1、2015-2016 学年上海市黄浦区八年级（上）期中数学试卷一、选择题1下列二次根式中，最简二次根式是( )A B C D2 的一个有理化因式是( )A B C + D 3下列方程是一元二次方程的是( )Aax 22x+=0（a 是已知数） B3x 2+2x4=3x2C5x 22x=0 D =14下列二次根式中与 是同类二次根式的是( )A B C D5下列语句中哪个是命题( )A联结 A、B 两点 B等角的余角相等吗？C对顶角相等 D代数式 （a0 ）叫二次根式6如图，已知 AB=AC，AD=BD=BC，那么下列结论中，错误的是 ( )ABAC=36BBD 平分ABCC若取 BC 边上的中点
2、 M，联结 AM 交 BD 于 N，那么 MNB=54D点 N 是 BD 的中点二、填空题（每小题 2 分，共 24 分）7计算： =_8如果 有意义，那么 a 的取值范围是_9化简： （b0）= _10某种商品原价 100 元，经过两次降价后，该种商品的利润减少了 36 元，那么该商品平均每次降价的百分比是_11将命题“同角的补角相等”改写成“ 如果那么”形式为_12若 x=1 是方程 x2mx3=0 的一个根，则 m 的值为_13在实数范围内因式分解：x 24x3=_14若|b 1|与 互为相反数，则（ a+b） 2015=_15如图，已知点 D，E 是 BC 上的三等分点，ADE 是等边
3、三角形，那么BAC 的度数为_16将一副直角三角板如图放置，使含 30角的三角板的短直角边和含 45角的三角板的一条直角边重合，则1 的度数为 _度17如图，ABAC ，AB=AC= cm，D 为 AC 中点，CFAB，AF BD，垂足为 E则CF=_cm18已知等腰ABC，AB=AC ，C=30 ，如果将 ABC 绕着点 B 旋转，使点 C 正好落在直线 AB 上的点 C处，那么BCC=_度三、简答题（每小题 7 分，共 56 分）19计算： 20解方程：（x+3） （x 1）5=021解方程：y = 22用配方法解方程：2x 24x+1=023化简求值：当 x=3，y=4 时，求代数式 +
4、 的值24已知关于 x 的一元二次方程（m 1）x 2（2m1）x+m+1=0（m 为常数）有两个实数根，求 m 的取值范围25如图，要建一个面积为 150的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为 18m，另三边用篱笆围成若篱笆长度为 35m，且要求用完问：（1）求鸡场的长和宽各为多少米？（2）若将题中条件“墙长为 18 米”换为“ 墙长为 a 米”，且增加条件“离墙 9m 开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长 a 米至少要多少米？26如图，在ABC 中，CD AB 于 D，BE AC 于 E，且 AB=CG，AC=BF（1）求证：ABFGCA；（2）求证：
5、AGAF 四、解答题27如图所示，已知ABC 中，AB=AC=10 厘米，BC=8 厘米，点 D 为 AB 的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 1 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时点 Q 在线段 CA上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 3 秒后，BPD 与 CQP 是否全等？请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与 CQP 全等？（2）若点 Q 以（1）中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，求经过多长时间
6、点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？2015-2016 学年上海市黄浦区八年级（上）期中数学试卷一、选择题1下列二次根式中，最简二次根式是( )A B C D【考点】最简二次根式 【专题】计算题；二次根式【分析】利用最简二次根式的定义判断即可【解答】解：A、 是最简二次根式，正确；B、 =2 ，错误；C、 =|a|b2，错误；D、 = ，错误，故选 A【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键2 的一个有理化因式是( )A B C + D 【考点】分母有理化 【专题】计算题；二次根式【分析】找出原式的一个有理化因式即可【解答】解： 的一个有理化因式
7、是 ，故选 B【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键3下列方程是一元二次方程的是( )Aax 22x+=0（a 是已知数） B3x 2+2x4=3x2C5x 22x=0 D =1【考点】一元二次方程的定义 【专题】计算题；一元二次方程及应用【分析】利用一元二次方程的定义判断即可【解答】解：5x 22x=0 是一元二次方程，故选 C【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键4下列二次根式中与 是同类二次根式的是( )A B C D【考点】同类二次根式 【专题】计算题【分析】根据化简成最简二次根式，被开方数相同的二次根式是同类二次根
8、式，可得答案【解答】解： ，A、 ，故 A 不正确；B、被开方数不同，故 B 不正确；C、 ，故 C 正确；D、 ，故 D 不正确；故选：C【点评】本题考查了同类二次根式，先化成最简二次根式，再比较被开方数5下列语句中哪个是命题( )A联结 A、B 两点 B等角的余角相等吗？C对顶角相等 D代数式 （a0 ）叫二次根式【考点】命题与定理 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题根据命题的定义进行判断【解答】解：A、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；B、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；C、是，因为能够判断真假，故本选项正确；D、代数式 （a0 ）叫二次根式，是定义，不是命题，故本选
9、项错误故选 C【点评】本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句是命题，一般有“是”， “不是”等判断词，比较简单6如图，已知 AB=AC，AD=BD=BC，那么下列结论中，错误的是 ( )ABAC=36BBD 平分ABCC若取 BC 边上的中点 M，联结 AM 交 BD 于 N，那么 MNB=54D点 N 是 BD 的中点【考点】等腰三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质得到ABC=C= BDC，BAC=ABD ，由三角形的外角的性质得到BDC=BAC+ABD=2 BAC，推出ABC= C=2BAC，根据三角形的内角和列方程即可得到BAC=36，故 A 正确；由ABD=BAC=36，
10、ABC= =72，即可得到 BD 平分 ABC，故 B 正确；根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到BNM=54 ，故 C 正确；根据三角形的中位线的性质即可判断 D 错误，【解答】解：AB=AC，AD=BD=BC，ABC=C=BDC，BAC=ABD，BDC=BAC+ABD=2BAC，ABC=C=2BAC，BAC+ACB+ABC=BAC+2BAC+2BAC=180，BAC=36，故 A 正确；ABD=BAC=36，ABC= =72，ABC=2ABD，BD 平分ABC，故 B 正确；AB=AC，BM=CM ，AMBC，AMB=90，DBC=36，BNM=54，故 C 正确；AM 不平行于
11、 AC，BM=CM，BNDN，D 错误，故选 D【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键二、填空题（每小题 2 分，共 24 分）7计算： = 【考点】二次根式的加减法 【专题】计算题；二次根式【分析】原式各项化简后，合并即可得到结果【解答】解：原式=4 3 = ，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键8如果 有意义，那么 a 的取值范围是 a 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可【解答】解：由题意得，2a10，解得，a ，故答案为：a
12、 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键9化简： （b0）= 【考点】二次根式的性质与化简 【专题】计算题；二次根式【分析】原式利用二次根式性质化简即可得到结果【解答】解：原式= ，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键10某种商品原价 100 元，经过两次降价后，该种商品的利润减少了 36 元，那么该商品平均每次降价的百分比是 20%【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题【分析】设每次降价的百分比为 x，第一次降价后价格变为 100（1x） ，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为 100（x1
13、） （x 1） ，从而列出方程，求出答案【解答】解：设每次降价的百分比为 x，根据题意得：100（x1） 2=10036，解得：x 1=1.8，x 2=0.2因 x=1.8 不合题意，故舍去，所以 x=0.1答：该商品平均每次降价的百分比是 20%故答案为：20%【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍11将命题“同角的补角相等”改写成“ 如果那么”形式为如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等【考点】命题与定理 【分析】 “同角的补角相等” 的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等据此即可写成所要求的形
14、式【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等则将命题“同角的补角相等” 改写成“ 如果那么”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果那么”的形式的关键12若 x=1 是方程 x2mx3=0 的一个根，则 m 的值为 2【考点】一元二次方程的解 【分析】把 x=1 代入已知方程可以得到关于 m 的一元一次方程，通过解一元一次方程来求m 的值【解答】解：把 x=1 代入方程 x2mx3=0，得（1 ） 2（1）m3=0
15、，解得 m=2故答案是：2【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立13在实数范围内因式分解：x 24x3=（x 2+ ） （x 2 ） 【考点】实数范围内分解因式 【专题】计算题【分析】令原式值为 0 列出方程，求出方程的解即可得到分解的结果【解答】解：令 x24x3=0，解得：x= =2 ，则原式=（x 2+ ） （x2 ） ，故答案为：（x2+ ） （x 2 ） 【点评】此题考查了实数范围内分解因式，令原式值为 0 求出 x 的值是解本题的关键14若|b 1|与 互为相反数，则（
16、 a+b） 2015=1【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值 【分析】根据非负数的性质列出算式，求出 a、b 的值，根据乘方的意义计算即可【解答】解：由题意得，b1=0，a+2=0，解得，a= 2，b=1，（a+b） 2015=1，故答案为：1【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0是解题的关键15如图，已知点 D，E 是 BC 上的三等分点，ADE 是等边三角形，那么BAC 的度数为 120【考点】等边三角形的性质 【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出B=BAD= C=EAC=30，进而利用三角形内角和定理求出即可
17、【解答】解：E 是 BC 的三等分点，且 ADE 是等边三角形，BD=DE=EC=AD=AE，ADE=AED=60 ，B=BAD=C=EAC=30，BAC=180BC=120故答案为：120【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质等知识，得出B=C 的度数是解题关键16将一副直角三角板如图放置，使含 30角的三角板的短直角边和含 45角的三角板的一条直角边重合，则1 的度数为 75 度【考点】三角形内角和定理；平行线的性质 【专题】计算题【分析】根据三角形三内角之和等于 180求解【解答】解：如图3=60， 4=45，1=5=18034=75故答案为：75【点评】考查三角形内角
18、之和等于 18017如图，ABAC ，AB=AC= cm，D 为 AC 中点，CFAB，AF BD，垂足为 E则CF= cm【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】求出BAD=ACF=90，根据三角形内角和定理求出 BAD=CAF，根据 ASA 推出ABDCDF，根据全等三角形的性质得出 AD=CF 即可【解答】解：AB AC，CFAB，CFAC，BAD=ACF=90，AFBD，AEB=AED=90，ABD+ADB=CAF+ADB=90，BAD=CAF，在ABD 和 CAF 中，ABDCDF（ASA） ，AD=CF，AC= cm，D 为 AC 中点，AD= AC= ，CF= ，
19、故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能推出ABDCDF 是解此题的关键，注意： 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS ，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等18已知等腰ABC，AB=AC ，C=30 ，如果将 ABC 绕着点 B 旋转，使点 C 正好落在直线 AB 上的点 C处，那么BCC=15 或 75 度【考点】旋转的性质 【分析】分成顺指针和逆时针两种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形内角和定理求解【解答】解：当顺时针旋转时，C 落在 C1 的位置，B1C=BC，BC1C=BCC1，又ABC=BC
20、 1C+BCC1=30，BC1C=15；当逆时针旋转时，C 落在 C2 的位置，BC2=BC，则BC 2C=BCC2= = =75故答案是：15 或 75【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，注意到分两种情况进行讨论是本题的关键三、简答题（每小题 7 分，共 56 分）19计算： 【考点】二次根式的加减法 【分析】分母有理化的同时，运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并【解答】解：原式=2（ +1）+3 2=2 +2+3 2=2+3 【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式合并同类二次根式的实质是合并同
21、类二次根式的系数，根指数与被开方数不变20解方程：（x+3） （x 1）5=0【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：整理得：x 2+2x8=0，（x+4） （x 2）=0，x+4=0， x2=0，x1=4， x2=2，所以原方程的根是 x1=4，x 2=2【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键21解方程：y = 【考点】解一元二次方程-公式法 【分析】先去分母，整理后求出 b24ac 的值，再代入公式求出即可【解答】解 y = ，去分母，得 6y3（y 21）=2，整理
22、，得 3y26y5=0，b24ac=（ 6） 243（5）=96，y= ，y1= ，y 2= 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键22用配方法解方程：2x 24x+1=0【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】配方法【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数【解答】解：原方程化为配方得即开方得 ， 【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1
23、，一次项的系数是 2 的倍数23化简求值：当 x=3，y=4 时，求代数式 + 的值【考点】二次根式的化简求值 【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可【解答】解：原式= += +3 + +=2 +4 ，当 x=3，y=4 时，原式=2 +4 =2 +8【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键24已知关于 x 的一元二次方程（m 1）x 2（2m1）x+m+1=0（m 为常数）有两个实数根，求 m 的取值范围【考点】根的判别式 【分析】根据一元二次
24、方程有两个实数根可知，0，列出关于 m 的不等式，解答即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程（m 1）x 2（2m 1）x+m+1=0 有两个实数根，=b24ac=（ 2m1） 24（m1） （m+1 ）= 4m+50，又 （m 1）x 2（2m1）x+m+1=0 是一元二次方程，（ m1）0，故 m 的取值范围是 m 且 m1【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是要明确：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根25如图，要建一个面积为 150的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为 18m，另三边用篱
25、笆围成若篱笆长度为 35m，且要求用完问：（1）求鸡场的长和宽各为多少米？（2）若将题中条件“墙长为 18 米”换为“ 墙长为 a 米”，且增加条件“离墙 9m 开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长 a 米至少要多少米？【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题【分析】 （1）设鸡场的宽为 x 米，平行于墙的边长为 352x 米，根据面积为 150 平方米，可列方程求解（2）如果离墙 9 米开外准备修路，那么宽就要小于 9 米，可选定墙长为 9 米，由此进一步分析得出答案即可【解答】解：（1）设养鸡场靠墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为（352x）米，由题意得：（352x
26、）x=150，即（2x15） （x 10）=0，解得：x=7.5 或 x=10，当 x=10 时，35 2x=1518，符合实际意义；当 x=7.5 时，35 2x=2018，不符合实际意义，舍去答：养鸡场的长是 15 米，宽是 10 米；（2） ）求出的平行于墙的一条边应小于墙长 a；如果 a 大于等于 20，则方程有两个解，如果 a 小于 20，大于等于 15，则有一个解，如果a 小于 15，则无解根据离墙 9 米开外准备修路，那么长不小于 20 米，即 a20 米，此时养鸡场的长至少为 20 米，宽为 7.5 米【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，利用长方形的面积得出等量关系建立方程
27、解决问题26如图，在ABC 中，CD AB 于 D，BE AC 于 E，且 AB=CG，AC=BF（1）求证：ABFGCA；（2）求证：AGAF 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题【分析】 （1）根据垂直定义得出BDC=GEC=90，根据等角的余角相等求出ABF=ACG，根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据全等三角形的性质得出F=GAC，求出GAC+FAE=90，即可得出答案【解答】证明：（1）CD AB，BE AC，BDC=GEC=90，DGB=EGC，ABF=ACG（等角的余角相等） ，在ABF 和 GCA 中，ABFGCA；（2）由（1）ABFGCA ，F=GAC，BEA
28、C，AEB=F+FAE=90，GAC+FAE=90，AGAF【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，能求出ABF GCA 是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS， ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等四、解答题27如图所示，已知ABC 中，AB=AC=10 厘米，BC=8 厘米，点 D 为 AB 的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 1 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时点 Q 在线段 CA上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 3 秒后，BPD 与 CQP 是否全等？请说明理由；若点
29、 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与 CQP 全等？（2）若点 Q 以（1）中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】动点型【分析】 （1）先求得 BP=CQ=3，PC=BD=5，然后根据等边对等角求得B=C，最后根据 SAS 即可证明；因为 VPVQ，所以 BPCQ，又B=C，要使 BPD 与CQP 全等，只能 BP=CP=4，根据全等得出 CQ=BD=5，然后根据运动速度求得
30、运动时间，根据时间和 CQ 的长即可求得Q 的运动速度；（2）因为 VQV P，只能是点 Q 追上点 P，即点 Q 比点 P 多走 AB+AC 的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得【解答】解：（1）t=3（秒） ，BP=CQ=3（厘米）AB=10，D 为 AB 中点，BD=5（厘米）又 PC=BCBP=83=5（厘米）PC=BDAB=AC，B=C，在BPD 与 CQP 中，BPDCQP（SAS ） ，VPVQ，BPCQ，又B=C ，要使BPD CPQ，只能 BP=CP=4，BPDCPQ，CQ=BD=5点 P 的运动时间 t= =4（秒） ，此时 VQ= =1.25（厘米/秒） （2）因为 VQV P，只能是点 Q 追上点 P，即点 Q 比点 P 多走 AB+AC 的路程设经过 x 秒后 P 与 Q 第一次相遇，依题意得 1.25x=x+210，解得 x=80（秒） ，此时 P 运动了 801=80（厘米） ，又ABC 的周长为 28 厘米，80=282+24，点 P、Q 在 AB 边上相遇，即经过了 80 秒，点 P 与点 Q 第一次在 AB 边上相遇【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质
