1、 第 1 页（共 30 页）高中数学常用公式及结论1. 元素与集合的关系: , .UxACxAxA2.德摩根公式 : .();()U UCBBC3.包含关系：ABUBR4.元素个数关系： ()()cardcardAcardAB.()()CcardABC5集合 的子集个数共有 个；真子集有 个；非空子集有 个；12,n 2n21n21n非空的真子集有 个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 ;2()(0)fxabc(2)顶点式 ;（当已知抛物线的顶点坐标 时，设为此式）)hak(,)hk(3)零点式 ；（当已知抛物线与 轴的交点坐标为12xx时，设为此式）12(,0),x（4）切线式：
2、。 （当已知抛物线与直线 相0()(),0dfyxd切且切点的横坐标为 时，设为此式）07.解连不等式 常有以下转化形式NfxM.()fx()()fxN()0fxNM()fNxM8.方程 在 内有且只有一个实根,等价于 或02acba21k120fk。1240k9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的)0()(2acbxf qp, abx2两端点处取得，具体如下：(1)当 a0时，若 ，则 ；qp, minmax()(),(),2bfxfffpq， ， .qpabx,2max(),f ini),(2)当 a0y=kx+boy x a0y=ax2+bx+coy
3、 x -1-212y=x+1oyx 011y=axoy x 011y=logaxoyx20.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是)fR)()(bfaf)(f;两个函数 与 的图象关于直线 对称. 2axy2b21.若 ,则函数 的图象关于点 对称; )()(axff)(f )0,(a若 ,则函数 为周期为 的周期函数.222多项式函数 的奇偶性10nnPxa多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.()x多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数 的图象的对称性yf(1)函数 的图象关于直线 对称 .()xa()()fxfa(2)(fxf(2)函
4、数 的图象关于直线 对称fx2bmb.()()fabmf24.两个函数图象的对称性(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.yfyfx0xy(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.()xa()b2ab(3)函数 和 的图象关于直线 y=x对称.f1f25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；y xfy)(若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象.0),(x 0,(baf26互为反函数的两个函数的关系： .bfaf)(127.函数 与其反函数 的图像的交点不一定全在直线 上。f 1yx28.几个常见的函数方程(1)正比例函数 .()xc()(),(f
5、fyfc(2)指数函数 .fa10a(3)对数函数 .log,1)xy第 5 页（共 30 页）(4)幂函数 .()fx()(),1fxyfyf(5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，cossingx()()()yfxgy. 0in1,lmxf29.几个函数方程的周期(约定 a0)（1） ，则 的周期 T=a；)()af)(xf（2） ，或 ,则 的周期 T=2a；01()(fafx)0)(xf(3) ，则 的周期 T=3a；)()(1)(xfafxf(4) 且 ，则2121f1212(),0|)fafxa的周期 T=4a；)(xf30.分数指数幂 (1) （ ，且 ）.mna0,nN(2) （ ，
6、且 ）.1nma,1n31根式的性质（1） .()n（2）当 为奇数时， ；n当 为偶数时， .,0|a32有理指数幂的运算性质(1) .(,)rsrsaQ(2) .()0(3) .,rrbbr注： 若 a0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式: .logbN(0,1)aN34.对数的换底公式 : ( ,且 , ,且 , ).lma m0对数恒等式： ( ,且 , ).logaN01推论 ( ,且 , ).lmnab035对数的四则运算法则:若 a0，a1，M0，N0，则第 6 页（共 30 页）(1)
7、; (2) ;log()llogaaaMNNlogllogaaaMN(3) ; (4) 。()nR(,)mnnmR36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则)0(l)(2cbxxfm cb42xf且 ;若 的值域为 ,则 ，且 。0aa37. 对数换底不等式及其推广：设 ， ， ，且 ，则1np0a1（1） . （2） .log()logmpmn 2loglogann38. 平均增长率的问题（负增长时 ）0如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有xy.()xyN39.数列的通项公式与前 n项的和的关系： ( 数列 的前 n项的和1,2nnsaa为 ).12nsa4
8、0.等差数列的通项公式： ；*11()()nadN其前 n项和公式为： .2ns1()2na21dnadn41.等比数列的通项公式： ；*1nq其前 n项的和公式为 或 .1(),nsa1,nnqsa42.等比差数列 : 的通项公式为,(0)nqdbq；1(),nbaqd其前 n项和公式为： .(),1,()1nnbdqs43.分期付款(按揭贷款) ：每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).)(1nabxanb44常见三角不等式第 7 页（共 30 页）（1）若 ，则 .(0,)2xsintax(2) 若 ，则 .1cos2(3) .|sin|cos|45.同角三角函数的基本关系式
9、： ， = ， .22in1tancositan1cot46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限），21()si,()sin(2nco为 偶 数为 奇 数 21(),()s(2sinco为 偶 数为 奇 数47.和角与差角公式; ;si()sisin()co.tantan1t(平方正弦公式);22si()si()sii.cocon= (辅助角 所在象限由点 的象限决定,inab2i)ab()ab).t48.二倍角公式及降幂公式 .sin2icos2tan1.2 2cicos1sin21ta.2tatan21osssi,c2itai49. 三倍角公式 .3sin3i4sinisn()s
10、i()3.cococo第 8 页（共 30 页）.32tant3tan()tan()1350.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且 A0)的si()yxcos()yx周期 ；函数 ， (A, 为常数，且 A0)的周期2|Ttan(),2kZ.|三角函数的图像：-11y=sinx-2 23/2/2-3/2-/2 oy x -11y=cosx-2 23/2/2-3/2- -/2oy x五点法作图列表：x0 /2 3/2 2y51.正弦定理 ： （R 为 外接圆的半径）.2sinisinabcABCABC2,aR:sin:siabc52.余弦定理; ; .cob22oc
11、22coabC53.面积定理（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）.12abcShhabc、 、（2） .1sinsisin2CAB(3) .2(|)()OABO,abcSrrabc斜 边内 切 圆 直 角 内 切 圆 54.三角形内角和定理 在ABC 中，有 ()ABCAB.2C255. 简单的三角方程的通解第 9 页（共 30 页）.sin(1)arcsin(,|1)kxaZa.2oco.t t,R特别地,有.sin(1)k.cos2Z.tat56.最简单的三角不等式及其解集.sin(|1)(arcsin,2arcsin),xxkkkZ.2.co| o,o,a.s()(rsrs).t
12、nactn,),2xRxkkZ.a()(rta257.实数与向量的积的运算律:设 、 为实数，那么(1) 结合律：( )=() ;a(2)第一分配律：(+) = + ;(3)第二分配律：( + )= + .b58.向量的数量积的运算律：(1) = （交换律）;ab(2)（ ） = （ ）= = （ ）;aba(3)（ + ） = + .cc59.平面向量基本定理 如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有1e2一对实数 1、 2，使得 = 1 + 2 e不共线的向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底三点 A、B、C 共线的充要条件： (M为任意点)(
13、1MCAB60向量平行的坐标表示 设 = , = ，且 ，则 ( ) .a1()xyb2(,)xyb0ab01210xy53. 与 的数量积(或内积)： =| | | 。cos61. 的几何意义：数量积 等于 的长度| |与 在 的方向上的投影| | 的乘积a第 10 页（共 30 页）向量 在向量 上的投影：| | babcos|ab62.平面向量的坐标运算(1)设 = , = ，则 + = .1()xy2(,)xy12(,)xy(2)设 = , = ，则 - = . abab(3)设 A ，B ,则 .12 21,ABO(4)设 = ，则 = .(,)xyR(,)xy(5)设 = , =
14、，则 = .12(,)xy12()y63.两向量的夹角公式( = , = ).122cos|aba1xb2(,)xy64.平面两点间的距离公式= (A ，B ).,ABd|AB2211()()xy1(,)2(,)65.向量的平行与垂直 ：设 = , = ，且 ，则ab,b0| = .ab1210y( ) =0 .021xy66.线段的定比分公式 ：设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，1(,)P(,)(,)Px12P且 ，则 （ ）.12P12xy12O12()tOt1t67.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC 的重心的坐标是1A(x,y)2B3Cxy.12
15、3123(,)xyG68.点的平移公式 . hxhykyk OP注:图形 F上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的坐标F(,)Pxy为 .(,)69.“按向量平移”的几个结论（1）点 按向量 = 平移后得到点 .(,)Pxya(,)hk(,)Pxhyk(2) 函数 的图象 按向量 = 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为fCa,)kC第 11 页（共 30 页）.()yfxhk(3) 图象 按向量 = 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数解析Ca(,)hkC()yfxC式为 .(4)曲线 : 按向量 = 平移后得到图象 ,则 的方程为,0fy(,).(,)fxh
16、yk(5) 向量 = 按向量 = 平移后得到的向量仍然为 = .m(,xa,hkm(,)xy70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则OABC,ABCabc（1） 为 的外心 .22O（2） 为 的重心 .0（3） 为 的垂心 .OA（4） 为 的内心 .abc（5） 为 的 的旁心 .ABCABC71.常用不等式：（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2（2） (当且仅当 ab 时取“=”号)ab（3） 30,).cc（4）柯西不等式： 222()(,.dcdR（5） .ba（6） (当且仅当 ab 时取“=”号)。22ab72.极值定
17、理:已知 都是正数，则有yx,（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；pyxp2（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .s41s（3）已知 ，若 则有,abxyR1ab。211() 2()yaxbab（4）已知 ，若 则有,xyx 2() 2()abayxbab73.一元二次不等式 ，如果 与20()c或 0,40ca同号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.2axbc 2第 12 页（共 30 页）简言之：同号两根之外，异号两根之间.；121212()0()xxx.,或74.含有绝对值的不等式 ：当 a 0时，有.2aa或 .xxa75.无理不等式（1） .(
18、)0()()ffgfxg（2） .2()0()()0fxfxf 或 2()0()0gxfxfg或（3） .2()()xfgfg76.指数不等式与对数不等式 (1)当 时,1a; .()()()fxgxfgx()0lo()lg()aafxfxfg(2)当 时,01a; ()()()fxgxfgx ()0lo()lg()aaxfxfg77.斜率公式 （ 、 ）.21ykx1(,)Pxy2(,)xy78.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )11kl1(,)Pxyk（2）斜截式 (b为直线 在 y轴上的截距).yxb（3）两点式 ( )( 、 ( ).212121,2,1212,
19、xy两点式的推广： （无任何限制条件！）()(0x第 13 页（共 30 页）(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， )1xyab、 0ab、（5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0ABC直线 的法向量： ，方向向量：,)l(,)lBA79.两条直线的平行和垂直 (1)若 ，11:lykxb22:lykxb ; .2|,112lk(2)若 , ,且 A1、A 2、B 1、B 2都不为零,:0lABC:0AByC ； ；11122| 212l80.夹角公式 (1) . ( ， , )12tan|k1:lykxb22:lykxb1(2) .( , , ).1|AB0ABC0ABC120
20、AB直线 时，直线 l1与 l2的夹角是 .2l81. 到 的角公式 1(1) .( ， , )21tank1:lykxb22:lykxb1(2) .( , , ).12AB10ABC2:0lAByC120AB直线 时，直线 l1到 l2的角是 .l82四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交：(1)定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 (除直线0(,)Pxy00)ykx),其中 是待定的系数; 经过定点 的直线系方程为 ,其0xk0 0(ABy中 是待定的系数,AB(2)共点直线系方程：经过两直线 , 的交点的11:lABC22:lC直线系方程为 (除 )，其中 是待定的系数1122(
21、)()xyCxy(3)平行直线系方程：直线 中当斜率 k一定而 b变动时，表示平行直线系方kb程与直线 平行的直线系方程是 ( )， 是参变00xy量(4)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系方程是0AxBy, 是参变量BxAy第 14 页（共 30 页）(5)直线系 与线段 相交 。(,)0Fxy12,(),ABxy12(,)(,)0Fxy到定点 距离为 的直线系方程：0Pr（其中 是待定的系数） 0cosincosinxr83.点到直线的距离 ： (点 ,直线 ： ).2|AxByCd0)Pxyl0AxByC84. 或 所表示的平面区域AxByC设直线 ，则 或 所表示的平面
22、区域是：:0l若 ，当 与 同号时，表示直线 的上方的区域；当 与 异0xyl xy号时，表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下 .若 ，当 与 同号时，表示直线 的右方的区域；当 与 异 ABC号时，表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左。l85. 或 所表示的平面区域1122()()0AxByCxy或 所表示的平面区域是两直线 和110xy所成的对顶角区域（上下或左右两部分） 。22086. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .22()()xaybr（2）圆的一般方程 ( 0).0DEF24EF（3）圆的参数方程 .cosinr（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点
23、是 、 ).1212()()xy1(,)Axy2(,)B87. 圆系方程(1)过点 , 的圆系方程是1()Axy2()B2121212() ()()0yxyyx,其中 是直线 的0abcabcAB方程, 是待定的系数(2)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程是l0xC2DEF, 是待定的系数2 ()xyDEFABy(3) 过圆 : 与圆 : 的交点的1211EF2C220xyy圆系方程是 , 是待定的系数2()0x特别地，当 时， 就是2 2112()x表示：12121()()()0xy当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；第 15 页（共 30 页）ddd 为为为为为 r1+r2r2-r1
24、o d向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为根轴；88.点与圆的位置关系：点 与圆 的位置关系有三种0(,)Pxy22)()(rbyax若 ，则 点 在圆外; 点 在圆上;220()daxbdrPdP点 在圆内.rP89.直线与圆的位置关系直线 与圆 的位置关系有三种( ):CByAx 22)()(rbyax2BACba; ; .0交rd 0交rd 0交d90.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， dO21;交421;交3r;交221d;交交21.0r91.圆的切线方程及切线长公式(1)已知圆 20xyDEF若已知切点 在圆上
25、，则切线只有一条，其方程是0(,).00 ()2y当 圆外时, 表示过两个切点的切()xy000 ()2xEyxF点弦方程求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 k，这时必有00()yk两条切线，注意不要漏掉平行于 y轴的切线斜率为 k的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 b，必有两条切线xb(2)已知圆 22xr过圆上的 点的切线方程为 ;0(,)P20yr斜率为 的圆的切线方程为 .k1ykxr(3) 过圆 外一点 的切线长为2xyDEF0(,)200lxyDEF92.椭圆 的参数方程是 . 离心率 ，21()abcosi
26、nayb21cbea准线到中心的距离为 ，焦点到对应准线的距离(焦准距) 。2c 2p第 16 页（共 30 页）过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为： .2baA93.椭圆 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 21(0)xyab， ；1()PFeexc2()PFexec1221|tanFPFPScyb。94椭圆的的内外部（1）点 在椭圆 的内部 .0(,)xy21(0)yab20xab（2）点 在椭圆 的外部 .,P2x21y95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 上一点 处的切线方程是 .21(0)xyab0(,)Pxy02xab（2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .2
27、(, 021y（3）椭圆 与直线 相切的条件是 .1()xyabAxByC2ABc96.双曲线 的离心率 ，准线到中心的距离为20,21cbea，焦点到对应准线的距离(焦准距) 。2ac 2pc过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为： .2baA焦半径公式 ， ，21|()|aPFexexc22|()|PFexec两焦半径与焦距构成三角形的面积 。121otSb97.双曲线的内外部(1)点 在双曲线 的内部 .0(,)xy2(0,)xya201xyab(2)点 在双曲线 的外部 .,P21,b298.双曲线的方程与渐近线方程的关系第 17 页（共 30 页）(1）若双曲线方程为 渐近线方程：
28、.12byax20xyabxab(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .02(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为12byax 2byax（ ，焦点在 x轴上， ，焦点在 y轴上）.0(4) 焦点到渐近线的距离总是 。99. 双曲线的切线方程(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .21(0,)yab0(,)Px021xyab（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .2x0,y 02（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .21yabAxBC22ABc100. 抛物线 的焦半径公式p抛物线 焦半径 .2(0)x02pF(其中 为 x轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到 FC的角)1cosCF过
29、焦点弦长 .ppxD212(其中 为倾斜角)sin101.抛物线 上的动点可设为 P 或 P ，其中 pxy2,2(yp2(,)tp(,)xy.2ypx102.二次函数 的图象是抛物线：2224()bacabcx(0)（1）顶点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；4(,241,)bac（3）准线方程是 .1cya103.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。104. 抛物线的切线方程(1)抛物线 上一点 处的切线方程是 .pxy20(,)Py00()ypx第 18 页（共 30 页）（2）
30、过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .pxy20(,)Py00()ypx（3）抛物线 与直线 相切的条件是 .()0AxBC2BAC105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线 , 的交点的曲线系方程是 ( 为参数).1)0f2f 12(,),)fxf(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 ,其中 .22yakbmakb当 时,表示椭圆; 当 时,表示双曲线.2minkab 2min,106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或121()()ABxy22 211 2(1)4|tan|tABxx co （弦端点 A ，由方程 消去 y得到 ，,(,yB0)y,(Fbk0bxa, 为直线 的倾斜角，
31、为直线的斜率， ）. 0 21211|()4x107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 .(,)Fxy0(,)Px0-,Fxy（2）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是AByC.22(, )0ABC特别地，曲线 关于原点 成中心对称的曲线是 .()xyO(,)xy曲线 关于直线 轴对称的曲线是 .,0Fx0F曲线 关于直线 轴对称的曲线是 .y,曲线 关于直线 轴对称的曲线是 .(,) ()曲线 关于直线 轴对称的曲线是 .xy,yx108.圆锥曲线的第二定义：动点 M到定点 F的距离与到定直线 的距离之比为常数 ，若le，M 的轨迹为椭圆；若 ，M 的轨迹为抛物线；若
32、 ，M 的轨迹为双曲线。01e1e1e109证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；第 19 页（共 30 页）（3）转化为线面垂直.112证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影
33、的斜线垂直.113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。114证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律： = ab(2)加法结合律：( ) = ( )cabc(3)数乘分配律：( )= 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体
34、的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量 、 ( )， 存在实数 使 = ab0abab三点共线 .PAB、 、 |APBtA(1)OPtAB、 共线且 不共线 且 不共线.|CDCD、 BCD、118.共面向量定理 向量 与两个不共线的向量 、 共面的 存在实数对 ,使 pabxypayb推论 空间一点 P位于平面 MAB内的 存在有序实数对 ,使 ，Mx或对空间任一定点 O，有序实数对 ，使 .,xyPA119.对空间任一点 和不共线的三点 A、B、C，满足 （OxyBzOC） ，则当 时，对于空间任一点 ，总有 P、A、B、C 四点共面；当 时，xy
35、zk1 1k若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面四点共面 与 、 共面 、 、 、 DD（ 平面 ABC）.(1)xy120.空间向量基本定理 如果三个向量 、 、 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组abcbx，y，z，使 x y z p第 20 页（共 30 页）推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使 .Pxyz121.射影公式已知向量 = 和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量.作 A点在 上的射影 ，作 B点alel lA在 上的射影 ，则l|cos
36、,AB122.向量的直角坐标运算设 ， 则a123(,)b123(,)(1) ；ab(2) ；123,(3) (R)；()(4) ；ab123123.设 A ，B ，则,xyz2(,xyz= .BO211,)124空间的线线平行或垂直设 ， ，则1(,)azr2(,bzr；bP012xyz.arr12120x125.夹角公式 设 ， ，则 .123(,)b123(,)123221cos,abb推论 ，此即三维柯西不等式.2213()aab126. 正棱锥的侧面与底面所成的角为 ，则 。csS底 面侧 面特别地，对于正四面体每两个面所成的角为 ，有 。1o3127异面直线所成角=cos|,|ab
37、r1212| |xyzr（其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量）09oab,rab,128.直线 与平面所成角AB第 21 页（共 30 页） 21ABDC( 为平面 的法向量).sin|ABmarc129.若 所在平面 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面 成的CABACB角分别是 、 , 为 的两个内角，则12、.22sii(siin)s特别地,当 时,有 .90AB221isin130.若 所在平面 与过 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面 成的角分别是 、 , 为 的两个内角，则12、 O.222tant(sini)taB特别地,当 时,有 .90
38、21sini131.二面角 的平面角（根据具体图形确定是锐角或是钝角）l或 （ ， 为平面 ， 的法向量）.cos|marnco|mar132.三余弦定理设 AC是 内的任一条直线，AD 是 的一条斜线 AB在 内的射影，且 BDAD，垂足为 D，设 AB与 (AD)所成的角为 ， AD与 AC所成的角为 ， AB与 AC所成的角12为 则 .1coscos133. 三射线定理若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 , ,与二面角的 12棱所成的角是 ，则有 ;222112sinsinisincos(当且仅当 时等号成立).121|80) 90134.空间两点间的距离公
39、式 若 A ，B ，则 =1(,)xyz2,xyz,ABd|.2211()135.点 到直线 距离Ql(点 在直线 上， 为直线 的方向向量， = ).22(|)|habPlalbPQ136.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为|CDnd12,l nCD、 12,ld间的距离).12,l137.点 到平面 的距离 B第 22 页（共 30 页）（ 为平面 的法向量， ， 是 的一条斜线段）.|ABndAB138.异面直线上两点距离公式 .22coshmn.,dEF（ ）.22sA(两条异面直线 a、b 所成的角为 ，其公垂线段 的长度为 h.在直线 a、
40、b 上分别取两点E、F， , , ).AFnd139.三个向量和的平方公式22() 2ccabca2|os,|os,2|cos,ab bca 140. 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 ，夹角分别为l 123l、 、,则有 .123、 、 2213l213c1iniin（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理 .osS(平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平面所成锐二面角的为 ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是 和 ,它的直截面的周长和面积lS斜 棱 柱 侧 V斜 棱 柱分别是 和 ,则 ； 。1cS
41、1c斜 棱 柱 侧 1Vl斜 棱 柱143作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方） ；相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比；相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比145.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数 V、棱数 E和面数 F).2VFE（1） =各面多
42、边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 的多边形，则面数 F与棱n数 E的关系： ；1n（2）若每个顶点引出的棱数为 ，则顶点数 V与棱数 E的关系： .m12mV第 23 页（共 30 页）146.球的半径是 R，则其体积 ,其表面积 34VR24SR147.球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 (正四面体高a612a的 ),外接球
43、的半径为 (正四面体高 的 ).63a1464634148柱体、锥体的体积（ 是柱体的底面积、 是柱体的高）.VSh柱 体 h（ 是锥体的底面积、 是锥体的高）.13锥 体149.分类计数原理（加法原理）： .12nNm150.分步计数原理（乘法原理）： .151.排列数公式 ： = = .( ， N *，且 )规定mnA)() ！ )(mn.1!0152.排列恒等式 :(1） ;（2） ;1()mnnA1nnA（3） ; （4） ; （5） .1mn 1mm(6) .!23!()!153.组合数公式： = = = ( N *， ，且mnCA21！ ！ )n ).n154.组合数的两个性质:(
44、1) = ;(2) + = .规定 .nmC1m10nC155.组合恒等式（1） ;（2） ;1mmnn1nn（3） ; （4） = ;1Cr0（5） .12nrr C(6) .rnnn 210 第 24 页（共 30 页）(7) .1420531 nnnn CC(8) .132(9) .rnmrnrmnr 010(10) .CC2222 )()()( 156.排列数与组合数的关系: .nnA！157单条件排列（以下各条的大前提是从 个元素中取 个元素的排列）（1） “在位”与“不在位”某（特）元必在某位有 种；某（特）元不在某位有 （补集思想）1mn 1mnA（着眼位置） （着眼元素）种.1mnA1n（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴： 个元在固定位的排列有 种.)(kkmn浮动紧贴： 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 种.k1注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有 k、h 个（ ） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组1互不能挨近的所有排列数有 种.A1（3）两组元素各相同的插空 个大球
