1、 3数字信号处理教程 课后习题及答案 4目录 第一章 离散时间信号与系统 第二章 Z变换 第三章 离散傅立叶变换 第四章 快速傅立叶变换 第五章 数字滤波器的基本结构 第六章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第七章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法 第八章 数字信号处理中有限字长效应 5第一章 离散时间信号与系统 1 .直接计算下面两个序列的卷积和 ) n ( h * ) n ( x ) n ( y = 请用公式表示。 分析： 注意卷积和公式中求和式中是哑变量m（ n 看作参量） ， 结果 ) (n y 中变量是 n, ; ) ( ) ( ) ( ) ( )
2、( = = = = m m m n x m h m n h m x n y分为四步 （1）翻褶（ -m ） ， （2）移位（ n ）,（3）相乘， ; ) ( ) ( 4 n y n n y n 值的 ，如此可求得所有 值 的 ）相加，求得一个 （ 围的不同 的不同时间段上求和范 一定要注意某些题中在 n 00 0, 0 1 () 0 , , () 0, n nn an N hn n nn xn nn = = 其他 6如此题所示，因而要分段求解。 2 .已知线性移不变系统的输入为 ) n ( x ,系统的单位抽样响应 为 ) n ( h ,试求系统的输出 ) n ( y ,并画图。 ) ( 5
3、 . 0 ) ( , ) 1 ( 2 ) ( ) 4 ( ) ( 5 . 0 ) ( , ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 1 ( 3 4 3 5 n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n = = = = = = = = 分析： 如果是因果序列 ) (n y 可表示成 ) (n y = ) 0 ( y ， ) 1 ( y ， ) 2 ( y ，例如小题（2）为 ) (n y =1，2，3，3，2，1 ; ) ( ) (
4、* ) ( , ) ( ) ( * ) ( m n x n x m n n x n x n = = ; 卷积和求解时， n 的分段处理。 () + = + = + = = = = + n N n m m n n n N n m m n n m n n m m n h m x n y N n n 1 1 1 N - 0 0 0 ) ( ) ( ) (, 1 ) 3 ( 全重叠 时 当 () () () () = = = = + + + , ) ( , 1 0 0 0 1 1 1 n n N N n N n n N n n n N n y = = = m m n h m x n h n x n y
5、 ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( : 解 0 ) ( ) 1 ( 0 = n y n n 时 当, 1 ) 2 ( 0 0 部分重叠 时 当 + N n n n () = = = = = = n n m m n n n n m m n n m n n m m n h m x n y 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( () ( ) = = + + + , 1 0 0 0 0 1 1 1 n n n n n n n n () ) ( , 1 ) ( 0 0 = + = n n n y n n 73 .已知 1 0 , ) 1 ( ) ( = = = = = = = 1 ) (
6、 1 1 ) ( 1 ) ( * ) ( ) ( 1 0 , ) 1 ( ) ( ) ( ) ( : 1 时 当 时 当 解 8 ； 为 为互素的整数）则周期 、 （有理数 当 , 20 Q Q P Q P = 当 = 0 / 2 无理数 ，则 ) (n x 不是周期序列。 。 周期为 是周期的 解： 14 , 3 14 7 3 / 2 / 2 ) 8 7 3 cos( ) ( ) ( 0 = = = n A n x a。 是周期的，周期是 6 13 6 3 13 / 2 / 2 ) 3 13 sin( ) ( ) ( 0 = = = n A n x b是非周期的。 是无理数 = = + =
7、= 12 / 2 6 sin 6 cos ) 6 sin( ) 6 cos( ) ( ) ( 0 ) 6 ( T n j n n j n e n x c n j 5. 设系统差分方程为: ) ( ) 1 ( ) ( n x n ay n y + =其中 ) (n x 为输入, ) (n y 为输出。当边界条件选为 0 ) 1 ( ) 2 ( 0 ) 0 ( ) 1 ( = = y y试判断系统是否是线性的?是否是移不变的? 分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等） ， 则递推求解必须向两个方向进行（n 0 及 n + = = = x ay y x ay y n i
8、 n x n ay n y n n x a y 处递推， 向 按 ， 设 ， 时 解 9 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 2 ( ) 2 ( 1 ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 2 ( ) 0 ( ) 0 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 0 ) 0 , 0 ) ( 0 ) ( ) 1 ( ) ( = = = = = = + + = + + = + = ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( 1 ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( 0 ) ) 1
9、 ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 按 ， 处递推 向 设 0 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 2 ( 0 ) 0 ( ) 0 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( ) ( 0 ) 1 , ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 = = = = + + = = = + = x y a y x y a y n x n y a n y n y n ii n a n y a n x n ay n y n n 按变换后的 ， 处递推 向 变系统。 条件下，系统不是移不 以在 不是移一位的关系，所 与 是
10、移一位的关系，但 与 结果可知， 由 可得： 综上 0 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) 1 ( ) ( ) ), 0 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( 1 2 1 2 2 2 2 = = = + + = y n y n y n x n x b a n u a n y ii i n x n y a n y n 10 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( 1 ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( 0 ) ) 1 ( ) ( ) ( ) a x ay y a x ay y x ay y n
11、i n n n x c = + = = + = = + = + = 处递推 向 设 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 1 3 3 3 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 2 ( ) 0 ( ) 0 ( 1 ) 1 ( 0 ) 1 , ) ( ) ( ) 1 ( ) ( = = = = = = + = a x y a y a x y a y n ii n a n y a n x n ay n y n n 处递推 向 条件下是线性系统。 所给系统在 可得： 综上 0 ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ), 1 , ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( 2 1 1 3
12、3 3 3 = + = = = + + = y n y n y n u a n u a n y ii i n a n x n y a n y n n n6.试判断: 是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统? 分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 n x T a n x T a n x a n x a T + = +移不变性：输入与输出的移位应相同Tx(n-m)=y(n-m)。 = = n m m x n y ) ( ) ( ) 1 ( 解：() () = = = n m m x n x T n y 1 1
13、1 ) ( () () () m x n x T n y n m = = = 2 2 2() () () () = + = + n m n bx m ax n by n ay 2 1 2 1 11 () () () () = + = + n m n bx n ax n bx n ax T 2 1 2 1() ( ) () ( ) n by n ay n bx n ax T 2 1 2 1 + = +系统是线性系统 () 2 ) () 2 ( n x n y = 解： () ( ) 2 1 1 1 ) ( n x n x T n y = = () () () 2 2 2 2 n x n x T
14、n y = = () () () ( ) 2 1 2 1 2 1 n bx n ax n by n ay + = + () ( ) () () () () () () () () () () n by n ay n bx n ax T n x n abx n bx n ax n bx n ax n bx n ax T 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2+ + + + = + = + 即() () ()() () () 系统是移不变的 即 = = = m n y m n x T m n x m n y m n x m n x T 2 2系统不是线性系统 127. 试判
15、断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变的？ ) ( 0 n n k ) ( (4) ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( (2) ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 0 n x e n x T n n x n x T k x n x T n x n g n x T = = = = =分析： 注意：T x(n) = g(n) x(n) 这一类表达式，若输入移位m,则有x(n)移位变成 x(n-m),而g(n)并不移位，但y（n）移位m 则x（n）和g(n)均要移位m 。 () + = 7 9 2 sin ) ( ) 3 ( n x n y 解： () () ) 7 9 2 sin(
16、) ( ) 7 9 2 sin( ) (2 1 2 1 + + + = + n bx n ax n by n ay () ( ) () () () () n by n ay n bx n ax T n bx n ax n bx n ax T 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 7 9 2 sin( ) ( ) (+ = + + + = + 即有 系统是线性系统 () () ( ) ()() ( ) () () 系统是移不变的 即 = + = + = m n y m n x T m n x m n y m n x m n x T 7 9 2 sin 7 9 2 sin () ( ) 7 9 2
17、sin ) ( 1 1 + = n x n y () ( ) 7 9 2 sin ) ( 2 2 + = n x n y 13 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 n x bT n x aT n bx n g n ax n g n bx n ax n g n bx n ax T n x n g n x T + = + = + = + = 解： 系统是线性系统。 解： + = + = + = + = = = = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
18、 ) ( ) ( ) 2 ( 2 1 2 1 2 1 0 2 1 0 0 0 n x bT n x aT k x b k x a k bx k ax n bx n ax T k x n x T n n k n n k n n k n n k系统是线性系统。 () () ()() () () 系统不是移不变的。 即 = = m n y m n x T m n x m n g m n y m n x n g m n x T) ( ) ( () () () () 系统是移不变的。 即 = = = m n y m n x T e m n y e m n x T m n x m n x) ( ) ( 1
19、4 () () () ()( ) () () 系统不是移不变的。 即 = = = = = = m n y m n x T k x m n y k x m k x m n x T m n n k m n m n k n n k 0 0 08. 以下序列是系统的单位抽样响应 ) (n h ,试说明系统是否是 (1)因果的,(2)稳定的？ ) 4 ( ) 7 ( ) 1 ( 3 . 0 ) 6 ( ) ( 3 . 0 ) 5 ( ) ( 3 ) 4 ( ) ( 3 ) 3 ( ) ( ! 1 ) 2 ( ) ( 1 ) 1 ( 2 + n n u n u n u n u n u n n u n n
20、n n n 分析： 注意：0！=1，已知 LSI 系统的单位抽样响应，可用 = = M n h n ) ( 来判断稳 定性，用 h（n）=0，n0 来判断因果性。 不稳定。 是因果的。 时 当 解： + + = = = , 1 1 0 1 | ) ( |, 0 ) ( , 0 ) 1 (2 2 n n h n h n ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( 2 1 0 2 0 1 2 1 0 n x bT n x aT n n bx n n ax n bx n ax T n n x n x T + = + = + = 解： 15 稳定。 ！ ！ ！ 是因果的
21、。 时， 当 = + + + + + + + + + = + + + = = = 3 8 1 4 1 2 1 1 1 1 * 2 * 3 1 1 * 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 | ) ( |, 0 ) ( 0 ) 2 ( n n h n h n不稳定。 是因果的。 时， 当 + + + = = = 2 1 0 3 3 3 | ) ( |, 0 ) ( 0 ) 3 ( n n h n h n稳定。 是非因果的。 时， 当 = + + + = = 2 3 3 3 3 | ) ( | , 0 ) ( 0 ) 4 ( 2 1 0 n n h n h n系统是稳定的。 系统是因果的。 时，
22、 当 = + + + = = = 7 10 3 . 0 3 . 0 3 . 0 | ) ( | , 0 ) ( 0 ) 5 ( 2 1 0 n n h n h n系统不稳定。 系统是非因果的。 时， 当 + + = = 2 1 3 . 0 3 . 0 | ) ( | 0 ) ( 0 ) 6 ( n n h n h n系统稳定。 系统是非因果的。 时， 当 = = 1 | ) ( | 0 ) ( 0 ) 7 ( n n h n h n9列出下图系统的差分方程,并按初始条件 0 , 0 ) ( = n n y ，求输入为 ) ( ) ( n u n x = 时的输出序列 ) (n y ,并画图表示
23、。 分析： “信号与系统”课中已学过双边 Z 变换，此题先写出 H(z) 然后利用 Z 反变换 （利用移位定理）在时域递推求解；也可直接求出序列域的差分方程再递推求 16 解注意输入为u(n)。 解：系统的等效信号流图为： 1 ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( 4 1 ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 4 ) ( 4 ) 1 ( ) ( 4 4 1 1 1 ) ( ) ( 1 1 = + + = + + = + = + = x x y y n x n x n y n y n x n x n y n y z z z X z Y 由梅逊公式可得： 则( ) ) (
24、4 13 5 3 8 ) 4 1 ( ) ) 4 1 ( 4 1 1 ( 2 ) 1 ( ) ( ) 1 ( 4 1 ) ( ) 4 1 ( ) 4 1 4 1 1 ( 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( 4 1 ) 3 ( ) 4 1 ( ) 4 1 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 4 1 ) 2 ( 4 1 2 ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( 4 1 ) 1 ( 1 3 2 2 n u n x n x n y n y x x y y x x y y x x y y n n n = + + + + = + + = + + + = + + = + + = + + = +
25、 = + + = L M10. 设有一系统,其输入输出关系由以下差分方程确定 ) 1 ( 2 1 ) ( ) 1 ( 2 1 ) ( + = n x n x n y n y设系统是因果性的。 试求： 。 的响应 利用卷积和求输入 的结果 由 ； 该系统的单位抽样响应) ( e ) ( , a) ( (b)a) ( n j n u n x =分析：小题(a)可用迭代法求解 小题(b)要特别注意卷积后的结果其存在的 n 值范围。 17 2 ) 2 1 ( ) 2 ( 2 1 ) 3 ( ) 2 ( 2 1 ) 3 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 2 ( ) 1 ( 2 1 ) 2 ( 1 2
26、1 2 1) 0 ( 2 1 ) 1 ( ) 0 ( 2 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 1 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 ) 0 ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 ) ( ) 1 ( 2 1 ) ( = + + = = + + = = + = + + = = + + = = = = + = x x y h x x y h x x y h x x y h n n h n y n n x a n x n x n y n y 解： ) ( ) 1 ( 2 1 ) ( 2 1) 1 ( 2 1 ) ( ) 1 ( 2 1 ) ( 1 1 n n u
27、 n h n x n x n y n h n n + = = + + = () ) ( ) 1 ( 2 1 ) 2 1 ( ) ( ) 1 ( 2 1 1 ) 2 1 ( ) ( ) 1 ( 2 1 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 ) ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( * ) 1 ( ) 2 1 ( ) ( * ) 1 ( ) 2 1 ( ) ( * ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( ) 1 ( 1 1 n u e n u e e n u e n u e e e n u e n u e e e e n u e n u e n u e n u e
28、n u n u e n n u n h n x n y b n j j n n j n j j j n n j n j j n j n j n j n m n j m n j m n j n j n n j n + = + = + = + = + = + = = + = 18 。 解：根据奈奎斯特定理可知： 失真。 频谱中最高频率 无失真。 频谱中最高频率 ) ( 3 2 6 5 , 5 cos ) ( ) ( 3 2 6 2 , 2 cos ) ( 2 2 2 1 1 1 t y t t x t y t t x a a a a a a = = = = = = 。 表示 为零，试以 皆 之外
29、除区间 果假设输出信号 之外皆为零；如 除了区间 信号 又已知输入 之外皆为零； 除了区间 单位抽样响应 统的 已知一个线性时不变系 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 , , , , ) ( ) ( ) ( . 12 N N N N N N N n N n y N n N n x N n N n h 分析： 由于 = m m n h m x n y ) ( ) ( ) ( 可知 ) (n x 的非零范围为 3 2 N m N ， h(n-m) 的非零范围为 。 1 0 N m N 解：按照题意，在区间 1 0 N n N 之外单位抽样响应 ) (n h 皆为零；在区间 3 2 N
30、 n N 之外输入 ) (n x 皆为零, : , ) ( , 6 , . 11 其中 还原 理想低通滤波器 抽样后经 抽样频率为 有一理想抽样系统 j H a s = 19 1 0 3 2 ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( N m n N m n h N m N m x m n h m x n y m = 的非零空间为 的非零空间为 由 因此将两不等式相加可得： 3 1 2 0 N N n N N + + ， 在此区间之外， ) ( ) ( k x k n h 和 的 非零抽样互不重叠，故输出皆为零。由于题中给出输出除了区间 5 4 N n N 之外 皆为零，所以有： 3 1 5
31、2 0 4 N N N N N N + = + = = = = = 1 0 1 0 | ) ( | | ) ( | ) ( ) ( | ) ( | | ) ( | | ) ( | | ) ( | | ) ( | , ) 0 ( , 0 , 0 ) ( ) ( . 13 N k N k k h B n y n n y n x B n x n y k h B n y B n x N N n n n h n h 。 值有 某些 对 ，使 的序列 界值，即寻找一个满足 可能达到这个 ，同时请证明 值为 则输出的界 ， 如果 请证明： 或 的系统： 位抽样响应 一个具有下列有限长单0 ) ( , 0 0
32、 ) ( , ) ( ) ( * ) () ( ) ( * ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( 1 0 1 0 1 0 1 0 = = = = = = = = = = = = 。 当 当 也就是要求满足 ， 即要求 ， 由卷积和公式有 ， 满足即可 进一步看只要 ， 满足 时 最方便的是 ， 值使 题中要求某些 分析： n h n h n h n h B n x k h k h B k x k x k h y k h B y k h B y n k h B n y n N k N k N k N k 20 () = = = = = =
33、 = = = = = = = 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 | ) ( | | ) ( | | ) ( | ) 0 ( | ) ( | ) ( ) ( ) ( 0 ) ( , 0 0 ) ( , | ) ( | ) ( ) (| ) ( | | ) ( | | ) ( | | ) ( | | ) ( | | ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) , 0 ( , 0 ) ( N k N k N k N k N k N k k h B B k h k h y B n k h n k h k h n y n h n h B n h n h n x k h B n
34、y B k n x k n x k h n y k n x k h n y n y N n N n n h 因此于是凑一个序列 为达到这个界值我们 ， 则输出的界值 若 ， ，而 写成 因此，可以把 式中 证明：由于题中给出 21 第二章 Z变换 1 求以下序列的 z 变换，并画出零极点图和收敛域。 分析： Z 变换定义 = = = n n z n x z X n x Z ) ( ) ( ) ( ， n的取值是 ) (n x 的有值范围。Z变换的收敛域 是满足 = = M z n x n n ) (的 z 值范围。 解：(1) 由 Z变换的定义可知： n n n z a z X = = ) (
35、 n n n n n n z a z a = = + = 0 1 n n n n n n z a z a = = + = 0 1 ) )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 1 1 1 2 1 2 a z a z a z a az az a z a az az = = + = ) ( 2 1 ) ( ) 2 ( n u n x n = ) 1 ( 2 1 ) ( ) 3 ( = n u n x n ) 1 ( , 1 ) ( ) 4 ( = n n n x 为常数） 0 0 ( 0 , ) sin( ) ( ) 5 ( = n n n n x 1 0 , ) ( ) cos( )
36、( ) 6 ( 0 + = r n u n Ar n x n ) 1 | | ( ) ( ) 1 ( = a a n x n 22 = = = = z z 即： 收敛域： 0 2 1= = z z 零点为： 极点为：解:（3） n n n z n u z X = = ) 1 ( ) 2 1 ( ) ( = = 1 ) 2 1 ( n n n z = = 1 2 n n n z z z 2 1 2 = 1 2 1 1 1 = z2 11 2 z z 即： 收敛域： 0 2 1= = z z 零点为： 极点为：) ( 2 1 ) ( ) 2 ( n u n x n = ) 1 ( 2 1 ) (
37、) 3 ( = n u n x n 23解： (4) = = 1 1 ) ( n n z n z X = = 1 1 ) ( 1 ) ( n n z n n dz z dX 2 1 ) ( 1 1 z z z n n = = = ， 1 | | z 。 的收敛域为 故 的收敛域相同， 的收敛域和 因为 1 | | ) ( ) ( ) ( 1 ln ) 1 ln( ln ) ( = = z z X dz z dX z X z z z z z X = = = z 1 , 0 零点为： 极点为： z z 解：(5) 设 ) ( ) sin( ) ( 0 n u n n y = 则有 1 | | co
38、s 2 1 sin ) ( ) ( 2 0 1 0 1 + = = = z z z z z n y z Y n n ， 而 ) ( ) ( n y n n x = ) ( ) ( z Y dz d z z X = 1 | | , ) cos 2 1 ( sin ) 1 ( 2 2 0 1 0 2 1 + = z z z z z 因此，收敛域为 ： 1 z = = = = = = z z z z e z e z j j , 0 , 1 , 1 , 0 0 零点为： （极点为二阶） 极点为： 解：(6) ) 1 ( , 1 ) ( ) 4 ( = n n n x 为常数） 0 0 ( 0 , si
39、n ) ( ) 5 ( = n n n n x 1 0 ), ( ) cos( ) ( ) 6 ( 0 + = r n u n Ar n x n 241 , cos 2 1 ) cos( coscos 2 1 sin sin cos 2 1 cos 1 cos ) ( ) ( ) sin( sin ) ( ) cos( cos ) ( sin ) sin( cos ) (cos( ) ( ) cos( ) ( 2 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 + = + + = = = + = z z z z z z z z z z z Y n u n n u n
40、 n u n n n u n n y 设 。 ： 的收敛域为 则 而 的收敛域为 则| | ) (cos 2 1 ) cos( cos ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 2 0 1 0 1 r z z X z r r z r z A r z Y A z X n y Ar n x z z Y n + = = = 2 . 假如 ) (n x 的 z 变换代数表示式是下式，问 ) (z X 可能有多少 不同的收敛域。 ) 8 3 4 5 1 )( 4 1 1 ( 4 1 1 ) ( 2 1 2 2 + + + = z z z z z X 分析： ） 要单独讨论 ， （ 环状 、 圆外
41、、 圆内 ： 有三种收敛域 ： 双边序列的收敛域为 ： 特殊情况有 ： 左边序列的收敛域为 ： 因果序列的收敛域为 ： 右边序列的收敛域为 ： 特殊情况有 ： 有限长序列的收敛域为0 0 , , 0 0 , , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 1 1 2 1 2 1 = = + + + z R z R n n R z n n R z n n z R n n z R n z n z n n n z x x x x x x解 : 对 X(Z)的分子和分母进行因式分解得 ) 4 3 1 )( 2 1 1 )( 2 1 1 ( 2 1 1 1 1 1 1 + + = Z jZ jZ ZX (Z
42、 )的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4 X(Z)的收敛域为 : ) 4 3 1 )( 2 1 1 )( 4 1 1 ( ) 2 1 1 )( 2 1 1 ( ) ( 1 1 2 1 1 + + + + = Z Z Z Z Z Z X 25(1) 1/2 (2 ) | Z | (3 ) | Z | 3 /4 ， 为右边序列， 请看 a az a z z X z z z X z z z X z z X 1 z , 1 ) ( ) 3 ( 4 1 z , 4 1 1 2 1 ) ( ) 2 ( 2 1 z , 4 1 1 2 1 1 ) ( ) 1 ( ) (
43、, , . 3 1 1 2 1 = = 反变换 的 部分分式法求以下 留数定理 用长除法分析： 长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按 z 的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分 母都要按 z的升幂排列。 部分分式法：若 X（z）用 z 的正幂表示，则按 X(z)/z 写成部分分 式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求 z 反变换可得 x（n） 。 留数定理法： 。 号（负号） ” 数时要取“ 用围线外极点留 ， 号（负号） ” 必取“ 用围线内极点留数时不 ） （ 。 现的错误 这是常出 ， 相抵消 ） （ 来和 不能用 ， 消 的形式才能相抵 的表
