1、第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算（一）教学目标：知识目标：空间向量；相等的向量；空间向量的加减与数乘运算及运算律；能力目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律教学难点：应用向量解决立体几何问题教学方法：讨论式教学过程： .复习引入师在必修四第二章平面向量中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？生既有大
2、小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母 a、b 等表示；用有向线段的起点与终点字母： AB师数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下生长度相等且方向相同的向量叫相等向量.师学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，其长度和方向规定如下：(1)|a|a|(2)当 0 时， a 与 a 同向；当 0 时， a 与 a 反向；当 0 时， a0.师关于向量的以上几种运算，请同学们回
3、忆一下，有哪些运算律呢？生向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：abba加法结合律：(ab)ca（bc ）数乘分配律：(ab) ab师今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用请同学们阅读课本 P26P 27.新课讲授师如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量例如空间的一个平移就是一个向量那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？生与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量师由以上知识可知
4、，向量在空间中是可以平移的空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示因此我们说空间任意两个向量是共面的 师空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？生空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：=a+b，ABO（指向被减向量） ，a P)(R师空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律生空间向量加法与数乘向量有如下运算律：加法交换律：a + b = b + a；加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）数乘分配律：(a + b) =a +b 师空间向量加法的运算律要注意以下几点：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向
5、量的起点指向末尾向量的终点的向量即： nnAAA14321 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：0114321 nn两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则例已知平行六面体 （如图） ，化简下列向量DCBA表达式，并标出化简结果的向量：； BCA； 21CA )(31ADB说明：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 ABCD的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体记作 ABCDABCD平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱解：
6、（见课本 P27）说明：由第 2 小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.课堂练习课本 P92 练习.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ，空间的平移包含平面的平移关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法.课后作业课本 P106 1、2、 预习课本 P92P 96，预习提纲：怎样的向量叫做共线向量？两个向量共线的充要条件是什么？空间中点在直线上的
7、充要条件是什么？什么叫做空间直线的向量参数表示式？怎样的向量叫做共面向量？向量 p 与不共线向量 a、b 共面的充要条件是什么？空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是什么？板书设计：3.1 空间向量及其运算（一）一、平面向量复习 二、空间向量 三、例 1定义及表示方法 定义及表示加减与数乘运算 加减与数乘向量 小结运算律 运算律教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2） 二、教学目标：1理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用四、教学过程：（一）复习：1空间向量的概
8、念及表示；（二）新课讲解：1共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作： 平行于 ，记作： ab/ab2共线向量定理：对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数 ，使 （ 唯一）,(0),/ab推论：如果 为经过已知点 ，且平行于已知向量 的直线，那么对任一点 ，点 在直lAaOP线 上的充要条件是存在实数 ，满足等式 ，其中向量 叫做直线 的l tOPAtBl方向向量。在 上取 ，则 式可化为 或 lBa (1)tAB当 时，点 是线段 的中点，此时 12tPA1()2和都叫空间直线的向量参数方程，是线段 的中点公式AB3向量与
9、平面平行：已知平面 和向量 ，作 ，如果直线 平行于 或在 内，那么我们说向aO量 平行于平面 ，记作： a/通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的4共面向量定理：如果两个向量 不共线， 与向量 共面的充要条件是存在实数 使,abp,ab,xypxy推论：空间一点 位于平面 内的充分必要条件是存在有序实数对 ，使PMAB,或对空间任一点 ，有 MPABOPxMAyB上面式叫做平面 的向量表达式（三）例题分析：例 1已知 三点不共线，对平面外任一点，满足条件 ，,C1255OOC试判断：点 与 是否一定共面？P,AB解：由题意： ，52OOC ，()()()
10、P ，即 ，APB2ABal PB AOa所以，点 与 共面P,ABC说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算【练习】：对空间任一点 和不共线的三点 ，问满足向量式O,ABC（其中 ）的四点 是否共面？PxAyBz1xyz,PABC解： ，(1) ，()OyzOCA ，点 与点 共面APBzP,B例 2已知 ，从平面 外一点 引向量CDA，,EkFKGkHD（1）求证：四点 共面；（2）平面 平面 /E解：（1）四边形 是平行四边形， ，ABCACB ，GO()()(kkkDBADOFEHEFH 共面；,（
11、2） ，又 ，()OkBAkGkAC /,/EFAGC所以，平面 平面 E五、课堂练习：课本第 96 页练习第 1、2、3 题六、课堂小结：1共线向量定理和共面向量定理及其推论；2空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式七、作业：1已知两个非零向量 不共线，如果 ，21,e21ABe， ，8AC213D求证： 共面,BOABCDHFGE2已知 ， ，若 ，求实数 的值。324,(1)82amnpbxmnyp0a/b,xy3如图， 分别为正方体 的棱 的中点，,EFGH1AC111,BDC求证：（1） 四点共面；（2）平面 平面 ,DBEF/HG4已知 分别是空间四边形 边 的中点，, ,
12、A（1）用向量法证明： 四点共面；,EFGH（2）用向量法证明： 平面 /B3.1.3空间向量的数量积（1）教学目标：1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教学过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；（二）新课讲解：1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ，则 叫做向量,abO,AaBbAO与 的夹角，记作 ；且规定 ，显然有 ；ab0,b,a若 ，则称 与 互相垂直，记作： ；,22向量的模：设 ，则有向线
13、段 的长度叫做向量 的长度或模，记作： ；OAaOAa|a3向量的数量积：已知向量 ，则 叫做 的数量积，记,b|cos,b,作 ，即 已知向量 和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量，ABalel作点 在 上的射影 ，作点 在 上的射影 ，则 叫做l BA向量 在轴 上或在 上的正射影；可以证明 的长度|cos,|4空间向量数量积的性质： （1） |,aeae（2） 0bD1 C1B1A1HGF ED CBA CDFEGACBe（3） 2|a5空间向量数量积运算律：（1） ()()()bab（2） （交换律） （3） （分配律） acc（三）例题分析：例 1用向量方法证明：直线和平面垂直的判定
14、定理。已知： 是平面 内的两条相交直线，直线 与平面 的交点为 ，且,mnlB,lmn求证： l证明：在 内作不与 重合的任一直线 ，,ng在 上取非零向量 ， 相交，,g,lm,n向量 不平行，由共面定理可知，存在n唯一有序实数对 ，使 ，(,)xygxy ，又 ，lll0,ll ， ， ，0g所以，直线 垂直于平面内的任意一条直线，即得 l l例 2已知空间四边形 中， ， ，求证： ABCDACBDABC证明：（法一） ()()2( 0（法二）选取一组基底，设 ，,abc ， ，即 ，ABCD)0acb同理： ， ，b ，ac ， ，即 ()0ABCADBC说明：用向量解几何题的一般方法
15、：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。例 3如图，在空间四边形 中， ， ， ， ，O864A5BC， ，求 与 的夹角的余弦值。45OAC60解： ，B AB|cos,|cos,CO8413586120462 ，3cos, 85|O 所以， 与 的夹角的余弦值为 AB3说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 易错写成 ，,135AC,45OACl mnm ngglOAB切记！五课堂练习：课本第 99 页练习第 1、2、3 题。六课堂小结：空间向量数量积的概念和性质。七作业：课本第 106 页第 3、4 题补充：1已知向量 ，向量 与 的夹角都是
16、，且 ，abc,ab60|1,|2,|3abc试求：（1） ；（2） ；（3） ()2()c()(向量的数量积（2）一、教学目标：向量的数量积运算利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角二、教学重点：向量的数量积运算利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法四、教学过程：考点一：向量的数量积运算（一） 、知识要点：1）定义： 设= ,则 （ 的范围为 ,abA）设 ， 则 。1(,)xy2(,)xyab注： 不能写成 ，或 的结果为一个数值。abAabA2）投影： 在 方向上的投影为 。3）向量数量积运算律： abA()()()ababAA()abcA注：没有
17、结合律 c二）例题讲练1、下列命题：若 ，则 ， 中至少一个为 若 且 ，则0abAb0abacAbc ()()acA 232)()94ab中正确有个数为 （ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个2、已知 中，A，B，C 所对的边为 a,b,c，且 a=3,b=1,C=30,则 = BCA。3、若 ， ， 满足 ，且 ，则 = abc0abc3,14abcabcA。4、已知 ，且 与 的夹角为 ，则 在 上的投影为 2。考点二：向量数量积性质应用一） 、知识要点： （用于判定垂直问题）0abA （用于求模运算问题）2 （用于求角运算问题）cosab二）例题讲练1、已知 ，
18、，且 与 的夹角为 ， ， ，23ab23cabdmab求当 m 为何值时 cd2、已知 ， ， ，则 。1ab233、已知 和 是非零向量，且 = = ，求 与 的夹角abab4、已知 ， ，且 和 不共线，求使 与 的夹角是锐4角时 的取值范围课堂练习1、已知 和 是两个单位向量，夹角为 ，则（ ） 等于（ 1e2 312e12(3)eA）A.-8 B. C. D.8952、已知 和 是两个单位向量，夹角为 ，则下面向量中与 垂直的是1e2 321e（ ）A. B. C. D. 1212e1e23、在 中，设 ， ， ，若 ，则 （ ABCaBCbAc0)(baABC）直角三角形 锐角三角
19、形 钝角三角形 无法判定)()()()(D4、已知 和 是非零向量，且 与 垂直， 与 垂直，求ab3ab754ab72与 的夹角。ab5、已知 、 、 是非零的单位向量，且 + + = ，求证：OABCOABC0为正三角形。3.1.5 空间向量运算的坐标表示课题 向量的坐标 教学目的要求 1理解空间向量与有序数组之间的 1-1 对应关系 2掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示主要内容与时间分配1投影与投影定理 25 分钟2分向量与向量的坐标 30 分钟3模与方向余弦的坐标表示 35 分钟重点难点1投影定理2分向量3方向余弦的坐标表示教学方法和手段 启发式教学法，使用电子教案一、向量在轴上的投影1几个概念(1) 轴上有向线段的值：设有一轴 ， 是轴 上的有向线段，如果数 满足uAB，且当 与轴 同向时 是正的，当 与轴 反向时 是负的，那么数 叫ABu做轴 上有向线段 的值，记做 AB，即 。设 e 是与 轴同方向的单位向量，则uue(2) 设 A、B、 C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有 BCA(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 和 b，任取空间一点 O，作 ，aa，规定不超过 的 称为向量 和 b 的夹角，记为bOAOB),(4) 空间一点 A 在轴 上的投影：通过点 A 作轴 的垂直平面，该平面与轴 的交点uuu叫做点 A 在轴 上的投影。
