1、1八年级秋季班期末复习讲义二课 题: 一元二次方程教学目标 一元二次方程重点、难点考点及考试要求教学内容第一部分：一元二次方程解法：一、知识结构：一元二次方程 二、考点精析考点一、概念(1)定义： 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是 2，这样的 整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： )0(2acbxa难点： 如何理解 “未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0” ；未知数指数为“2” ；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A B 123x 021xC D 02cba变式：当
2、k 时，关于 x 的方程 是一元二次方程。322k例 2、方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 。13mx针对练习：1、方程 的一次项系数是 ，常数项是 。7822、若方程 是关于 x 的一元一次方程，01mx求 m 的值；写出关于 x 的一元一次方程。3、若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 。24、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）2A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用： 利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例 1、
3、已知 的值为 2，则 的值为 。32y142y例 2、关于 x 的一元二次方程 的一个根为 0，则 a 的值为 。axa例 3、已知关于 x 的一元二次方程 的系数满足 ，则此方程02cbbc必有一根为 。例 4、已知 是方程 的两个根， 是方程 的两个根，ba,42mx, 0582my则 m 的值为 。针对练习：1、已知方程 的一根是 2，则 k 为 ，另一根是 。012kx2、已知关于 x 的方程 的一个解与方程 的解相同。231x求 k 的值； 方程的另一个解。3、已知 m 是方程 的一个根，则代数式 。012x m24、已知 是 的根，则 。a3a625、方程 的一个根为（ ）2cxb
4、A B 1 C D 1cba6、若 。yxyx324,035考点三、解法方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点： 降次类型一、直接开方法： mxmx,02对于 ， 等形式均适用直接开方法ax2 22nb典型例题：例 1、解方程： =0; ;0822165x;09132x例 2、若 ，则 x 的值为 。22169xx3针对练习： 下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.123x02xx132092类型二、因式分解法 : 2121,x或 方程特点： 左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ， 方程形式： 如 ， ，22nbxmaxcxabxa02x典型例题：例 1、 的根为
5、（ ）35xA B C D 2 3,251x52x例 2、若 ，则 4x+y 的值为 。044yxyx变式 1： 。222,6baba变式 2：若 ，则 x+y 的值为 。3yx变式 3：若 ， ，则 x+y 的值为 。14282x例 3、方程 的解为（ ）062xA. B. C. D.21x321x321x21x例 4、解方程： 04x例 5、已知 ,则 的值为 。0232yyx变式：已知 ,且 ,则 的值为 。22x0yx针对练习：1、下列说法中：方程 的二根为 ， ，则02qpx1x2 )(21xqpx .)4(286 352aba4 )()(2 yxyx方程 可变形为0713( 0)7
6、13(x正确的有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、以 与 为根的一元二次方程是（）A B06x062xC D2yy3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、y 满足 ，则 x+y 的值为（ ）023yxA、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 25、方程： 的解是 。126、已知 ，且 ， ，求 的值。062yxx0yyx367、方程 的较大根为 r，方程 的较小根为11982 012807xs，则 s-r 的值为 。类型三、配方法 02acb
7、xa 224acbx在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例 1、 试用配方法说明 的值恒大于 0。32x例 2、 已知 x、y 为实数，求代数式 的最小值。7422yx例 3、 已知 为实数，求 的值。xyyx013642yx例 4、 分解因式： 2针对练习：1、试用配方法说明 的值恒小于 0。47102x52、已知 ，则 .0412xxx13、若 ，则 t 的最大值为 ，最小值为 。93t4、如果 ,那么 的值为 。4121bacba cba32类型四、公式法条件： 04,02且公式： ,acbx04,2acb且典型例题：例 1、选择适当方法解
8、下列方程： .632x.863x0142x 01432x52131xx例 2、在实数范围内分解因式：（1） ； （2） . 3x1842x2254yx说明：对于二次三项式 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，cba一般情况要用求根公式，这种方法首先令 =0，求出两根，再写成cbxa2= .cbxa2 )(21x分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值； 解二元二次方程组。典型例题：例 1、 已知 ，求代数式 的值。0232x123x例 2、如果 ，那么代数式 的值。12 7236例 3、已知 是一元二次方程 的一根，求 的值
9、。a0132x1523a例 4、用两种不同的方法解方程组)2(.0651,22yx说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式 acb42根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。x012xk例 2、关于 x 的方程 有实数根，则 m 的取值范围是( )mA. B. C. D.0m1例 3、已知关于 x 的方程 022kx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若
10、等腰 ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的周长。 例 4、已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 的值.2)6(92mxm例 5、 为何值时，方程组 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？m.3,62ymx针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式 是完全平方式。92kx72、当 取何值时，多项式 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？kkx24323、已知方程 有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .02mx4、 为何值时，方程组k.0124,2yxk（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解. 5、当 取何值时，
11、方程 的根与 均为有理数？k 042342 kmxx考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方程 0321mx有两个实数根，则 m 为 ,只有一个根，则 m 为 。 例 2、 不解方程，判断关于 x 的方程 根的情况。322kx例 3、如果关于 x 的方程 及方程 均有实数根，问这两方程022kx02kx是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小
12、组每人送他人一张照片，全组共送了 90 张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金 600 万元，第二年比第一年减少 ，第三年比第二年减少 ，该产品第一年收入资31218金约 400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利 ，要实现这一目标，该产31品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到 0.1， ）6.314、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针
13、对此回答：（1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A 、 B 两地间的路程为 36 千米.甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2 小时
14、30 分到达 B 地，乙再走 1 小时 36 分到达 A 地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提： 对于 而言，当满足 、 时，02cbxa0a才能用韦达定理。主要内容： 2121,应用： 整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角三0782x角形的斜边是（ ）A. B.3 C.6 D.36例 2、已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根 ，012xk 21,x（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次
15、项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1 。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？9例 4、已知 ， ， ，求 ba012a012bba变式：若 ， ，则 的值为 。2例 5、已知 是方程 的两个根，那么 .,2x34针对练习：1、解方程组 )2(51,32yx2已知 ， ，求 的值。472a47b)(aba3、已知 是方程 的两实数根，求 的值。21,x092x 637231xx第二部分：一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一
16、月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率.解 设这两个月的平均增长率是 x.，则根据题意，得 200(120%)(1+ x)2193.6，即(1+x) 21.21，解这个方程，得 x10.1，x 22.1（舍去） .答 这两个月的平均增长率是 10%.说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2n 求解，其中 mn.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式 m(1x) 2n 即可求解，其中 mn.二、商品定价例 2 益群精品店以每件 21 元
17、的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意，得(a21)(35010a)400，整理，得 a256a+7750，解这个方程，得 a125，a 231.因为 21(1+20%)25.2，所以 a2=31 不合题意，舍去.所以 35010a3501025100（件）.答 需要进货 100 件，每件商品应定价 25 元.10说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例 3 王红梅同学将 1000 元
18、压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解 设第一次存款时的年利率为 x.则根据题意，得1000(1+x) 500(1+0.9x)530.整理，得 90x2+145x30.解这个方程，得 x10.02042.04%，x 21.63.由于存款利率不能为负数，所以将 x21.63 舍去.答 第一次存款的年利率约是 2.04%.说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利
19、息税.四、趣味问题例 4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽 4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高 2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为 xm，那么渠底宽为( x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m .则根据题意，得 (x+0.1+x+1.4+0.1)x1.8，整理，得 x2+0.8x1.80.12解这个方程，得 x11.8（舍去） ，x 21.所以 x+1.4+0.11+1.4+0.1 2.5.答 渠道的上口宽
20、 2.5m，渠深 1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例 5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x3.则根据题意，得 x210( x3)+x，即 x2 11x+300，解这个方程，得 x5 或 x6.11当 x5 时，周瑜的年龄 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当 x6 时，周瑜年龄为 36 岁，完全符合题意.答
21、周瑜去世的年龄为 36 岁.说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例 6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0 分.如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是 1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解 设共有 n 个选手参加比赛，每个选手都要与(n1) 个选手比赛一局，共计 n(n1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为 n(n1) 局.由于每局共计 2
22、分，12所以全部选手得分总共为 n(n1) 分.显然(n1) 与 n 为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0，2，6，故总分不可能是 1979，1984，1985，因此总分只能是 1980，于是由 n(n1)1980，得 n2n19800，解得 n145，n 244（舍去）.答 参加比赛的选手共有 45 人.说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例 7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图 1 对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元.请问该单
23、位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解 设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游.因为 1000252500027000，所以员工人数一定超过 25 人.则根据题意，得100020(x 25)x27000.整理，得 x275x +13500，解这个方程，得 x145，x 230.当 x45 时，100020( x25)600700，故舍去 x1；当 x230 时，100020( x25)900700，符合题意.答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游.说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.图 1如果人数超过 25 人，每
24、增加 1人，人均旅游费用降低 20 元，但人均旅游费用不得低于 700 元.如果人数不超过 25 人，人均旅游费用为 1000 元.12八、等积变形例 8 将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到 0.1m）（1）设计方案 1（如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案 2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解 都能.（1）设小路宽为 x，则 18x+16xx 2 1815，即 x234
25、x+1800，3解这个方程，得 x ，即 x6.6.3462（2）设扇形半径为 r，则 3.14r2 1815，即 r257.32，所以 r7.6.3说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题例 9 如图 4 所示，在ABC 中，C90，AC 6cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 P、Q 同时出发，几秒钟后，可使 PCQ 的面积为 8 平方厘米？（2）点 P、Q 在移动过程中，是
26、否存在某一时刻，使得 PCQ 的面积等于ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.图 2QP CBA图 图 313解 因为C90 ，所以 AB 10（cm）.2ACB268（1）设 xs 后，可使PCQ 的面积为 8cm2，所以 APxcm，PC (6 x)cm，CQ2xcm.则根据题意，得 (6x)2 x8.整理，得 x26x+80，解这个方程，得 x12，x 24.12所以 P、Q 同时出发，2s 或 4s 后可使PCQ 的面积为 8cm2.（2）设点 P 出发 x 秒后，PCQ 的面积等于ABC 面积的一半.则根据题意，得 (6x)2 x 68.整理，得 x26x
27、+120.121由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ 的面积等于 ABC 面积一半的时刻.说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程速度时间.十、梯子问题例 10 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角 6m.（1）若梯子的顶端下滑 1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 8（m ）.206（1）若梯子顶端下滑 1m，则顶端距地面 7m.设梯子底端滑动 xm.则根据勾股定理，列方
28、程 72+(6+x)210 2，整理，得 x2+12x150，解这个方程，得 x11.14，x 213.14（舍去） ，所以梯子顶端下滑 1m，底端水平滑动约 1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动 1m 时，设梯子顶端向下滑动 xm.则根据勾股定理，列方程(8 x)2+(6+1)2100.整理，得 x216x+130.解这个方程，得 x10.86，x 215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动 1m，则顶端下滑约 0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动 xm 时，底端向外也滑动 xm.则根据勾股定理，列方程 (8x) 2+(6+x)210 2，整理，得 2x24x0，解这个方程，得 x
29、10（舍去） ，x 22.所以梯子顶端向下滑动 2m 时，底端向外也滑动 2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题14例 11 如图 5 所示，我海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？（2
30、）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到 0.1 海里）解（1）F 位于 D 的正南方向，则 DFBC .因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以 DF AB100 海12里，所以，小岛 D 与小岛 F 相距 100 海里.（2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DEx 海里， AB+BE2x 海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(3002x )海里.在 RtDEF 中，根据勾股定理可得方程 x2100 2+(3002x) 2，整理，得 3x21200x+1000000.解这个方程，得 x1200
31、118.4，x 2200+ （不合题意，舍去）.0631063所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例 12 如图 6 所示，正方形 ABCD 的边长为 12，划分成 1212 个小正方形格，将边长为 n（n 为整数，且 2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张 nn 的纸片正好盖住正方形 ABCD 左上角的 nn 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n1)( n1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸
32、片盖住正方形 ABCD 的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长 n 的取值不同， 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长 n 2 3 4 5 6使用的纸片张数（2）设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为 S1，未被盖住的面积为 S2.当 n2 时，求 S1S 2 的值；FEDCBA图 515是否存在使得 S1S 2 的 n 值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.（2）S 1n 2+(12n) n2( n 1)2n 2+25n12.当 n2 时，S 12 2+25
33、21234，S 2121234110.所以 S1S 2341101755.若 S1S 2，则有n 2+25n12 122，即 n225n+840，1解这个方程，得 n14，n 221（舍去）.所以当 n4 时，S 1S 2.所以这样的 n 值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例 13 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 .（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这
34、段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 ?（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为 xcm，则另一段为（20x）cm.则根据题意，得 + 17，解得 x116，x 24，24x20当 x16 时，20x 4，当 x4 时，20x16，答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm 和 16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 ycm，则另一段为（20y）cm.则由题意得 +24y12，整理，得 y220y+1040，移项并配方，得(y 10) 240，所以此方程无解，即不04y能剪成两段使得面积和为
35、 12cm2.说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的 b24ac 来判定.若 b24ac0，方程有两个实数根，若 b24ac 0，方程没有实数根，本题中的 b24ac160 即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例 14 如图 7，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC5，AD4，BC10.点 E在下底边 BC 上，点 F在腰 AB 上.图 616（1）若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设 BE 长为 x，试用含 x 的代数式表示BEF 的面积；（2）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存
36、在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 12 的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由.解（1）由已知条件得，梯形周长为 12，高 4，面积为 28.过点 F 作 FG BC 于 G，过点 A 作 AKBC 于 K.则可得，FG 4，125x所以 SBEF BEFG x2+ x（7x10）.45（2）存在.由（1）得 x2+ x14，解这个方程，得 x17，x 25（不合题意，舍去） ，所以存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长与面积同时平分，此时 BE7.（3）不存在.假设存在，显然有 SBEF S 多边形 AFECD 12，即(BE+BF) (AF+
37、AD+DC)12.则有 x2+ x ，5683整理，得 3x224x +700，此时的求根公式中的 b24ac5768400，所以不存在这样的实数 x.即不存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 12 的两部分.说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定 x 的取值范围；二是在求得 x25 时，并不属于7x10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例 15 在如图 8 中，每个正方形有边长为 1 的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 n（奇数）黑色小正方形个数 FEDCB
38、A图 7KG图 817正方形边长 2 4 6 8 n（偶数）黑色小正方形个数 （2）在边长为 n（n1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的个数为 P2，问是否存在偶数 n，使 P25P 1？若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、n 时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n1（奇数） ；正方形的边长为 2、4、6、8、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.（2）由（1）可知 n 为偶数时 P12n，所以 P2n 22n.根据题意，得 n22n52n，即n212n0，解得 n112，n
39、 20（不合题意，舍去）.所以存在偶数 n12，使得 P25P 1.说明 本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等。18
