1、量子力学教案周世勋， 量子力学教程 ，高教出版社1.1 经典物理学的困难一、 经典物理学是 “最终理论 ”吗？十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明：机械运动（va (3)323x令： (4)202 )(21 VEEkk则（1） ， （2） ， （3）式可化为：xa (7)区Ixk313方程（5） ， （6） ， （7）的通解为：xa (10)xikxikeC113当我们用时间因子乘以上面三个式子，立即可以得出 中的第一项321,表示向右传播的平面波，第二项为向左传播的平面波，在 xa 的区域，当粒子以左向右透过方势垒，不会再
2、反射，因而中应当没有向左传播的波，也就是说 。0c下面利用波函数及其一阶微商在 x=0 和 x=a 处连续的条件来确定波函数中的其他系数。由： ：)0(21BA： ikik21：)(32aaiaiai Cee122：)(32aaikaikaikCeBe122可见，五个任意常数 满足四个独立方程，由这一组方程我们A,可以解得：ekekaiAiaik22111)()(sn（11）AekekCaiaiki2211)()(4（12）（11） ， （12）两式给出透射波振幅和反射波振幅与入射波振幅之间的关系。三、几率流密度、透射系数、反射系数1、几率流密度入射波： xikAeiJ12（注：几率流密度还可
3、写成几率密度与粒子速度的乘积，对于动量和能量确定的粒子，即 ）22kpJ入射波几率流密度：（ ）xikAe1入2J透射波几率流密度：（ ）xikCe1透2JD反射波几率流密度：（ ）xikeA1反2JR2、透射系数2122112 4sinkakACJD（13）3、反射系数DkakAJR 14sin22212由上两式可见， 和 都小与 1， 与 这和等于 1。这说明入射粒子一部分贯穿到DR的区域，另一部分被势垒反射回去。下面讨论 的情形。这时 是虚数。ax 0UE2令： ， 则 是实数32ik32103)(EU把 换成为 ，前面的计算仍然成立。经过简单计算后， （11）式可改写成：2kiAach
4、kiashkeiCi3132111其中 和 依次是双曲正弦函数和双曲余弦函数，其值为shc22xx ece透射系数 的公式（13）式可改写为： 23132114kashkD如果粒子能量比势垒高度小很多，即 ，同时势垒高度 不太小，以至于0UEa，则 ，此时 ，于是13akakake3323akesh443213akeD因为 和 同数量级， 时， 或（ ）为恒大于 1 的数值，1k313ak432ake13k所以当 足够大时a3aEUkeD)(202003其中 ，上式给出了 时，粒子透过方势垒的几率。对于任2160意形状的势垒，我们可以把上式加以推广，写成： 210)(0xdxEUeD即我们可以
5、认为是透过许多方势垒的几率的乘积。 （见书 50 页图 17）四、微观粒子和宏观粒子经势垒散射的讨论1、若 ，宏观粒子完全穿透势垒，无反射，而微观粒子既有穿透的可能，0E又有反射的可能。2、若 ，宏观粒子完全被反射，不能穿透势垒，而微观粒子既有反射的可0U能，又有透射的可能。这种粒子在能量小于势垒高度时，仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。按经典理论，隧道效应是无法理解的，因为当粒子进入到势垒内部时，而一个经典粒子的总能量 又等于动能与势能的和，因此粒子的动能0UEE将小于零。动量（ ）将是虚数，这自然是不允许的。但按照量02Up子力学的概念，这一现象是不可理解的，这是由于微观粒子具有被动性的表现
6、。这可用光波在介质表面的反射与折射做类比。注：隧道效应是一种微观效应。参见书第 49 页的表作业：书 53 页 2.7小结 书 50-52第三章 量子力学中的力学量正如前面所说的，由微观粒子的波粒二象性，我们必须采用新的方式来表示微观粒子的力学量算符3.1 表示力学量的算符一 .算符1.定义：算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号通俗地说，算符就是一种运算符号。我们通常用上方加“ ”的字母来表示算符，例如： 它们都称为算符。ixdPF,3,2.算符的作用算符作用在一个函数 u 上，使之变成另一个新的函数 v，例如：vdxu,是微商算符。又如 x 也是一个算符，它对函数 u 的作用是与
7、 u 相乘，即 xu=xu=v,还有也是一个算符，把它作用在函数 u 上则有： 即 是一个开平方的运v算符号，可见，算符并不神秘，x,3,-1 等都可以看作是算符。二 .算符的运算规则1.算符相等：如果 ，则 uQP其中 u 为任意函数，注意：这里 u 必须是任意的函数，如果上面前一式中只对某一个特定的函数，我们就不能说算符 和 相等。P例如： xdx22)(,)(但 ： 而.算符相加：若 ，则uQF即如果把算符 作用在任意函数 u 上，所得到的结果和算符 、 分别作用PQ在 u 上而得到的两个新函数u，QU 之和相等，则我们说算符 等于算符 与F之和.Q且 （满足加法交换律）AB（满足加法结
8、合律）CBA)(.算符相乘：若 ，则uFQP例如： ，又如yx2 dxdxQP,如果同一算符 连续作用 n 次，则写作 ，例如： n )(3uuP.算符的对易关系如果 ， 不 对 易与 对 易与P0注意：一般来说，算符之积并不一定满足对易律，即一般地 Q例如：x 与 就不对易，即 dx )(,xudxdx但是，在某些情况下，算符之积满足对易律，例如：X 和 是对易的，yyuxuyx另外，如果算符 和 对易， 和 对易，则 和 不一定对易，例如：xABCA和 对易的， 和 对易，但 x 和 都不对易。dydyxd有了这些规定，我们就可以象普通代数中那样对算符进行加、减和乘积运算了，但是必须记住有一点是与代数运算不同的，即我们不能随便改变各因子的次序（因为两个算符不一定对易） ，例如： 22)( BABA 除非我们已经知道与对易，否则不能轻易地把上式写成等于 .2BA三 .线性算符若 2121)( ucucQQ则称 为线性算符，其中 为两个任意函数， 是常数（复数） 。, 21,c
