1、1量子力学 II教案授课时间 2006.11.14 10:00-12:00 第 18 次课 授课章节 第十二章 散射复习，习题课 任课教师 及职称 孟庆田 教授教学方法与手段 启发式讲授，多媒体课件 课时安排 2 学时使 用 教 材 和主 要 参 考 书曾谨言：量子力学导论北京大学出版社周世勋：量子力学教程人民教育出版社教学目的与要求：掌握量子跃迁和散射理论各部分的知识点。教学重点，难点：教学内容：学习要点一、量子态随时间的演化对 Hamilton 不含时的体系，Schrdinger 方程 )()(tHti的解为 )0()()(/itetU若采取能量表象，则有 nntiEat/)(二、对于 H
2、amilton 含时的体系，存在瞬态本征值方程 )()()()( tRttRtHmmS-方程的一般解可以表示为2)()(exp)()(0tRtdEitCt mtmm而绝热近似解可写为 )()(exp)(0ttditantnn 其中 .)(tinneta且为实数的 Berry 绝热相 可写为)(tnt nnn tRtdi0 )(),(三、量子跃迁几率对于含时 Hamilton 体系，体系的状态可以写成某一力学量完全集 F 本征态的叠加，即ntiEnkeCt)()(则在时刻 t 去测量力学量 F 得到 Fn的几率为 2)(ttPnkk而上式也是体系从初始状态 跃迁到 态的跃迁几率。kn而跃迁速率可
3、以写为 2)(d)(tCtPwnknknk四、含时微扰论含时微扰论的一级近似解为 tHeitCktikd1)(0有简并的情况下跃迁几率为 mnllnPP,12与不含时微扰的关系对长时微扰 ,kkEH)0(对短时微扰 .22 )(sin)(kk TtP3五、黄金规则单位时间的跃迁几率（跃迁速率）为 kkkEHw2从初态 到 附近一系列可能末态的跃迁速率之和为kkE 2)()(dkkkE此公式称为 Fermi 黄金规则六、能量-时间测不准关系 2t意义: 能量分辨和时间分辨是不可能同时达到高精度要求的。七、光的吸收与受激辐射此时微扰项 tWHkcos跃迁几率 )2/(4)(2 kkktP跃迁速率
4、cos202 kkkEDw如入射光是非偏振光，光偏转的方向是完全无规的，此时可把 换为它对空间各方向的平均2cos值，此时 )(6202 kkkEDw非偏振自然光引起的跃迁速率，要对各成分贡献求和，从而有 )(342 kkkre部分与分子的性质密切相关。2kr八、自发辐射的 Einstein 理论由光的吸收的跃迁几率公式 )(342 kkkrew可以给出吸收系数的公式4234kkreB并且可证明受激辐射系数等于吸收系数。而对于自发辐射系数，Einstein 利用热平衡和统计物理的知识，与黑体辐射理论相结合，得到 232 |4kkrceA九、散射现象的描述粒子通过介质时 xej)0(1. 散射的
5、量子力学描述中心势作用下的 波函数在 处的渐近行为是rrefikikz)(散射截面（又称微分截面或角分布）与散射振幅的关系 2)(d1)(fnji总截面 。dsin)(220ft2. 分波法是在中心力场作用下粒子散射截面一个普遍计算方法。通过对中心力场中守恒量的分析，得出了入射波按守恒量的本征态展开 )(21)(4 0)2()2(0i llkrilkril lrkz Yeie 考虑到散射波函数 与上式形式上的相似性，可以求得中心力refikikz)(场中径向波函数的 l 分波的表达式 )(2)(12(4)( krharjilkrRlll（入射波） （散射外行波）或 ikreailkrR lkr
6、ilkrilll 2)1()2()( ()2(5考虑到弹性散射中的几率守恒，有 )2sin()12(4)( llrl lkrekR 这就是求解 分波的径向方程l 0d122 lRrUrlkr）（）（时 所应满足的边界条件。lR最后得出散射振幅、微分截面及总截面用各分波的相移 来表示的普遍表达式：lllt lil lilkYePikf ll202 200sin)1(4)()( cos1)(213. 光学定理按照上面的第一式，且 ，有1)(lP02sin)1()(Iml lkf 与式 lltk202sin)1(4比较，得 )(Imfkt上式就是著名的光学定理。它给出向前散射振幅 与总截面的关系。)
7、0(f十、Lippman-Schwinger 方程由 Green 函数的定义式 )(),(2rrGk可知，波函数6)(),(d2)(3rVrGr是方程 )()(22rrk的一个解。则散射问题归结为求解下列积分方程 )()(),d2)(sc3rrVGeririk此方程就是 Lippman-Schwinger 方程。十一、散射问题的 Born 一级近似利用留数定理，可以求得 rerGik4)(从而有解 )(d2)(3rVreerikrik 这就是方程 )()(22rrk满足边界条件 referikrik),()( 的散射问题的 Born 一级近似。当 时，r )(d2)( )(3sc rVerrk
8、iikf)(),(32f riq可选择 方向为 轴方向，采用球坐标系，从而得出qz702dsin)()( rqVrqf而散射截面为 0242 dsin)()( rqrqf比较 Born 近似法和分波法，一般说来,Born 近似较适用于高能粒子散射，而分波法较适用于低能粒子散射，因为此时只需考虑 l 较小的那些分波。十二、全同粒子的散射（1）无自旋的不同粒子之间的碰撞微分截面 22)()(ff（2）无自旋的两个全同粒子之间的碰撞微分截面 )()()()( *22 ffff（3）自旋为 1/2 的全同粒子之间的碰撞 态对 于 态对 于 1,)()( 0210 Sf若入射电子束与靶电子均未极化，即自旋方向是无规分布的。统计说来，有 1/4 几率处于单态，3/4 几率处于三重态。因此微分截面为 )()()21)()(4341)()()( *2 2210 ffff8量子力学 II教案复习思考题、作业题：全面复习下次课预习要点准备考试实施情况及教学效果分析学生复习课听课认真，所到人数很齐，效果良好学院审核意见学院负责人签字 年 月 日
