1、1数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列 及其加权和表示题 1 图所示的序列。()n解： ()4)2()(1)2()2()4(3) 0.56xnnnn2. 给定信号： 5,4()0,x其 它（1）画出 序列的波形，标上各序列的值；()n（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 序列；()xn（3）令 ，试画出 波形；1()2)x1()xn（4）令 ，试画出 波形；n2（5）令 ，试画出 波形。3()x3()x解：（1）x(n)的波形如题 2 解图（一）所示。（2） ()3(4)(3)()3(1)6( 61264xnnn（3） 的波形是 x(n)的波形右移 2 位，在
2、乘以 2，画出图形如1()题 2 解图（二）所示。（4） 的波形是 x(n)的波形左移 2 位，在乘以 2，画出图形如2()xn2题 2 解图（三）所示。（5）画 时，先画 x(-n)的波形，然后再右移 2 位， 波形3()xn 3()xn如题 2 解图（四）所示。3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1） ，A 是常数；3()cos()78xnn（2） 。1()8je解：（1） ，这是有理数，因此是周期序列，周期是324,7wT=14；（2） ，这是无理数，因此是非周期序列。,1685. 设系统分别用下面的差分方程描述， 与 分别表示系统输()xny入和输出，判断系统是
3、否是线性非时变的。（1） ；()2(1)3(2)ynxnx（3） ， 为整常数；0（5） ；2()yx（7） 。0()nm解：（1）令：输入为 ，输出为0()xn 0 00()213(2)()()ynxxnyn 故该系统是时不变系统。 121 12()() ()()3()()ynTaxbnaxbnaxnb31111()()2()3(2)Taxnaxnx2bb1212()()()xTxn故该系统是线性系统。（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。令输入为 ，输出为 ，因为1()xn 10()ynxn1(y故延时器是一个时不变系统。又因为 12102012()()()()(
4、)TaxnbaxnbxnaTxbn故延时器是线性系统。（5） 2()ynx令：输入为 ，输出为 ，因为0()xn200()()(ynxy故系统是时不变系统。又因为 2121221()()() TaxbaxnbTxn因此系统是非线性系统。（7） 0()()nmyx令：输入为 ，输出为 ，因为0()xn 00()()n0()()nmyxy4故该系统是时变系统。又因为 1212120()()()()()nmTaxnbaxbaTxnb故系统是线性系统。6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1） ；10()()Nkynx（3） ；0()()kn（5） 。()xye解：
5、（1）只要 ，该系统就是因果系统，因为输出只与 n 时刻的和1Nn 时刻以前的输入有关。如果 ，则 ，因此系统是稳()xnM()y定系统。（3）如果 ， ，因此系统是稳定的。()xnM00()()21nkyxn系统是非因果的，因为输出还和 x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于 x(n)的未来值。如果 ，则 ，因此系统是稳定的。()xn()()xnxMynee7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应 和输入序列 如题 7 图()hn()xn所示，要求画出输出输出 的波形。()y解：解法（1）:采用图解法50()()()mynxhxhn图解法的过程如题 7 解图所示。解法
6、（2）:采用解析法。按照题 7 图写出 x(n)和 h(n)的表达式:()2)(1)2(3)xnnh因为 ()*()xxnAknk所以 1()2()(2 )yxnxn将 x(n)的表达式代入上式，得到 ()2()(1)0.5()21)(2) 4.5324ynnn8. 设线性时不变系统的单位取样响应 和输入 分别有以下三()h()x种情况，分别求出输出 。()yn（1） ；45(),hnRx（2） ；2()()2)（3） 。5()0.,nuxn解：（1） 45()*()()mynxhRn先确定求和域，由 和 确定对于 m 的非零区间如下：4Rm503,4n根据非零区间，将 n 分成四种情况求解：
7、6 0,()ny 03,1nm 3447,()8nny ,0最后结果为 0, ,7()1 38,4nyny(n)的波形如题 8 解图（一）所示。（2） 4 44()2()*(2)()2() 15ynRnRny(n)的波形如题 8 解图（二）所示.（3） 5 5()*() 0.()0.()0.()nmnmmmynxhRuRun y(n)对于 m 的非零区间为 。4, 0,()ny110.54,.5.0.(.5)0.2.5nnmnn 5410.5,() 3.n nnmy 最后写成统一表达式： 5()2.)(310.(5)nnyRu711. 设系统由下面差分方程描述：；11()()()22ynxn设
8、系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。解：令： ()xn11()()22hnn20,0(11,()()2,13,()()nhnh归纳起来，结果为 1()()(2nhun12. 有一连续信号 式中，cos,axtft20,fHz（1）求出 的周期。()at（2）用采样间隔 对 进行采样，试写出采样信号 的0.2Ts()axt ()axt表达式。（3）画出对应 的时域离散信号(序列) 的波形，并求出axt ()xn的周期。()xn第二章教材第二章习题解答81. 设 和 分别是 和 的傅里叶变换，试求下面序列()jwXe()jY()xny的傅里叶变换：（1） ；0()xn（2） ；（3） ；
9、()xy（4） 。n解：（1） 00()()jwnnFTxxe令 ，则 00,n00()() ()jwnjwnjnTxxeXe（2） * *()()()()jwjnjnnFe （3） ()()jwnTxx令 ，则n ()()()jwnjwnFTxxeX（4） *jjyYe证明： ()()mxnxn()*()jwnnFTyye令 k=n-m，则9()*() ()jwkjnkmjwkjkjjFTxnyxyeXeY2. 已知 01,()jwXe求 的傅里叶反变换 。j ()xn解： 00sin12wjned3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数) 如果单()(),jjwjHe位脉冲响应 为实序列，
10、试证明输入 的稳态响应()hn 0cosxnA为。00()()cos()jwyAHew解：假设输入信号 ，系统单位脉冲相应为 h(n)，系统输出为0()jwnxe 000 0()()*)()()jwnjwnmjwnjwmjmynhheheHe 上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。 000000000000() ()1()cos()21 ()2 ( jwnjwnjjwnjjjjjjwjwnjjwxnAAeeyeHeeHe上式中 是 w 的偶函数，相位函数是 w 的奇函数，()jHe10000000() ()()
11、(),1 2 ()cos(jwjwjjnwjwnjjwHeynAee4. 设 将 以 4 为周期进行周期延拓，形成周期序列,()0x其 它 x，画出 和 的波形，求出 的离散傅里叶级数 和傅nn()()xnA()Xk里叶变换。解：画出 x(n)和 的波形如 题 4 解图所示。()xn,23142200444()() cos)jknjknjknjkjjkjkXDFSxeee以 4 为周期，或者()k,1111 222 40244sin()2() jkjjkjkjkn jkjjjjeeX e 以 4 为周期()k 42()()()4 2 cos()()2jwkkjkkXeFTxnXwke5. 设如
12、图所示的序列 的 FT 用 表示，不直接求出 ，)xnjwX()jwXe完成下列运算：（1） ；0()jXe（2） ；jwd11（5） 2()jwXed解：（1） 703()()6jnXex（2） ()()24jwd（5） 7223()()8jnXex6. 试求如下序列的傅里叶变换:（2） ；211()()()2xn（3） 3,0au解：（2） 221()()21 cosjwjwnjjwnjjXexee（3） 3 01()()jwnjwnnjwjwXeaueae7. 设:（1） 是实偶函数，()xn（2） 是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下， 的傅里()xn叶变换性质。解：令 ()()jw
13、jwnnXexe12（1）x(n)是实、偶函数， ()()jwjwnnXexe两边取共轭，得到 * ()()() )jwjwnjwnjwnexexeXe因此 *()jwjXe上式说明 x(n)是实序列， 具有共轭对称性质。()jwXe()()cosinjwjnnexxwj由于 x(n)是偶函数，x(n)sinwn 是奇函数，那么()sin0nx因此 ()()cosjwnXex该式说明 是实函数，且是 w 的偶函数。j总结以上 x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换 是实、偶函()jwXe数。（2）x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于 x(n)是实序列， 具有共轭对称性质，即()jwXe*(
14、)jj()()cosinjwjwnnXexexj由于 x(n)是奇函数，上式中 是奇函数，那么()s()cos0nxn13因此 ()()sinjwnXexw这说明 是纯虚数，且是 w 的奇函数。j10. 若序列 是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: ()h()1cosjwRHe求序列 及其傅里叶变换 。hn()jwHe解：/21()1cos()()2,2()01,1,0()(),2,()()cosjwjwj jwnR eeneejwjwnjwjnHeeFThnhhHhe 其 它12. 设系统的单位取样响应 ，输入序列为()(),01nhau，完成下面各题：()2()xn（1）求出系统输出序
15、列 ；()yn（2）分别求出 、 和 的傅里叶变换。()xh解：（1） 2()*()()*2() nnyhxaun（2）14202()()1()()1jwjwnjwnj jwnjjjwjwjjXeeHauaeeYeXA13. 已知 ，式中 ，以采样频率 对02cosaxtft0fHz40sfHz进行采样，得到采样信号 和时域离散信号 ，试完成下面()axt ()axt ()xn各题：（1）写出 的傅里叶变换表示式 ；()axt ()aXj（2）写出 和 的表达式；n（3）分别求出 的傅里叶变换和 序列的傅里叶变换。()axt ()xn解：（1） 000()()2cos() jt jtaajtj
16、tjtXjxeded上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数 函数，它的傅里叶变换可以表示成： 00()2()()aXj（2） 0 2cos()aannxttTTtn0()2cos(), 0 1,2.5sfradTmf（3）15001()()2 ()aasks skXjXjkTk式中 280/ssfrads000000()()2co()2cos() ( 2)jwjwnjwnjwnnjjjnkXexeTeekk 式中 0.5Trad上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。14. 求以下序列的 Z 变换及收敛域：（2） ；(1)nu
17、（3） ；（6） ()0)n解：（2） 102()2()2,2nnnZTuuzzz（3） 1112(1)2()22 ,nnnnnZTuuzzzz（6） 90102()2 ,n nZTuz1616. 已知: 1132()Xzz求出对应 的各种可能的序列的表达式。()Xz解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）当收敛域 时，0.5z11()()2ncxnXZzdjA令11 15757()(0.)()(0.)2n nnzFzX zz ，因为 c 内无极点，x(n)=0；0n，C 内有极点 0，但 z=0 是一个 n 阶极点，改为求圆外
18、极点留1数，圆外极点有 ，那么12.5,z0.5 2()Re()e(),277) ()0. .1 3()2(1)n nz znxsFsFzzu A（2）当收敛域 时，.5z(57)0.2nzF，C 内有极点 0.5；0n 1()Re(),.53()2nxnszA17，C 内有极点 0.5，0，但 0 是一个 n 阶极点，改成求 c 外极点0n留数，c 外极点只有一个，即 2，()Re(),2(1)nxnsFzuA最后得到 1()312nxuA（3）当收敛域 时，z(57)0.2nzF，C 内有极点 0.5，2；0n 1()Re(),.5e(),3()2nxnszszAn0，由收敛域判断，这是一
19、个因果序列，因此 x(n)=0。或者这样分析，C 内有极点 0.5，2，0，但 0 是一个 n 阶极点，改成求 c 外极点留数， c 外无极点，所以 x(n)=0。最后得到 1()32()nxuA17. 已知 ，分别求：()(),0nxau（1） 的 Z 变换；（2） 的 Z 变换；()nx（3） 的 z 变换。au解：（1） 1()()(),nnXzZTauauzza（2）12()(),)dxzXz18（3） 100() ,1nnnZTauazzza 18. 已知 ，分别求：123()5Xzz（1）收敛域 对应的原序列 ；0.()xn（2）收敛域 对应的原序列 。2z解： 11()()2nc
20、xnXzdjA111233()5(0.5)2nnnzFzXz（1）当收敛域 时， ， 内有极点 0.5，0.520c,()Re(),.2nxnsFzc 内有极点 0.5,0,但 0 是一个 n 阶极点,改求 c 外极点留数,c 外极点只有 2, ,()Re(),2nxsFz最后得到 ()2()(1)nnnxu（2（当收敛域 时，zc 内有极点 0.5,2, 0,n()Re(),0.5e(),2xsFzsFz3.2(.)05nnc 内有极点 0.5,2,0,但极点 0 是一个 n 阶极点,改成求 c 外极点留,19数,可是 c 外没有极点,因此 , 最后得到()0xn.52)(nu25. 已知网
21、络的输入和单位脉冲响应分别为，()(),(),01,nnxauhbab试：（1）用卷积法求网络输出 ；()yn（2）用 ZT 法求网络输出 。解：（1）用卷积法求 ()yn， ,()()mnhxbua0n， ，1100() nnnnmmbyaba ()0y最后得到 1()()nabyu（2）用 ZT 法求 ()n11,()XzHzab()Yz1()()2ncynYzdjA令 111() ()nnzFzYzabab,c 内有极点0n,2011()Re(),e(),nnabaynsFzasz因为系统是因果系统， , ，最后得到0ny1()()nabu28. 若序列 是因果序列，其傅里叶变换的实部如
22、下式：()hn21cos(),1jwRaHew求序列 及其傅里叶变换 。()j解： 221cos10.5()() jwjjwRaaeHe 12 10.5().()() jjRzzz求上式 IZT，得到序列 的共轭对称序列 。hn()ehn11()()2eRcHzdjA21 10.5.()()n nRaFzzz因为 是因果序列， 必定是双边序列，收敛域取：()hneh。1az时， c 内有极点 ,a210.5. 1()Re(),()() 2nne azhnsFzzazn=0 时，c 内有极点 ,0，a21 10.5.()()nRazFzHzz21所以 ()Re(),e(),01ehnsFzasz
23、又因为 ()eehn所以 1,0().5,neha(),()20,(),ennnau01()jwnjwjwHeae3.2 教材第三章习题解答1. 计算以下诸序列的 N 点 DFT,在变换区间 内,序列定义01nN为（2） ；()xn（4） ；,0mRN（6） ；2()cos)x（8） ；0in(Nw（10） 。()xR解：22（2） 1,0,1)()()(1010 NknWnkXNNk （4） 1,0,)sin(1)( )1(10 kmekNjkmNnk 10,01122)(2)()(2)(10)(0)(2 NkmNkeeekmjNjkmNjjnkjNnkmj或 且 （6） knNjmjnnN
24、jNnk eeWkX 2210210 )(2cos)( （8）解法 1 直接计算 )(21)(sin() 0008 nRejRwx NjwnN102108 0)()(nknjjjwNnkeWkX )2()2(10220000 11kNwjjkNwjjNn nNwjwj ee）（）（解法 2 由 DFT 的共轭对称性求解因为 )(sin()cos()()( 0070 RwjnRenx NNjwImi78 xN所以23)()(Im)( 7078 kXnxjDFTnjxT即 )()21)()( 77708 kNkXjkjkX )1(12)1(1 2()2(2()2( 0000 kNwjjkNwjjk
25、NwjjkNwjj eeee 结果与解法 1 所得结果相同。此题验证了共轭对称性。（10）解法 1 1,0)(10NknWkXN上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解 X(k)。因为 )()(nRxN所以 )(1()nx NN等式两边进行 DFT 得到 )()(kWkXN故 1,2,1Nk当 时，可直接计算得出 X（0）0k 2)1()(1010 nWnNN这样，X（k）可写成如下形式： 1,2,1,)()(NkWkXN解法 2 24时，0k 2)1()(10NnkX时，0k NWNkXWnkNNnkn kkkN Nkk 101 )1(432 )()()()( )2()( 所以， ,1)(
26、kkXN即 1,2,10,)()(NkWkXN2. 已知下列 ，求()k()();xnIDFT（1） ;,2(),0jjNemXkk其 它（2）,2(),0jjNekmXkk其 它解：（1）25= 1,0),2cos(21 211)()()2()( )(20 NnmNe eeWkXIDFTnxmnNjmNj nmNjmnjkn （2） nmNjmnNj Weenx )(221)( 1,0),2si()()( Nnjnjn 3. 长度为 N=10 的两个有限长序列1,04()59nx21,04()59nx作图表示 、 和 。1n212()y解：、 和 分别如题 3 解图（ a） 、 （b） 、
27、（c）所示。1()x2()12()yxn14. 两个有限长序列 和 的零值区间为: ()xy0,8()2nn对每个序列作 20 点 DFT,即()(),01,9XkDFTxnkYy如果 ()(),01,9kkfnIDFT 26试问在哪些点上 ，为什么？()*()fnxy解：如前所示，记 ，而 。()()fxyn )()()( nyxkFIDTf )(nfl长度为 27， 长度为 20。已推出二者的关系为)(nfml nRnff )(20()(20只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足 所以)(nffl197),()(nynxfnfl15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率 ，信
28、号最50FHz高频率为 1kHZ，试确定以下各参数：（1）最小记录时间 ；minpT（2）最大取样间隔 ；ax（3）最少采样点数 ；minN（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的 N 值。解：（1）已知 HZF50sFTp02.51min（2） ffT.0213axminax（3） 415.03insNp（4）频带宽度不变就意味着采样间隔 T 不变，应该使记录时间扩大一倍为 0.04s 实现频率分辨率提高一倍（F 变为原来的 1/2）27805.4minsN18. 我们希望利用 长度为 N=50 的 FIR 滤波器对一段很长的数据()h序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过 D
29、FT 来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为 M=100 个采样点） ，但相邻两段必须重叠 V 个点，然后计算各段与 的 L()hn点（本题取 L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m 表示第 m 段()y计算输出。最后，从 中取出个，使每段取出的个采样点连()myn接得到滤波输出 。（1）求 V；（2）求 B；（3）确定取出的 B 个采样应为 中的哪些采样点。()myn解：为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列 的序列标号为()myn0，1，2，,127。先以 与各段输入的线性卷积 考虑， 中，第 0 点到()hn)(ylm)(ylm48 点（共 49 个点）不正确，
30、不能作为滤波输出，第 49 点到第 99点（共 51 个点）为正确的滤波输出序列 的一段，即 B=51。所)(ny以，为了去除前面 49 个不正确点，取出 51 个正确的点连续得到不间断又无多余点的 ，必须重叠 100-51=49 个点，即 V=49。)(ny下面说明，对 128 点的循环卷积 ，上述结果也是正确的。()myn我们知道 rlmmnRrnyy)()128()(12828因为 长度为)(nylmN+M-1=50+100-1=149所以从 n=20 到 127 区域， ，当然，第 49 点到第 99 点)()(nylm二者亦相等，所以，所取出的第 51 点为从第 49 到 99 点的
31、 。()myn综上所述，总结所得结论V=49,B=51选取 中第 4999 点作为滤波输出。()myn5.2 教材第五章习题解答1. 设系统用下面的差分方程描述：，311()(2)()483ynynxn试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解： 311()(2)()483ynynxn将上式进行 Z 变换 121()()()()YzzYzXz123()48Hz（1）按照系统函数 ，根据 Masson 公式，画出直接型结构如题()z1 解图（一）所示。（2）将 的分母进行因式分解()Hz29123()48zHz1()()2z按照上式可以有两种级联型结构：(a) 113()()24zHzz画出级联
32、型结构如题 1 解图（二） （a）所示(b) 113()()24zHzz画出级联型结构如题 1 解图（二） （b）所示（3）将 进行部分分式展开()z 13()()24zHz()11)(zABzz03()23()24Azz17()1()4Bzz03124Hzz30111070733()2424zHzz根据上式画出并联型结构如题 1 解图（三）所示。2. 设数字滤波器的差分方程为，()(2)()(1)()ynabynayxnabxnax试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解：将差分方程进行 Z 变换，得到 1221()()()()YzabzaYzXzabXzabz12()bH（1）按照 Massion 公式直接画出直接型结构如题 2 解图（一）所示。（2）将 的分子和分母进行因式分解：()Hz112()()azbHz按照上式可以有两种级联型结构：(a) 11()za21()zbH画出级联型结构如题 2 解图（二） （a）所示。(b) 11()zab
