1、优化系列（代数卷） 编写：江小谦方法篇第 1 讲 不等关系与不等式1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;a0)0CByAx当 B0 时, 表示直线 上方区域; 表示直线0CByAx 0CByAx的下方区域.0cByAx当 B0，y0，且 3x+4y=12，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值 【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将 lgx+lgy 转化成 lgxy 考虑解析x0，y0，3x+4y=12 ， ， lgx+lgy=lgxylg3 yxy43123241yx由 解得 当 x=2，y= 时，lgx+lgy 取得最
2、大值 lg3 yx430,y2题型 3.灵活运用基本不等式求取值范围例 3. 若正数 a，b 满足 ab=a+b+3，则 ab 的取值范围是_ 优化系列（代数卷） 编写：江小谦【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解解法一 由 a、bR +，由重要不等式得 a+b2 ，ab则 ab=a+b+32 +3，即 3， ab9 3)1)(3(0ab0解法二 a、b 为正数， ab=a+b+3 0，ab两边立方得 a3b33 4ab a2b23 4，ab0，ab9 解法三 原条件式变为 ab-3=a+b， a、b 均为正数，故 式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a
3、2+b2+2ab， a2+b22ab， a2b2-6ab+94ab，即 a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知 ab3， ab9 解法四 把 a、bR +看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab) 2-4ab0，即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0 ，ab-1=a+b+20 成立， ab9 解法五 由已知得 a(b-1)=b+3，显然 a1， ，13ba ，541)(5)(132bba 92即 ab 9 考点 2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例 1. 已知 ,abcR,求证: 22abc
4、abc.【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.解析 222,相加整理得 cc.当且仅当 ab时等号成立.优化系列（代数卷） 编写：江小谦考点 3 基本不等式在实际中的应用题型 1.处理恒成立的有关问题例 1. (2008中山)若 ,xyR,且 xyax恒成立 ,则 a的最小值是_【解题思路】分离系数得 令 求最大值即可a(,)yf解析: 事实上求函数 (,)xyf的最大值,即2(),)1xxyfy的最大值,运用基本不等式不难得到 2a.题型 2.处理函数应用题.例 2.(2008梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x千件,需另投入成本为 ()Cx.当年产
5、量不足 80 千件时, 21()03Cxx(万元);当年产量不小于 80 千件时,10545(万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润 L(万元) 关于年产量 x(千件) 的函数解析式;(2)年产量为多少千件时, 该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【解题思路】凑出基本不等式的形式.解析: (1)当 08x时, 2211()0.50540533Lxxxx当 时, ().14()24,83()01(),xxL(2)当 08x时, 2169503Lx,此时,当 60x时 , ()Lx取得最大值(6)95L(万元);当 时, 1)0()2201
6、xx此时, 当 1x时,即 1时, (L取得最大值 1000 万元.所以, 当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大 ,最大利润为 1000 万元.优化系列（代数卷） 编写：江小谦题型 3.处理数列应用题例 3. 某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007 年该乡从甲企业获得利润 320 万元,从乙企业获得利润 720 万元.以后每年上交的利润是：甲企业以 1.5 倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的 32.根据测算 ,该乡从两个企业获得的利润达到 2000 万元可以解决温饱问题,达到 8100 万元可以达到小康水平 .（1 ）若以 2007 年为第
7、一年, 则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2 ）试估算 2015 年底该乡能否达到小康水平？为什么？【解题思路】经审题抽象出数列模型解析（）若以 2007 年为第一年,则第 n 年该乡从这两家企业获得的利润为)1(,)3270)23(01ynnn= 111 )32(9)(480(948 nn= 9608 当且仅当 )32)nn,即 n=2 时,等号成立，所以第二年（2008 年）上交利润最少，利润为 960 万元.由 2000960=1040（万元）知：还需另筹资金 1040 万元可解决温饱问题.（）2015 年为第 9 年, 该年可从两
8、个企业获得利润 889)32(70)(32y 16820168320)(8 810520所以该乡到 2015 年底可以达到小康水平.优化系列（代数卷） 编写：江小谦训练篇1.满足线性约束条件 的目标函数 的最大值是 答（C ）23,0,xyzxy（A）1. （B ） . （C）2. （ D）3.32解析：当直线 过点 B(1,1)时，z 最大值为 2zxy2、若实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为 9，则实数30,21,xymxym（A） （B） （C）1 （D）2解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组
9、，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题3、不等式2601x的解集为 【答案】C（A） ,3 或 （B） 213xx ， 或 （C） 2xx ， 或 （D） 213x ， 或 【解析】 利用数轴穿根法解得-2x1 或 x3，故选 C4、若变量 x,y 满足约束条件 则 z=2x+y 的最大值为125xy（A）1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】C：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与与 的交点为最优解点，即为（1，1） ，当 时yx325y 1,xymax3z优化系列（代数卷） 编写：江小谦5、不等式 0 的解集为 【解析】A32x（A） （B） （C）
10、 （D）2x23x或3x本题考查了不等式的解法 ， ，故选 A302x23x6、不等式 的解集是（ ） 【答案 】 A2xA. B. C. D. (0)， (0)， (2)， (0)（ -， ） ，【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. ，解得 A。2x或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。7、设 x,y 满足约束条件260,xy则目标函数 z=x+y 的最大值是（A）3 （B） 4 （C ） 6 （D）8【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3 个顶点是 ，目标函数(3,0),(2)在 取最大值 6。zxy(6,0)【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为
11、封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.8、 设变量 满足约束条件 则 的最,xy0,2,xy32zxy大值为（A）0 （B）2（C）4 （D）6解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线 过点 B 时，在 y 轴上截距最小，z 最大3zxy由 B（2,2）知 4ma9、已知 x0， y0,x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 12解析：考察均值不等式优化系列（代数卷） 编写：江小谦，整理得28)2(yxyxyx 03242yxyx即 ，又 ，04010、已知 x0，y0,x
12、+2y+2xy=8 ，则 x+2y 的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 12解析：考察均值不等式 ，整理得28)(yxyxyx03242yx即 ，又 ，8yx02yx42yx11、 （10）设 则123log,ln,5abc（A） （B） (C) (D) cabca【解析 1】 a= 2= , b=In2= ,而 ,所以 ab,3log2121loge22l3log1ec= = ,而 ,所以 ca,综上 cab.25225l4l12、设 ，则 的最小值是0a b 1ab（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解析： w_w w. k#s5_u.c o*m 1ab21()abab2241()
13、()a当且仅当 ab1,a(ab)1 时等号成立如取 a ,b 满足条件.213、不等式 的解集是 。204x4|x解析：考查分式不等式的解法 等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x220x9优化系列（代数卷） 编写：江小谦14、若 ，则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的是，0,2ab,ab(写出所有正确命题的编号 ) ； ； ； ； 1ab2a32ab【解析】令 ，排除；由 ，命题正确；21bb，命题正确； ，命题22()4ab2a正确。15、若正实数 X，Y 满足 2X+Y+6=XY ， 则 XY 的最小值是 。答案：18（2010 山东文数） （14）已知 ，且满足 ，则 xy 的最
14、大值为 . 答,xyR134xy案：316、不等式 的解集是 . 203x21,2xx或【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法【解析】: ，数轴标根203x202101xxx得： 1,或17、不等式 的解集是 .2x18、设实数 x,y 满足 3 8，4 9，则 的最大值是 。 。2xyyx243解 考查不等式的基本性质，等价转化思想。 ， ，2()16,8xy21,3xy， 的最大值是 27。3241(),7xy43yx19.（本小题满分 12 分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含
15、 8 个单位的碳水化合物，6 个单优化系列（代数卷） 编写：江小谦位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？解：设该儿童分别预订 个单位的午餐和晚餐，共花费 元，则 。,xyz2.54xy可行域为12 x+8 y 646 x+6 y 426 x+10 y 54x0， xNy0， yN即3 x+2 y 16x+ y 73 x+5 y 27x0， xNy0， yN 作出可行域如图所示： 经试验发现，当 x=4,y=3 时，花费最少，为=2.54+43=22 元2.54zy
