1、 “华杯赛”官方网站 第十 六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C(初中组 ) “华杯赛 ”组委会办公室 咨询 电话： 4006500888 - 1 - 第十 六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决 赛试 题 C（ 初中 组） （ 时间 : 2011 年 4 月 16 日 10:00 11:30） 一、 填空题 （每小题 10 分 , 共 80 分） 1. 公交车 的 线路 号是由 数字显示 器显示的三位数 , 其中 每个数字是由 横竖放置的 七 支荧光管显示 , 如右图所示 .由于 其中三支应 该亮的荧光管不亮 了 , 某公交线路号显示成 了 “ 351” 路 , 则该公交线路号可能有
2、种 . 2. 算式： 兔兔兔兔兔兔吉祥如意兔年兔 中的汉字代表 0 9 的数字 , 相同的汉字代表相同的数字 , 不同的汉字可以代表不同或相同 的数字 , 吉祥如意 代表的所有可能的四位数的和是 . 3. 从 20012011这 11 个数中 , 选 3个数使他们的和能被 3整除 , 则不同的选数法共有 种 . 4. 在边长为 1 厘米的正方形 ABCD中 , 分别以 A、 B、 C、 D为圆心 , 1 厘米为半径画圆弧 , 交点 E、 F、 G、 H如图所示 . 则中间阴影六边形 BEFDGH的面积为 平方厘米 . 5. 一水池有三个流量相同的注排两用水管 , 开一个水管一个小时注排水 50
3、 立方米 . 假设开一个进水管注满半池水 , 同时开三个进水管注满 另一半池水； 排 水时 , 用三分之二时间开三个水管同时 排 水 , 再用三分之一时间只开一个水管排水 , 把池中水排尽 . 这样 排 完一池水所化时间比 前面 注满一池水少 用 2个小时 . 水池 的容积是 立方米 . 6. 有 个不同的整数 a, 使得 1730242 a aa 是正整数 7. 用 x 表示不大于 x 的最大整数 , xxx , 则 学校_ 姓名_参赛证号密封线内请勿答题总分 “华杯赛”官方网站 第十 六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C(初中组 ) “华杯赛 ”组委会办公室 咨询 电话： 400
4、6500888 - 2 - 20112010752011375201127520111752011)1(752011)2009(752011)2010(75的值等于 . “华杯赛”官方网站 第十 六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C(初中组 ) “华杯赛 ”组委会办公室 咨询 电话： 4006500888 - 3 - 8. 将自然数 122 分别填在下面的“”内（每个“”只能填一个数） , 在形成的11 个分数中 , 分数值为整数的最多能有 个 . 二、 解答下列各题 （ 每题 10 分，共 40 分 , 要求写出简要过程 ） 9. 下面两 串 单项式各有 2011 个单项式 : 2
5、 4 5 7 8 3 1 3 2 6028 6029 6031 6032nnx y , x y , x y , , x y , , x y , x y 10 05 810 05 710 05 310 05 2352513128732 , yxyxyxyxyxyx mm 其中 mn, 为非负整数 , 则这两 串 单项式中共有 多少 对同类项 ？ 10. 求所有满足方程组 13cab , 23bca 的正整数解 ),( cba . 11. 如图 , NM、 分别为四边形 ABCD 对角线 BDAC、 的中点 , 过 NM、 的直线分别交 ABCD、 于 FE、 . 如果三角形 ABE 的面积为 4
6、5, 求三角形 CDF 的面积 . 12. 一本书标有 2011 页 , 从第一页开始每 11 页就在 最后一页的页面加注一个红圈 , 直到末页 . 然后从末页开始向前 , 每 21 页也在 最前 一页加注一个红圈 , 直到第一页 . 问一共有多少页加注了两个红圈 , 并 写出 它们的页面号码 . 三、解答下列各题 （每小题 15 分 , 共 30 分 , 要求写出详细过程） 13. 设 pnm, 为非 零 自然数 , pnm , 且满足方程： 27)38)(38)(38( m n ppnm . 问p 的最大值等于多少？ 14. 已知 mxx 1 , 是否存在整数 m 使得44 1xx 为完全
7、平方数？如果存在 , 求出整数 m ；若不存在 , 请说明理由 . “华杯赛”官方网站 第十六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C 参考答案（ 初中 组） “华杯赛 ”组委会办公室 咨询 电话： 4006500888 第十六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C 参考答案 （初中 组） 一、 填空题 (每小题 10 分，共 80 分 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 11 25721 57 12 420 6 2010 10 二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分 , 要求写出简要过程 ) 9. 答案： 402. 理由： 依照同类项之定义， 若 3 1 5 2n
8、m ， 自然会有 3 2 5 3nm ， 则 3 1 3 2nnxy和 5 1 5 2mmxy是同类单项式 .即需要解二元整数方程： 3 1 5 2nm ， 或 3 5 1nm， 则应当有解 : 5 2 3 1n k ,m k , 并且 5 2 2 0 1 0 0 4 0 1k , k . 10. 答案： 3组（ 1,2,11）（ 2,3,7）（ 1,11,2） 解析：两式相加得 ab+bc+a+c=36，即（ a+c） (b+1)=36 两式相减得 bc-ab-c+a=10，即（ c-a） (b-1)=10 于是有 36|)1( b ， 10|)1( b . 又 由 ab=13-c 可知 ，
9、所以 . 经检验， b=2 或 3 或 11. 当 b=2 时，代入方程组得 ，解出 ，即（ 1,2,11）符合解。 当 b=3 时，代入方程组得 ，解出 ，即（ 2,3,7）符合解。 当 b=11 时，代入方程组得 ，解出 ，即（ 1,11,2）符合解。 “华杯赛”官方网站 第十六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C 参考答案（ 初中 组） “华杯赛 ”组委会办公室 咨询 电话： 4006500888 11. 答案： 45 解：因为 M 是 AC 的中点，所以 EFCA 到与 的距离相等，因此 CEFAEF SS 。 同理： DEFBEF SS 。 两式相加可得 CDFABE SS 。
10、 三角形 CDF 的面积为 45。 12. 答案： 9 解：第一次从前向后加注红圈时，设加红圈的页面号码为 m，则 1 1 1 , 1 , 2 , 3 , 2 0 1 1m k k m （ 1） 由 1 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 1 1 1 8 2 9k ， 1 182k 第二次从后向前加注红圈时，由 2011 21 95 16 ，可知这时加红圈的页面号码 m 就是从第 16 页开始向后每隔 20 页加注红圈的页面号码，除了第 16页和最末的一页（第 2011 页）是例外，于是第二次加注红圈的页面号码就是 16 21 , 0 , 1 , 2 , , 94m k k （ 2） 结合
11、（ 1）和（ 2）于是得到 1 1 1 1 6 2 1 1 1 ( ) 1 0 1 5 4m k k k k k k 于是 16 21 4 100m 是两圈重合的页面号码之最小者，注意到 11 和 21的最大公约数 11,21 231 ，因此，两圈重合的页面号码一般是 100 231mk ， 由 1 0 0 2 3 1 2 0 1 1 0 8kk 。 所以，两圈重合的页面有 9 页。 三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程 ) 13. 答案： 4 解：由原方程，我们有 1)8-3)8-3)8-3)8-3 3 pnmp （所以， 4,1)8-3 pp（若 4p ，则
12、 “华杯赛”官方网站 第十六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C 参考答案（ 初中 组） “华杯赛 ”组委会办公室 咨询 电话： 4006500888 4),83)(83()83)(83)(83(1 nmnmpnm 上式只有 4nm 时成立。 所以， p的最大值是 4。 14. 答案：不存在 解：若存在整数 m 使得44 1xx为完全平方数，则设存在正整数 n 使得， 244 1 nxx . 因为 mxx 1 ，所以 21 222 mxx. 所以 2)2(1 2244 mxx. 所以 222 2)2( nm . 即 2)2)(2( 22 nmnm . 因为 nm 22 与 nm 22 的奇偶性相同，且 2 是偶数，所以 nm 22 与nm 22 都是偶数 . 因为 )(2( 22 nmnm 是 4 的倍数，但是 2 不是 4 的倍 数，矛盾！ 所以不存在整数 m 使得44 1xx为完全平方数 .
