1、 1 / 11高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系: , .UxACxAxA2 集合 的子集个数共有 个；真子集有 个；非空子集有 个；非空的真子集有12,na 2n21n21n个.n3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式 ;2()(0)fxbca(2) 顶点式 ;（当已知抛物线的顶点坐标 时，设为此式）)hk(,)hk(3) 零点式 ；（当已知抛物线与 轴的交点坐标为 时，设12xx12(,0),x为此式）4 真值表： 同真且真，同假或假5 常见结论的否定形式;原结论 反设词 原结论 反设词是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有
2、 个n至多有（ ）个1n小于 不小于 至多有 个 至少有（ ）个对所有 ，成立x存在某 ，不成立x或pq且pq对任何 ，不成立 存在某 ，成立 且 或6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题 互逆 逆命题若则 若则互 互互 为 为 互否 否逆 逆 否 否否命题 逆否命题 若非则非 互逆 若非则非充要条件： (1)、 ，则 P 是 q 的充分条件，反之，q 是 p 的必要条件； p（2） 、 ，且 q p，则 P 是 q 的充分不必要条件；(3)、p p ，且 ，则 P 是 q 的必要不充分条件；4、p p ，且 q p，则 P 是 q 的既不
3、充分又不必要条件。7 函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而增大。（2） 、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的 1212,xDx且 ，都有12()fxf成立，则就叫 f（x）在 x D 上是增函数。 D 则就是 f（x）的递增区间。减函数：(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而减小。2 / 11（2） 、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的 1212,xDx且 ，都有12()fxf成立，则就叫 f（x）在 x D 上是减函数。 D 则就是 f（x）的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2） 、减函数+减函
4、数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数 单调 单调性内层函数 外层函数 复合函数 等价关系：(1)设 那么1212,xabx上是增函数；12()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.12xx,在(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则)(fy0)(xf)(xf 0)(xf为减函数. )(xf8 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：定义：在前提条件下，若有 ，则 f（x）就是
5、奇函数。()()(0fxfxf或性质：（1） 、奇函数的图象关于原点对称；（2） 、奇函数在 x0 和 x0 和 x0y=kx+boy xa0y=ax2+bx+coy x011y=axoy x011y=logaxoyx11 对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是 ;两个函数)fR)()(ff)(f2b与 的图象关于直线 对称. (axfy)2bax12 分数指数幂与根式的性质：(1) （ ，且 ）.（2） （ ，且 ）.mn0,nN11mnnma0,nN1（3） .（4）当 为奇数时， ；当 为偶数时， .()nana,|a13 指数式与对数式的互化式: .logba(0,1)aN指数
6、性质：(1)1、 ； （2） 、 （ ） ； (3)、pa01()mnna(4)、 ； (5)、 ； (,)rsrsQmna指数函数：(1)、 在定义域内是单调递增函数；(1)xya（2） 、 在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）0对数性质： (1)、 ；（2） 、 ； logllog()aaaMNlogllogaaaMN(3)、 ；(4)、 ； (5)、 mblmnab 10(6)、 ； (7)、 l1a log对数函数： (1)、 在定义域内是单调递增函数；log()ayx（2） 、 在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）01(3)、 l,
7、(),(1)axax或(4)、 或 og则 ,(,)x则14 对数的换底公式 : ( ,且 , ,且 , ).loglmaN0a10m10N对数恒等式： ( ,且 , ).logN4 / 11推论 ( ,且 , ).loglmnaab01a0N15 对数的四则运算法则:若 a0，a1，M0，N0，则(1) ; (2) ;l()loglalogllogaaaMN(3) ; (4) 。()naR(,)mnnmR16 平均增长率的问题（负增长时 ）：0p如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 .pxy(1)xp17 等差数列：通项公式： （1） ，其中 为首项，d 为
8、公差，n 为项数， 为末项。1()na1ana（2）推广： kd（3） （注：该公式对任意数列都适用）1(2)nnaS前 n 项和： （1） ；其中 为首项，n 为项数， 为末项。1ana（2） 1()2nd（3） （注：该公式对任意数列都适用）nS（4） （注：该公式对任意数列都适用）12na常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有 ；mnpqaa注：若 的等差中项，则有 2 n、m、p 成等差。,mnp是 mn（2） 、若 、 为等差数列，则 为等差数列。abnb（3） 、 为等差数列， 为其前 n 项和，则 也成等差数列。nnS232,mmSS等比数列：通项公式：（1） ，其中 为
9、首项，n 为项数，q 为公比。1*()naqN1a（2）推广： （3） （注：该公式对任意数列都适用）kna 12nnS前 n 项和： 1()()nnqS常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有 ；mnpqa注：若 的等比中项，则有 n、m、p 成等比。,mnp是 2mna19 三角不等式：5 / 11（1）若 ，则 .(2) 若 ，则 .(0,)2xsintax(0,)2x1sinco2x(3) .|sin|co|120 同角三角函数的基本关系式 ： ， = ，22icos1tancosi21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）22 和角与差角公式; ;sin()sicos
10、ins()ins. =tanta1tcoab2si()ab(辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).()t23 二倍角公式及降幂公式 .sin2icos2tan1.2 2cicos1sin21ta. 2tatan costaci21osssi,c224 三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且 A0)的周期 ；in()yxcos()yx2|T函数 ， (A, 为常数，且 A0)的周期 .ta,2kZ|T三角函数的图像：-11y=sinx-2 23/2/2-3/2-/2 oy x -11y=cosx-2 23/2/2-3/2- -/2oy x25 正弦定理 ： （R 为
11、 外接圆的半径）.sinisinabcABCABC,sinR:sin:siabcABC26 余弦定理：; ; .22cob22coca22o27 面积定理：（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）.1abcShhabc、 、（2） .1sinsisin2CAB(3) .2(|)()OABO,abcSrrabc斜 边内 切 圆 直 角 内 切 圆 28 三角形内角和定理 ：6 / 11在ABC 中，有 ()ABCAB.2C229 实数与向量的积的运算律:设 、 为实数，那么：(1) 结合律：( )=() ;(2)第一分配律：(+) = + ;aa(3)第二分配律：( + )= + .b30
12、与 的数量积(或内积)： =| | | 。ababcos31 平面向量的坐标运算：(1)设 = , = ，则 + = .1)xy2(,)xy12(,)xy(2)设 = , = ，则 - = . (b(3)设 A ，B ,则 .12 21,ABO(4)设 = ，则 = .a,)xyRa(,)xy(5)设 = , = ，则 = .1(2(,)xyb12()y32 两向量的夹角公式：( = , = ).122cos|baa1xb2(,)xy33 平面两点间的距离公式：= (A ，B ).,ABd|AB2211()()xy1(,)2(,)34 向量的平行与垂直 ：设 = , = ，且 ，则：1yb,b
13、0| = .（交叉相乘差为零）aba21( ) =0 .（对应相乘和为零）021xy36 三角形的重心坐标公式： ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC 的1A(x,)2By3C(x)重心的坐标是 .123123(,)xyG37 三角形五“心”向量形式的充要条件：设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则OABC,ABC,abc（1） 为 的外心 .22O（2） 为 的重心 .0（3） 为 的垂心 .OA（4） 为 的内心 . abc（5） 为 的 的旁心 .ABCABC38 常用不等式：（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2（2） (当且仅当 ab 时取“=”号)
14、ab（3） 30,).cc（4） .ba（5） (当且仅当 ab 时取“=”号)。22ab39 极值定理:已知 都是正数，则有yx,（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；pyxp27 / 11（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .yxsyx241s（3）已知 ，若 则有,abR1ab。211() ()axbabxyxyy（4）已知 ，若 则有,2() 2()abaxbabxyy40 一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其20()c或 0,40caxc解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两2根之间.即：；121212()()xxx., 0
15、或41 含有绝对值的不等式 ：当 a 0 时，有. 或 .2aa2axa42 斜率公式 ：（ 、 ）.21ykx1(,)Pxy2(,)xy43 直线的五种方程：（1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )11kl1(,)Pxyk（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).yxb（3）两点式 ( )( 、 ( ).212121,2,1212,xy两点式的推广： （无任何限制条件！）()(0x(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， )xyab、 0ab、（5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0ABC直线 的法向量： ，方向向量：(,)l(,)lBA46 点到直线的距离 ： (点 ,
16、直线 ： ).02|xyd0Pxy0xyC47 圆的四种方程：（1）圆的标准方程 .2()abr（2）圆的一般方程 ( 0).2xyDEF24EF（3）圆的参数方程 .cosinr（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ).1212()()0y1(,)Axy2(,)B48 点与圆的位置关系：点 与圆 的位置关系有三种：0,Pxy2)rbax若 ，则 点 在圆外;20()dabdrP点 在圆上; 点 在圆内.r49 直线与圆的位置关系：直线 与圆 的位置关系有三种(0CByAx 22)()(ryx8 / 11ddd 交交交交交 r1+r2r2-r1o d):2BACbad; ; .0交r
17、0交rd 0交rd50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， ，则：dO21; ;交421d 3r;交221rr;交交21 .交交210r51 椭圆 的参数方程是2(0)xyab. 离心率 ，cosinayb21ce54 椭圆的切线方程:椭圆 与直线 相切的条件是 .2(0)xyab0AxByC22AaBbc55 双曲线 的离心率 ， 21(0,)xab21cbea56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12byx20xybxab(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .a02(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为1
18、2byx 2byax（ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）.0(4) 焦点到渐近线的距离总是 。57 双曲线的切线方程:双曲线 与直线 相切的条件是 .2ya0AxBC22AaBbc58 抛物线 的焦半径公式:pxy2抛物线 焦半径 .(0)02pCF过焦点弦长 .xxCD12160 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221()()ABy或 22 211 12()4|tan|tABk yco （弦端点 A ，由方程 消去 y 得到,(,1yx0),x(Fbk0bx, 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率， . 0 21211|()4x61 证明直线与平面的平行的思考途径:（1）转化为直线与平面
19、无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.62 证明直线与平面垂直的思考途径:（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。63 证明平面与平面的垂直的思考途径：9 / 11（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。64 向量的直角坐标运算：设 ， 则：a123(,)b123(,)(1) ；(2) ；abab123(,)ab(3) (R)；(4) ；123,65 夹角公式：设 ， ，则 .a123(,)b123(,)12
20、3221cos,ab66 异面直线间的距离 ：( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 是 上任一点， 为 间的距离).|CDnd12,l nCD、 12,ld12,l67 点 到平面 的距离：B（ 为平面 的法向量， ， 是 的一条斜线段）.|AnAB68 球的半径是 R，则其体积 ,其表面积 34VR24SR69 球的组合体：(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切
21、球的半径为a612a(正四面体高 的 ),外接球的半径为 (正四面体高 的 ).63a1464a3470 分类计数原理（加法原理）： .12nNm分步计数原理（乘法原理）： .71 排列数公式 ： = = .( ， N *，且 )规定 .mnA)() ！ )(mn1!072 组合数公式： = = = ( N *， ，且 ).Cn21！ ！n Nm组合数的两个性质:(1) = ;(2) + = .规定 .mnmC110nC73 二项式定理 ;nrrnn babaab 210)(二项展开式的通项公式 .rrrT1 )0(， 的展开式的系数关系：20()n nfxaxx； ； 。012()f 012
22、(1()nf 0()f74 互斥事件 A，B 分别发生的概率的和：P(AB)=P(A)P(B)个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1A 2A n)=P(A1)P(A 2)P(A n)n75 独立事件 A，B 同时发生的概率：P(AB)= P(A)P(B).n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率： ()().knkPCP77 数学期望： 12nExPx 数学期望的性质（1） . （2）若 ,则 .()(ab()BpE10 / 11(3) 若 服从几何分布,且 ，则 . 1()(,)kPkg
23、pq1Ep78 方差： 标准差： = .22211 nnDxEpxx D方差的性质：(1) ；(2）若 ，则 .ab(,)B(1)D(3) 若 服从几何分布,且 ，则 . 1()kPkgpq2qp方差与期望的关系： .22E79 正态分布密度函数： ，261,xfxe式中的实数 ， （ 0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.对于 ，取值小于 x 的概率： .2(,)NxF12201 xPxxP80 在 处的导数（或变化率）：)xf0.0 00()(limlixxffyyx瞬时速度： .00()ttstss81 函数 在点 处的导数的几何意义：f函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率
24、 ，相应的切线xy0 )(xfy)(,0xfP)(0xf方程是 .)(0xf82 几种常见函数的导数：(1) （C 为常数）.(2) .(3) . 1()nQcos)(sin(4) . (5) ； .xsin)(cox)lloglaaex(6) ; .eax)83 导数的运算法则：（1） .（2） .（3） .(uv()uv2()(0)uv84 判别 是极大（小）值的方法：)0xf当函数 在点 处连续时，0（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值；0)(xf 0)(xf)(0xf（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极小值.85 复数的相等： .（ ）,abicdiacbd,acR86 复数 的模（或绝对值） = = .z|z|i2b87 复平面上的两点间的距离公式： （ ， ）.221211|()()dxy1xyi22zxyi88 实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ，0abc若 ,则 ;240bc21,24acx11 / 11若 ,则 ;240bac12bxa若 ，它在实数集 内没有实数根；在复数集 内有且仅有两个共轭复数根RC.22()(40)ixc
