1、1圆锥曲线题型归类解析1.(2016 新课标全国卷 I，理 5)已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离1322nmyx为 ，则 取值范围是4n（A） （B） （C） （D）)3,1(),1(),0()3,0(【解析】： 表示双曲线，则 ， 22xymn223n22mn由双曲线性质知： ，其中 是半焦距，焦距 ，解得2234cmc 4c1 ， 故选 A3n2.(2016 新课标全国卷 I，理 10)以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 两点，交 的准线于 两点，CCBA,CED,已知 , ，则 的焦点到准线的距离为24B5DE（A）2 （B） 4 （C）6 （D）8【解析】：以开口向右的抛物
2、线为例来解答，其他开口同理,设抛物线为 ，设圆的方程为2ypx0，如图： 设 ， ，点 在抛物线22xyr0,2Ax,52p0,Ax上， ；点 在圆 上，p8p,D22yr ；点 在圆 上，25r0,2x22xyr ；联立解得： ，2208x 4p焦点到准线的距离为 故选 B4p3.(2015 新课标全国卷 I，理 5)已知 M（ ）是双曲线 C： 上的一点， 是 C 上的两0,xy21xy12,F个焦点，若 ，则 的取值范围是( )12F（A）（- ， ） （B）（ - ， ）（C）（ ， ）（D）（ ， ）3362334.（2015 新课标全国卷 II，理 11）已知 A，B 为双曲线 E
3、 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为（ ）2A B C D5232【解析】设双曲线方程为 ，如图所示， ， ，过点21(0,)xyabABM012作 轴，垂足为 ，在 中， ， ，故点 的坐标为MNxNRtBMNa3a，代入双曲线方程得 ，即 ，所以 ，故选 D(2,3)a22abc22e5. (2014 新课标全国卷 I，理 5)已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的FC(0)xmyFC一条渐近线的距离为 . .3 . .A3B33m6. (2014 新课标全国卷 I，理 10)已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点
4、， 是直28yxFlPlQ线 与 的一个焦点，若 ，则 =PFC4FPQ|F. . .3 .2A72B52CD7（2013新课标高考理）已知双曲线 C： 1(a0，b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程x2a2 y2b2 52为 ( )Ay x By x Cy x Dyx14 13 12【解析】因为双曲线 1 的焦点在 x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为 y x.又离心率为 e x2a2 y2b2 ba ca ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 y x，选择 C.a2 b2a 1 (ba)2 52 ba 12 128（2013新课标高考理）已知椭圆 E： 1(ab0)的右焦点为 F(3,0)
5、，过点 F 的直线交 E 于x2a2 y2b2A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为 ( )A. 1 B. 1 C. 1 D. 1x245 y236 x236 y227 x227 y218 x218 y29【解析】因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1) ，所以直线 AB 的方程为 y (x3)，代入椭圆方程12 1 消去 y，得 x2 a2x a2a 2b20，所以 AB 的中点的横坐标为 1，即x2a2 y2b2 (a24 b2) 32 9432a22(a24 b2)a22b 2，又 a2b 2c 2，所以 bc3，选择 D.9（2013新课标高考理）设抛物
6、线 C：y 22px( p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5.若以 MF 为3直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为 ( )Ay 24x 或 y28x By 22x 或 y28xCy 2 4x 或 y216x Dy 22x 或 y216x【解析】由已知得抛物线的焦点 F ，设点 A(0,2)，抛物线上点 M(x0，y 0)，则 AF ，AM (p2，0) (p2， 2).由已知得，AF AM0，即 y 8y 0160，因而 y04，M .由|MF| 5 得， (y202p，y0 2) 20 (8p，4) 5，又 p0，解得 p2 或 p8，故选 C.(8p p2)2 1610.
7、（2013新课标高考理）已知点 A(1,0) ，B(1,0)，C(0,1)，直线 yaxb( a0)将ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是 ( )A(0,1) B. C. D.(1 22，12) (1 22，13 13，12)【解析】由Error!消去 x，得 y ，当 a0 时，直线 yax b 与 x 轴交于点 ，结合图形知 a ba 1 ( ba，0) 12 ，化简得( ab) 2a(a1)，则 a .a0， 0，解得 b .a ba 1 (1 ba) 12 b21 2b b21 2b 12考虑极限位置，即 a0，此时易得 b1 ，故答案为 B.2211（2012新课标高
8、考理）设 F1，F 2 是椭圆 E： 1(ab0) 的左、右焦点，P 为直线 x 上x2a2 y2b2 3a2一点，F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为 ( )A. B. C. D.12 23 34 45【解析】选 C 由题意可得| PF2| F1F2|，所以 2( ac)2c，所以 3a4c ，所以 e .32 3412（2012新课标高考理）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y216x 的准线交于 A，B 两点，|AB|4 ，则 C 的实轴长为 ( )3A. B2 C4 D82 2【解析】选 C 抛物线 y216x 的准线方程是 x4，所
9、以点 A(4，2 )在等轴双曲线 C：3x2y 2a 2(a0)上，将点 A 的坐标代入得 a2，所以 C 的实轴长为 4.13（2011新课标高考）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为 ( )A. B. C2 D32 3【解析】选 B 设双曲线 C 的方程为 1，焦点 F(c, 0)，将 xc 代入 1 可得 y2 ，x2a2 y2b2 x2a2 y2b2 b4a24543211234y12108642 24xQPNMAB222223641|1|13MNmmNmy54321123
10、4y1412108642 24xEDABC所以|AB|2 22a.b 22a 2.c2a 2b 23a 2，e .b2a ca 314.（2015 新课标全国卷 I，理 14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，2164xy则该圆的标准方程为 .【解析】设圆心为（ ，0），则半径为 ，则 ，解得 ，故圆的方程为a4a22()a3a.235()4xy15（2011新课标高考）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF 2 的周长为 16，那么 C 的方程为_22【
11、解析】根据椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为 1(ab0)，e ， .根据ABF 2 的x2a2 y2b2 22 ca 22周长为 16 得 4a16，因此 a4，b2 ，所以椭圆方程为 1.2x216 y2816（2016新课标高考）（本小题满分 12 分）设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于 两点，0152xyAl)0,(BxlADC,过 作 的平行线交 于点 BACDE（）证明 为定值，并写出点 的轨迹方程；B（）设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于1Cl1NM,l两点，求四边形 面积的取值范围QP,MPNQ【解析】： 圆 A 整
12、理为 ，A 坐标 ，如图，26xy,，则 ，由 ，BEC EBD ,CDC则 则 ，D ， 4|EAB根据椭圆定义为一个椭圆，方程为 ，( )；2xy ；设 ，因为 ，设 ，21:43xC:lxyPQl :yx联立 ： ， 则1l与 椭 圆 243x290y圆心 到 距离 ，APQ2|1|dm5所以 ，222434| 161mPQAd 22221 1| 41,83333MPN mS 17（2015 新课标全国卷 I，理 20）(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y 与直线24xl：ykxa(a0)交于 M，N 两点(1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切
13、线方程；(2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由（）由题设可得 ， ，或 ， . ，故(2,)a(2,)a(2,)a(2,)Na12yx在 = 处的到数值为 ，C 在 处的切线方程为 ，即24xy , ()a.故 在 =- 处的到数值为- ，C 在 处的切线方程为0a24xyaa(2,)a，即 . 故所求切线方程为 或 . ()ya0y0xy0axy（）存在符合题意的点，证明如下： 设 P（0，b）为复合题意得点， ， ，直线1(,)M2(,)NPM， PN 的斜率分别为 . 将 代入 C 得方程整理得 . 12,kkxa24k . = = .1224,xx
14、a1212yx1122()abx()kab当 时，有 =0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，ba1k故OPM=OPN，所以 符合题意. (0,)P18. （2014 新课标全国卷 I，理 20） (本小题满分 12 分) 已知点 （0，-2），椭圆 ：AE的离心率为 ， 是椭圆的焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.21()xyab32FF23O（I）求 的方程；E（）设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程.AlE,PQOPl19. (2014新课标全国卷高考理科数学T20)(本小题满分 12 分) 设 F1,F2分别是椭圆2xa+ yb=10ab的左
15、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直, 直线 MF1与 C 的另一个交点为 N.6(1)若直线 MN 的斜率为 34,求 C 的离心率.(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN=5 1F,求 a,b.【解析】(1)因为由题知, 12F= 34,所以2b c= 34,且 a2=b2+c2.联立整理得:2e 2+3e-2=0,解得 e= 12.所以 C 的离心率为 .(2)由三角形中位线知识可知,MF 2=22,即2ba=4.设 F1N=m,由题可知 MF1=4m.由两直角三角形相似,可得M,N 两点横坐标分别为 c,- 3c.由焦半径公式可得: MF1=a+ec,NF
16、1=a+e 32c,且MF1NF 1=4 1,e= ,a2=b2+c2.联立解得 a=7,b=2 7.所以,a=7,b=2 7.20（2013新课标高考理）已知圆 M：( x1) 2y 21，圆 N：(x1) 2y 29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|. 解：由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0) ，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y )，半径为 R.(1)因
17、为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM| |PN|(Rr 1)(r 2R)r 1r 24.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外) ，3其方程为 1(x 2)x24 y23(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM |PN|2R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x2) 2y 24.若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|2 .3若 l 的倾斜角不为 90，由 r1R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交
18、点为 Q，则 ，可求得|QP|QM| Rr1Q(4,0)，所以可设 l：y k (x4) ，由 l 与圆 M 相切得 1，解得 k .当 k 时，y x|3k|1 k2 24 24 24代入 1，并整理得 7x28x80，解得 x1,2 .所以|AB| |x2x 1| .当 k2x24 y23 4627 1 k2 1877时，由图形的对称性可知|AB| .综上，| AB|2 或|AB| .24 187 3 18721（2013新课标高考理）平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： 1 (ab0)右焦点的直线x2a2 y2b2xy 0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的
19、斜率为 .312(1)求 M 的方程；(2)C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值解： (1)设 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)，P(x 0，y 0)，则 1， 1， 1，x21a2 y21b2 x2a2 y2b2 y2 y1x2 x1由此可得 1.因为 x1x 22x 0，y 1y 22y 0， ，所以 a22b 2.b2x2 x1a2y2 y1 y2 y1x2 x1 y0x0 12又由题意知，M 的右焦点为( ，0) ，故 a2b 23.因此 a26，b 23.所以 M 的方程为 1.3x26 y23(2)由Error!
20、解得Error!或Error!因此| AB| .463由题意可设直线 CD 的方程为 yxn ，设 C(x3，y 3)，D(x 4，y 4)( 533 n 3)由Error! 得 3x24nx 2n 26 0.于是 x3,4 . 2n 29 n23因为直线 CD 的斜率为 1，所以|CD| |x4x 3| .243 9 n2由已知，四边形 ACBD 的面积 S |CD|AB| .12 869 9 n2当 n0 时，S 取得最大值，最大值为 .所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 863 86322（2012新课标高考理）设抛物线 C：x 22py( p0) 的焦点为 F，准线为 l，A 为
21、 C 上一点，已知以 F为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点(1)若BFD90，ABD 的面积为 4 ，求 p 的值及圆 F 的方程；2(2)若 A， B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n距离的比值解：(1)由已知可得BFD 为等腰直角三角形， |BD|2p，圆 F 的半径|FA| p.2由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d|FA| p.因为ABD 的面积为 4 ，所以 |BD|d4 ，即 2p p42 212 2 12 2，解得 p 2(舍去)或 p2.所以 F(0,1)，圆 F 的方程为 x2(
22、y1) 28.28(2)因为 A，B ，F 三点在同一直线 m 上，所以 AB 为圆 F 的直径，ADB90.由抛物线定义知|AD|FA| |AB|，12所以ABD30，m 的斜率为 或 .当 m 的斜率为 时，由已知可设 n：y xb，代入 x22py 得33 33 33 33x2 px2pb0.由于 n 与 C 只有一个公共点，故 p28pb0，解得 b .233 43 p6因为 m 的纵截距 b1 ， 3，所以坐标原点到 m，n 距离的比值为 3.p2 |b1|b|当 m 的斜率为 时，由图形对称性可知，坐标原点到 m，n 距离的比值为 3.3323（2011新课标高考）在平面直角坐标系
23、 xOy 中，已知点 A(0，1)，B 点在直线 y3 上，M 点满足 MBOA，MA ABMBBA ，M 点的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处的切线，求 O 点到 l 距离的最小值解：(1)设 M(x，y )，由已知得 B(x，3)，A(0 ，1)所以 MA(x，1y) ，MB(0，3y)，AB(x，2) 再由题意可知( MAMB)AB0，即(x，42y)(x，2)0所以曲线 C 的方程为 y x22.14(2)设 P(x0，y 0)为曲线 C：y x22 上一点，因为 y x，所以 l 的斜率为 x0.因此直线 l 的方程为14 12
24、 12yy 0 x0(xx 0)，即 x0x2y2y 0x 0.则 O 点到 l 的距离 d .又 y0 x 2，所以12 20 |2y0 x20|x20 4 1420d ( )2，当 x00 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.12x20 4x20 4 12 x20 4 4x20 41、直线 与圆锥曲线 的位置关系的判断lC判断直线 与圆锥曲线 的位置关系时，通常将直线 的方程 代入曲线 的l 20()AxByCC方程 ，消去 （或者 ）得到关于 （或 ）的一元二次方程，即 ，消去(,)0Fxyyxxy 0(,)xyF后得 .2abc9（1）当 时，直线 与圆锥曲线 有一个交点
25、，此时，若曲线 为双曲线，则直线 与双曲线的0alCCl渐近线平行；若曲线 为抛物线，则直线 与抛物线的对称轴平行（或顶点且与抛物线对称轴垂直）。Cl（2）当 时，若 ，直线 与曲线 有两个不同的交点；若 ，直线 与曲线 有一个 0C交点（注意不一定相切）；若 ，直线 与曲线 相离（无交点）。02、圆锥曲线的弦定义：连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦。直线 ： ，曲线 ： ， 为直线 与曲线 的两个不同交l(,)fxy(,)Fxy12()()AxyB,、 l点，则 是方程组 的两组解，消去 （或者 ）得 .12,、 (,)0fx20()abxca其中 是方程的两根，由根与系数的关系（韦达
26、定理）可得12,x 1212,.A弦长公式： 222121|()4ABkxkxx或 。21211222| (0)yyykA三、已知弦 的中点，研究 的斜率与方程（1） 是椭圆 的一条弦， 的中点 ，则直线 的斜率为AB2(0)xabB0(,)MxyAB。运用点差法求直线 的斜率：设 是椭圆上不同的两点，则20bxayAB1212()()xy,、，两式相减得 ，整理得 。212xyab22110xab 22011()AB bxybxkxayay（3）类似的，若 是双曲线 的一条弦， 的中点 ，则AB21(0,)xyab0(,)Mxy；若曲线是抛物线 ，则 。20ABbxkay2()p0ABpky
27、四、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量函数定值”，具体操作程序如下：（1）变量选择适当的量为变量；（2）函数把要证明为定值的量表示成变量的函数；（3）定值化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。10五、求最值问题常用的两种方法（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的
28、方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。六、求定点、定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”（1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）；（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用；（3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。七、求参数的取值范围根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。【题型归纳及思路提示】题型一、直线与圆锥曲线的位置关系【思路提示】（1）直线与圆锥曲线有两个不同交点的判定：联立方程组消元，得到一个一元二次方程，0；数形结合，例如直线与双曲线有两个不同交点，可通过直线与双曲线的
29、一条渐近线平行得到。（2）直线与圆锥曲线有一个交点的判定：数形结合，直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。【例 1】已知两点 ,给出下列曲线方程：5(1,)4)MN ； ； ； ；420xy23xy21xy21xy在曲线上存在点 ，满足 的所有曲线方程是_( 填序号）P|P变式 1 对于抛物线 ： ，我们称满足 的点 在抛物线内部，若点C24yx204yx0(,)My在抛物线内部，则直线 与抛物线 的位置关系是_。0(,)Mxy00()C变式 2 设抛物线 的准线与 轴交于点 ，若过点 的直线 与抛物线有交点，则直线 的斜28yxQl l率的取值范围是
30、_。【例 2】如下图，过 轴正方向上一点 任作一直线，与抛物线 相交于 两点，一条(0,)c2yx,AB垂直于 轴的直线分别与线段 和直线 交于 两点。xAB:ly,P（1）若 ，求 的值；（2）若 为线段 的中点，求证 与抛物线相切。OABcABQ11【评注】过抛物线 的焦点 任作一直线 与抛物线交于 两点，过 两点2(0)xpy(,)2pFl,AB,的切线的交点 的轨迹是准线 ；过抛物线 的焦点 任作一直线 与抛物Q2(0)yx(0)2pFl线交于 两点，过 两点的切线的交点 的轨迹是准线 ；两切线 ；,AB, QQ。F变式 1 如下图所示， 分别是椭圆 的左右焦点，过 作 轴12(,0)
31、(,)Fc、2:1(0)xyCab1Fx的垂线交椭圆 的上半部分与点 ，过 作直线 的垂线交直线 于点 。求证：直线 与CP2F2P2cQP椭圆 只有一个交点。题型二、中点弦（对称）问题【思路提示】此类问题一般有 3 种类型：（1）求中点弦所在直线的方程问题：（2）求弦中点的轨迹方程问题：（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题，首先要考虑的是点差法。【例 3】已知过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且1(,)2Ml21xy,AB，求直线 的方程。1(2OABO为 原 点 l变式 1 已知椭圆方程为 .21xy（1）求斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点 的直线 与椭圆相交，求被
32、直线 截得的弦的中点的轨迹方程。(,)Pl lOxQP1F2y12【例 4】已知椭圆 ，过原点的直线交椭圆于 两点，其中 在第一象限，过 作 轴的垂21xy,PAPx线，垂足为 ，连接 ，并延长 交椭圆于点 ，设直线 的斜率为 ，求证：对任意 ，都CACBk0k有 .PAB（1）设 则 两式相减得，而 (2)设 的方程为 代入 ，解得 .记 ，则，于是 .故直线 的斜率为 其方程为 代入椭圆方程得 ，解得 或 ，因此得，于是直线 的斜率为 ，因此 所以变式 1 已知曲线 ，过原点斜率为 的直线交曲线 于 两点，其中2:1(0,)yCxmkC,PQ在第一象限，且它在 轴上的射影为点 ，直线 交曲
33、线 于另一点 。是否存在 ，使得对任PNQCHm意 ，都有 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由。0k?QPH【例 5】已知椭圆 ： ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ，椭圆 上有两C2143xym:4lyxmC个不同的点关于这条直线对称。变式 1 已知椭圆 E 经过点 ，对称轴为坐标轴，焦点 在 轴上，离心率 ，(2,3)A12,Fx12e13()求椭圆 E 的方程；() 求 的角平分线所在直线 的方程；12FAl()在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由变式 2 已知 A、B、C 是椭圆 W： 上的三个点，O 是坐标原点.214xy(I)
34、当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积.(II)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由 .题型三、弦长与面积问题【思路提示】与弦长有关的问题中，一般有三类问题：（1）弦长公式： 22212112|()4ABkxkxxA或 ；21211222|()0yyyk （2）与焦点有关的弦长计算，利用定义式求解；（3）涉及到面积的计算问题。【例 6】过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线交抛物线于 两点，若线段 的2(0)ypxF045,ABAB长为 8，则 _。变式 1 已知椭圆 ： ，过椭圆 的左焦点 且倾斜角为 的直线 与椭圆
35、交于 两点，C21C6lC,求 的长。|AB【例 7】已知椭圆 ： ，过点 作圆 的切线 ，交椭圆 于 两点.（1）G214xy(,0)m21xylG,AB14求椭圆 的焦点坐标和离心率；G（2）将 表示为 的函数，并求 的最大值。|ABm|AB变式 1 已知椭圆 ： 经过点 ，其离心率为 。C21(0)xyab3(1,)2M12（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与椭圆 交于 两点，以线段 为:|lkxmC,AB,OAB邻边作平行四边形 ，其中OAPB顶点 在椭圆 上， 为坐标原点，求 的取值范围。P|OP变式 2 已知椭圆 ： 的右顶点 ，离心率为 ， 为坐标原点.（1）求C21(0)xy
36、ab(2,0)A32O椭圆 的方程；（2）已知 为椭圆 上的一个动点，过 作线段 的垂线 交椭圆 于PA异 于 点 CAPlC两点，求 的取值范围。,DE|A【例 8】已知 是椭圆 的左右焦点， 是过 的一条动弦，求 的面积的最大值。12,F2143xyAB1F2ABF变式 1 已知椭圆 ： 的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的C21(0)xyab23三角形周长为 .（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与椭圆 交于 两点，且以 直径的64 lC,AB的圆经过椭圆的右顶点 ，求 的面积的最大值。MAB【例 9】已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 两点.24yxF,（1）若
37、 ，求直线 的斜率；（2）设点 在线段 上2ABAMAB运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四边形 的最小值.OMCOABCOMxyF15变式 1 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 为椭圆 的上顶点，且 .（1）G12(,0)(,FPG0145PFO求椭圆 的方程；（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线:lykxm,AB与椭圆 交于 两点，且 ，如下图所示。212:()lykxmC,D|CD（）证明： ；（）求四边形 的最大值.0AB题型四、平面向量在解析几何中的应用【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个：（1）用向量
38、的数量积解决有关角的问题：直角 ；钝角 ；120abxyA 12210|xyabAA锐角 。1220|xyA（2）利用向量的坐标表示解决共线、共面问题。A、利用向量的数量积解决有关夹角（锐角、直角、钝角）的问题其步骤是：弦写出向量的坐标形式，再用向量积的计算公式l2l1 yxODCBA16。122cos,|xyabAA【例 10.】过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点， 为坐标原点.求证：2(0)xpyF,ABO是钝角三角形.ABO【评注】若直线 与抛物线 交于 两点，则：l2()xy,（1）直线 在 轴上的截距等于 时， ；yp09AOB（2）直线 在 轴上的截距大于 时， ；l2（3）
39、直线 在 轴上的截距大于 且小于 时， 。y00变式 1 如题（20）图，设椭圆的中心为原点 O，长轴在 轴上，上顶点为 ,左、右焦点分别为 ,线xA12F段 的中点分别为 是面积为 4 的直角三角形2,OF1212,BA且（1）求该椭圆的离心率和标准方程（2）过 作直线 交椭圆于 两点，使 ,求直线 的方程1BlPQ、 2Bl变式 2 设 分别为椭圆 的左、右顶点， 为直线 上不同于点 的任意一点，若,AB2143xyP4x(4,0)直线 分别与椭圆交于异于 的点 .证明：点 在以 为直径的圆内。,P,AB,MNBMN3 已知 m1，直线 ，椭圆 ， 分别为椭圆 的左、右焦点.（）2:0ml
40、xy2:1xCy,2FC17当直线 过右焦点 时，求直线 的方程；l2Fl（）设直线 与椭圆 交于 两点， ， 的重心分别为 .若原点 在以线段lC,AB12FV12B,GHO为直径的圆内，求实数 的取值范围. GHm【例 11】在平面直角坐标系中，点 到两点 的距离之和等于 ，设点 的轨迹为 ，P(0,3)(,4PC直线 与 交于 两点.1ykxC,AB（1）求 的方程；（2）若 ，求 的值.Ok变式 1 椭圆 的左、右、上、下顶点为 ， ，焦点为 ，2:1(0)xyCab12,A12,B12,F（1）求椭圆 的方程；（2）设 为过原点的直线，直线 与椭圆121212|7, .BABFSAC
41、ml交于 两点，且 ， ，是否存在上述直线 使 成立，若存在，求,mlP|Ol0OA出直线 的方程；若不存在，请说明理由。l变式 2 椭圆 的一个焦点是 ， 为原点坐标。设过点 的直线 交椭圆2:1(0)xyCab(1,0)FOFl于 两点，若直线 交绕点 任意转动，恒有 ，求实数 的取值范围。,ABlF22|ABaB、利用向量的坐标表示解决共线问题12112, =(),().abbxyaxyb共 线 或 ， 其 中 ， ，【例 12】在平面直角坐标系中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点0,2kl21xy。（ 1）求 的取值范围；（ 2）设 是椭圆的右顶点和上顶点，是否存在常
42、数 ，使,PQk,ABk共线？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由。OAB与 k18变式 1 设椭圆 的左右焦点为 ，离心率 ，直线 ，2:1(0)xyCab12,F2e2:alxc是 上的两个动点， 。（1）若 ，求 的值；（2）证明：当,MNl12FMNA12|5MN,ab取最小值时， 共线。| 与【例 13】设 是椭圆 上的两点，并且点 满足 ，当 时，求,AB21xy(2,0)NANB1,53直线 斜率的取值范围。变式 1 已知 分别为椭圆 的左、右焦点，直线 过 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂12,F213xy1lF2l直于直线 ，垂足为 ，线段 的垂直平分线交 于点 。1lD2F
43、2lM（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）过点 作直线交 于 两个不同点，设MC1C,PQ，若 ，求 的取值范围。1FPQ,32PQA变式 2 过点 的直线交抛物线 于 两点，交直线 于点 ，已知(,0)24yx,B:1lxM，求 的值。12MAFB12题型五、定点问题【思路提示】（1）直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上，如直线 过定点(0)ykxb；（2）一般曲线过定点，把曲线方程变为 ，(,0)bk 12(,)(,)0(fxyf为 参 数解方程组 ，即得定点。12(,)0fxy模型一：三大曲线的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点。19【例 14】已知椭圆 ： ，直线 与椭圆交于 两
44、点（ 非顶点），且以C2143xy:lykxm,AB,为直径的圆过椭圆的右顶点。求证直线 过定点，并求定点坐标。AB【评注】已知椭圆 ： ，直线 与椭圆交于 两点（ 非顶C2:1(0)xyab:lykxm,AB,点），若以 为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线 过定点 ；ABl2(),0ab若以 为直径的圆过椭圆的左顶点，则直线 过定点 ；l2(),若以 为直径的圆过椭圆的上顶点，则直线 过定点 ；ABl2()0,ba若以 为直径的圆过椭圆的下顶点，则直线 过定点 ；l2(),类比椭圆，对于双曲线 上异于顶点的两动点 ，若以 为直径的圆过椭21(0,)xyab,AB圆的右顶点，则直线 过定点l2)
45、(,类比椭圆，对于双曲线 上异于顶点的两动点 ，若以 为直径的圆过椭21(0,)xyab,AB圆的左顶点，则直线 过定点 。l2(,)变式 1 已知椭圆 的左顶点为 ，不过 的直线 与椭圆交于不同的两点 .当214xyA:lykxb,PQ时，求 的关系，并证明直线 过定点。0APQkb与 l变式 2 已知焦点在 轴上的椭圆 过点 ，且离心率为 , 为椭圆 的左顶点.xC(0,1)32QC（）求椭圆 的标准方程；C20（）已知过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.6(,0)5lCAB（）若直线 垂直于 轴，求 的大小;lxQ（）若直线 与 轴不垂直，是否存在直线 使得 为等腰三角形？如果存在，求出直线 的ll方程；如果不存在，请说明理由
