】（2）设 ，则 ， x（1，+）F（x）0F（x）在（1，+）上为增函数； 又因 ， 在（1，+）上为增函数； 在（1，+）都成立 设 ，由于=32（2e）0， 则 在（1，+）上为增函数，又 G（1）=0，若 x1 时，则 综上： 9 【河北省衡水中学 2019 届高三上二调】已知函数 .(1)若函数 在 上为增函数，求 的取值范围；(2)若函数 有两个不同的极值点，记作
19、，且 ，证明： .【答案】 （1） （2）见解析【解析】23（2）由题得， 则因为 有两个极值点 ，所以欲证 等价于证 ，即 ，所以因为 ，所以原不等式等价于 .由 可得 ，则 .由 可知，原不等式等价于 ，即设 ，则 ，则上式等价于 .令 ，则因为 ，所以 ，所以 在区间 上单调递增，所以当 时， ，即 ，所以原不等式成立，即 .10.【贵州省遵义航天高级中学 2018 届四模】已知函数 的两个零点为（1）求实数 m 的取值范围；24（2）求证： 【答案】 （1） （2）见解析【解析】（2）令 ，则 ，由题意知方程 有两个根，即方程 有两个根，不妨设 ， ，令 ，则当 时， 单调递增， 时， 单调递减，综上可知， ，要证 ，即证 ，即 ，即证 ，令 ，下面证 对任意的 恒成立，25 ， ，又 ， ，则 在 单调递增 ，故原不等式成立
