1、1人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章 二次函数 1261 二次函数及其图像 .1262 用函数观点看一元二次方程 .6263 实际问题与二次函数 .6第二十七章 相似 6271 图形的相似 .6272 相似三角形 .7273 位似 .7第二十八章 锐角三角函数 8281 锐角三角函数 .8282 解直角三角形 10第二十九章 投影与视图 .12291 投影 12292 三视图 12第二十六章 二次函数 261 二次函数及其图像 二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为 f(x)=ax2+bx+c(a 不为 0)。其图像是一
2、条主轴平行于 y 轴的抛物线。一 般 的 ， 自 变 量 x 和 因 变 量 y 之 间 存 在 如 下 关 系 ： 一 般 式y=ax 2;+bx+c(a 0,a、 b、 c 为 常 数 )， 顶 点 坐 标 为 (-b/2a， -(4ac-2b 2)/4a) ； 顶 点 式y=a(x+m) 2+k(a 0,a、 m、 k 为 常 数 )或 y=a(x-h) +k(a 0,a、 h、 k 为 常 数 )， 顶 点 坐 标 为 （ -m， k） 对 称 轴 为 x=-m， 顶点 的 位 置 特 征 和 图 像 的 开 口 方 向 与 函 数 ax 的 图 像 相 同 ， 有 时 题 目会 指
3、出 让 你 用 配 方 法 把 一 般 式 化 成 顶 点 式 ； 交 点 式y=a(x-x1)(x-x2) 仅 限 于 与 x 轴 有 交 点 A（ x1， 0） 和 B（ x2， 0） 的抛 物 线 ； 重 要 概 念 ： a， b， c 为 常 数 ， a 0， 且 a 决 定 函 数 的 开 口 方 向 ， a0 时 ，开 口 方 向 向 上 ， a0, 所 以 b/2a 要 小 于 0， 所 以 a、 b 要 异 号 可 简 单 记 忆 为 左 同 右 异 ， 即 当 a 与 b 同 号 时 （ 即 ab 0） ， 对 称 轴 在 y轴 左 ； 当 a 与 b 异 号 时 （ 即 a
4、b 0 ） ， 对 称 轴 在 y 轴 右 。 事 实 上 ， b 有 其 自 身 的 几 何 意 义 ： 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 处 的 该 抛 物 线 切线 的 函 数 解 析 式 （ 一 次 函 数 ） 的 斜 率 k 的 值 。 可 通 过 对 二 次 函 数 求 导 得 到 。 决 定 抛 物 线 与 y 轴 交 点 的 因 素5.常 数 项 c 决 定 抛 物 线 与 y 轴 交 点 。 抛 物 线 与 y 轴 交 于 （ 0， c） 抛 物 线 与 x 轴 交 点 个 数6.抛 物 线 与 x 轴 交 点 个 数 = b2-4ac 0 时 ， 抛 物 线 与 x 轴
5、有 2 个 交 点 。 = b2-4ac=0 时 ， 抛 物 线 与 x 轴 有 1 个 交 点 。 _ = b2-4ac 0 时 ， 抛 物 线 与 x 轴 没 有 交 点 。 X 的 取 值 是 虚 数 （ x= -b b2 4ac 的 值 的 相 反 数 ， 乘 上 虚 数 i， 整 个 式 子 除 以 2a） 当 a0 时 ， 函 数 在 x= -b/2a 处 取 得 最 小 值 f(-b/2a)=4ac-b/4a； 在 x|x-b/2a上 是 增 函 数 ； 抛 物 线 的 开 口 向 上 ； 函 数 的 值 域 是y|y 4ac-b2/4a相 反 不 变 当 b=0 时 ， 抛 物
6、 线 的 对 称 轴 是 y 轴 ， 这 时 ， 函 数 是 偶 函 数 ， 解 析 式 变 形为 y=ax2+c(a 0) 特 殊 值 的 形 式7.特 殊 值 的 形 式 5 当 x= 时 y=a+b+c 当 x=-1 时 y=a-b+c 当 x=2 时 y=4a+2b+c 当 x=-2 时 y=4a-2b+c 二 次 函 数 的 性 质8.定 义 域 ： R 值 域 ： （ 对 应 解 析 式 ， 且 只 讨 论 a 大 于 0 的 情 况 ， a 小 于 0 的 情 况 请读 者 自 行 推 断 ） (4ac-b2)/4a， 正 无 穷 ） ； t， 正 无 穷 ） 奇 偶 性 ： 当
7、 b=0 时 为 偶 函 数 ， 当 b 0 时 为 非 奇 非 偶 函 数 。 周 期 性 ： 无 解 析 式 ： y=ax2+bx+c一 般 式 a 0 a 0， 则 抛 物 线 开 口 朝 上 ； a 0， 则 抛 物 线 开 口 朝 下 ； 极 值 点 ： （ -b/2a， (4ac-b2)/4a） ； =b2-4ac, 0， 图 象 与 x 轴 交 于 两 点 ： （ -b- /2a， 0） 和 （ -b+ /2a， 0） ； 0， 图 象 与 x 轴 交 于 一 点 ： （ -b/2a， 0） ； 0， 图 象 与 x 轴 无 交 点 ； y=a(x-h)2+k顶 点 式 此 时
8、， 对 应 极 值 点 为 （ h， k） ， 其 中 h=-b/2a， k=(4ac-b2)/4a； y=a(x-x1)(x-x2)交 点 式 （ 双 根 式 ） （ a 0） 对 称 轴 X=(X1+X2)/2 当 a0 且 X (X1+X2)/2 时 ， Y 随 X 的 增 大 而 增大 ， 当 a0 且 X （ X1+X2） /2 时 Y 随 X 的 增 大 而 减 小 此 时 ， x1、 x2 即 为 函 数 与 X 轴 的 两 个 交 点 ， 将 X、 Y 代 入 即 可 求 出 解6析 式 （ 一 般 与 一 元 二 次 方 程 连 用 ） 。 交 点 式 是 Y=A(X-X1)
9、(X-X2) 知 道 两 个 x 轴 交 点 和 另 一 个 点 坐 标 设 交点 式 。 两 交 点 X 值 就 是 相 应 X1 X2 值 。262 用函数观点看一元二次方程 1. 如果抛物线 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当yaxbc2 x0时，函数的值是 0，因此 就是方程 的一个根。x0 0axbc22. 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。263 实际问题与二次函数 在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可
10、归结为求二次函数的最大值或最小值。第二十七章 相似 271 图形的相似 概 述如 果 两 个 图 形 形 状 相 同 ,但 大 小 不 一 定 相 等 ,那 么 这 两 个 图 形 相 似 。 （ 相似 的 符 号 ： ） 判 定如 果 两 个 多 边 形 满 足 对 应 角 相 等 ， 对 应 边 的 比 相 等 ， 那 么 这 两 个 多 边 形相 似 。 相 似 比7相 似 多 边 形 的 对 应 边 的 比 叫 相 似 比 。 相 似 比 为 1 时 ， 相 似 的 两 个 图 形全 等 。 性 质相 似 多 边 形 的 对 应 角 相 等 ， 对 应 边 的 比 相 等 。 相 似
11、多 边 形 的 周 长 比 等 于相 似 比 。 相 似 多 边 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 。272 相似三角形 判 定1.两 个 三 角 形 的 两 个 角 对 应 相 等 2.两 边 对 应 成 比 例 ,且 夹 角 相 等 3.三 边 对 应 成 比 例 4.平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 和 其 他 两 边 或 两 边 延 长 线 相 交 ， 所 构 成 的 三角 形 与 原 三 角 形 相 似 。 例 题 A= A; B= B ABC ABC 性 质1.相 似 三 角 形 的 一 切 对 应 线 段 (对 应 高 、 对 应 中 线 、 对 应
12、角 平 分 线 、 外接 圆 半 径 、 内 切 圆 半 径 等 ） 的 比 等 于 相 似 比 。 2.相 似 三 角 形 周 长 的 比 等 于 相 似 比 。 3.相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 平 方8273 位似 如 果 两 个 图 形 不 仅 是 相 似 图 形 ， 而 且 每 组 对 应 点 的 连 线 交 于 一 点 ，对 应 边 互 相 平 行 ， 那 么 这 两 个 图 形 叫 做 位 似 图 形 ， 这 个 点 叫 做 位 似 中 心 ，这 时 的 相 似 比 又 称 为 位 似 比 。性 质位 似 图 形 的 对 应 点 和 位 似 中 心
13、在 同 一 直 线 上 ， 它 们 到 位 似 中 心 的 距 离 之比 等 于 相 似 比 。 位 似 多 边 形 的 对 应 边 平 行 或 共 线 。位 似 可 以 将 一 个 图 形 放 大 或 缩 小 。位 似 图 形 的 中 心 可 以 在 任 意 的 一 点 ， 不 过 位 似 图 形 也 会 随 着 位 似 中 心 的 位 变而 位 变 。 根 据 一 个 位 似 中 心 可 以 作 两 个 关 于 已 知 图 形 一 定 位 似 比 的 位 似 图 形 ,这两 个 图 形 分 布 在 位 似 中 心 的 两 侧 ,并 且 关 于 位 似 中 心 对 称 。 注 意 1、 位
14、似 是 一 种 具 有 位 置 关 系 的 相 似 ， 所 以 两 个 图 形 是 位 似 图 形 ， 必 定是 相 似 图 形 ， 而 相 似 图 形 不 一 定 是 位 似 图 形 ； 2、 两 个 位 似 图 形 的 位 似 中 心 只 有 一 个 ； 3、 两 个 位 似 图 形 可 能 位 于 位 似 中 心 的 两 侧 ， 也 可 能 位 于 位 似 中 心 的 一侧 ； 4、 位 似 比 就 是 相 似 比 利 用 位 似 图 形 的 定 义 可 判 断 两 个 图 形 是 否 位 似 ；5、 平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 和 其 它 两 边 相 交 ， 所 构 成
15、 的 三 角 形 与 原 三 角形 位 似 。9第二十八章 锐角三角函数 281 锐角三角函数 锐 角 角 A 的 正 弦 （ sin） ,余 弦 （ cos） 和 正 切 （ tan） ,余 切 （ cot） 以 及 正割 （ sec） ， （ 余 割 csc） 都 叫 做 角 A 的 锐 角 三 角 函 数 。 正 弦 （ sin） 等 于 对 边 比 斜 边 ， 余 弦 （ cos） 等 于 邻 边 比 斜 边 正 切 （ tan） 等 于 对 边 比 邻 边 ； 余 切 （ cot） 等 于 邻 边 比 对 边 正 割 （ sec)等 于 斜 边 比 邻 边 余 割 (csc)等 于
16、斜 边 比 对 边 正 切 与 余 切 互 为 倒 数 互 余 角 的 三 角 函 数 间 的 关 系 。sin(90- )=cos , cos(90- )=sin , tan(90- )=cot , cot(90- )=tan .同 角 三 角 函 数 间 的 关 系平 方 关 系 ： sin2( )+cos2( )=1 tan2( )+1=sec2( ) cot2( )+1=csc2( ) 积 的 关 系 ： sin =tan cos cos =cot sin tan =sin sec cot =cos csc sec =tan csc csc =sec cot 倒 数 关 系 ： tan
17、 cot =1 sin csc =1 10cos sec =1 直 角 三 角 形 ABC 中 , 角 A 的 正 弦 值 就 等 于 角 A 的 对 边 比 斜 边 , 余 弦 等 于 角 A 的 邻 边 比 斜 边 正 切 等 于 对 边 比 邻 边 , 余 切 等 于 邻 边 比 对 边三 角 函 数 值（ 1） 特 殊 角 三 角 函 数 值 （ 2） 0 90的 任 意 角 的 三 角 函 数 值 ， 查 三 角 函 数 表 。 （ 3） 锐 角 三 角 函 数 值 的 变 化 情 况 （ i） 锐 角 三 角 函 数 值 都 是 正 值 （ ii） 当 角 度 在 0 90间 变
18、化 时 ， 正 弦 值 随 着 角 度 的 增 大 （ 或 减 小 ） 而 增 大 （ 或 减 小 ） 余 弦 值 随 着 角 度 的 增 大 （ 或 减 小 ） 而 减 小 （ 或 增 大 ） 正 切 值 随 着 角 度 的 增 大 （ 或 减 小 ） 而 增 大 （ 或 减 小 ） 余 切 值 随 着 角 度 的 增 大 （ 或 减 小 ） 而 减 小 （ 或 增 大 ） （ iii） 当 角 度 在 0 90间 变 化 时 ， 0 sin 1, 1 cos 0, 当 角 度 在 00, cot 0. 特 殊 的 三 角 函 数 值 0 30 45 60 90 0 1/2 2/2 3/2
19、1 sin 1 3/2 2/2 1/2 0 cos 0 3/3 1 3 None tan None 3 1 3/3 0 cot282 解直角三角形 勾 股 定 理 ， 只 适 用 于 直 角 三 角 形 （ 外 国 叫 “毕 达 哥 拉 斯 定 理 ”） 11a2+b2=c2, 其 中 a 和 b 分 别 为 直 角 三 角 形 两 直 角 边 ， c 为 斜 边 。 勾 股 弦 数 是 指 一 组 能 使 勾 股 定 理 关 系 成 立 的 三 个 正 整 数 。 比 如 ：3， 4， 5。 他 们 分 别 是 3， 4 和 5 的 倍 数 。 常 见 的 勾 股 弦 数 有 ： 3， 4，
20、 5； 6， 8， 10； 等 等 .直角三角形的特征直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形中 30所对的直角边等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：在 Rt ABC 中，若 C90，则 a2+b2=c2；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在 ABC 中，若 a2+b2=c2，则 C90；射影定理： AC2=AD AB,BC2=BD AB,CD2=DA DBAA锐角三角函数的定义：如图，在 Rt ABC 中， C90， A， B， C 所对的边分别为 a,b,c
21、,则 sinA= ,cosA= ,tanA= ,cotA=ac bc ab ba特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随 的变化情况）1 sin costan cot3012 f 32 33 34522 221 16032 12 3 33ABCDABC acb12解直角三角形（ Rt ABC, C90）三边之间的关系： a2+b2=c2两锐角之间的关系： A B90 边角之间的关系： sinA= ,cosA= ac的 对 边 斜 边 Abc的 邻 边 斜 边tanA= ,cotA= Ab的 对 边 的 邻 边 a的 邻 边 的 对 边解直角三角形中常见类型：已知一边一锐角已知两边解直角三角
22、形的应用第二十九章 投影与视图 291 投影 一 般 地 ， 用 光 线 照 射 物 体 ， 在 某 个 平 面 （ 地 面 、 墙 壁 等 ） 上 得 到 的 影子 叫 做 物 体 的 投 影 （ projection） ， 照 射 光 线 叫 做 投 影 线 ， 投 影 所 在 的 平 面叫 做 投 影 面 。 有 时 光 线 是 一 组 互 相 平 行 的 射 线 ， 例 如 太 阳 光 或 探 照 灯 光 的 一 束 光 中 的光 线 。 由 平 行 光 线 形 成 的 投 影 是 平 行 投 影 （ parallel projection).由 同 一 点 （ 点 光 源 发 出 的
23、 光 线 ） 形 成 的 投 影 叫 做 中 心 投 影 （ center projection)。 投 影 线 垂 直 于 投 影 面 产 生 的 投 影 叫 做 正 投 影 。投 影 线 平 行 于 投 影 面 产 生 的 投 影 叫 做 平 行 投 影 。物 体 正 投 影 的 形 状 、 大 小 与 它 相 对 于 投 影 面 的 位 置 有 关 。292 三视图 三 视 图 是 观 测 者 从 三 个 不 同 位 置 观 察 同 一 个 空 间 几 何 体 而 画 出 的 图 形 。 将 人 的 视 线 规 定 为 平 行 投 影 线 ， 然 后 正 对 着 物 体 看 过 去 ，
24、将 所 见 物 体 的轮 廓 用 正 投 影 法 绘 制 出 来 该 图 形 称 为 视 图 。 一 个 物 体 有 六 个 视 图 ： 从 物 体 的前 面 向 后 面 投 射 所 得 的 视 图 称 主 视 图 能 反 映 物 体 的 前 面 形 状 ， 从 物 体13的 上 面 向 下 面 投 射 所 得 的 视 图 称 俯 视 图 能 反 映 物 体 的 上 面 形 状 ， 从 物体 的 左 面 向 右 面 投 射 所 得 的 视 图 称 左 视 图 能 反 映 物 体 的 左 面 形 状 ， 还 有 其 它 三 个 视 图 不 是 很 常 用 。 三 视 图 就 是 主 视 图 、
25、俯 视 图 、 左 视 图 的总 称 。特 点 ： 一 个 视 图 只 能 反 映 物 体 的 一 个 方 位 的 形 状 ， 不 能 完 整 反 映 物 体 的 结构 形 状 。 三 视 图 是 从 三 个 不 同 方 向 对 同 一 个 物 体 进 行 投 射 的 结 果 ， 另 外 还 有如 剖 面 图 、 半 剖 面 图 等 做 为 辅 助 ， 基 本 能 完 整 的 表 达 物 体 的 结 构 。主 视 、 俯 视 长 对 正 物 体 的 投 影主 视 、 左 视 高 平 齐 左 视 、 俯 视 宽 相 等 在 许 多 情 况 下 ， 只 用 一 个 投 影 不 加 任 何 注 解
26、， 是 不 能 完 整 清 晰 地 表 达 和确 定 形 体 的 形 状 和 结 构 的 。 如 图 所 示 ， 三 个 形 体 在 同 一 个 方 向 的 投 影 完 全相 同 ， 但 三 个 形 体 的 空 间 结 构 却 不 相 同 。 可 见 只 用 一 个 方 向 的 投 影 来 表 达 形体 形 状 是 不 行 的 。 一 般 必 须 将 形 体 向 几 个 方 向 投 影 ， 才 能 完 整 清 晰 地 表 达 出形 体 的 形 状 和 结 构 。 一 个 视 图 只 能 反 映 物 体 的 一 个 方 位 的 形 状 ， 不 能 完 整 反 映 物 体 的 结 构形 状 。 三
27、 视 图 是 从 三 个 不 同 方 向 对 同 一 个 物 体 进 行 投 射 的 结 果 ， 另 外 还 有 如剖 面 图 、 半 剖 面 图 等 做 为 辅 助 ， 基 本 能 完 整 的 表 达 物 体 的 结 构 。画 法 ： 根 据 各 形 体 的 投 影 规 律 ， 逐 个 画 出 形 体 的 三 视 图 。 画 形 体 的 顺 序 ：一 般 先 实 （ 实 形 体 ） 后 空 （ 挖 去 的 形 体 ） ； 先 大 （ 大 形 体 ） 后 小 （ 小 形 体 ） ；先 画 轮 廓 ， 后 画 细 节 。 画 每 个 形 体 时 ， 要 三 个 视 图 联 系 起 来 画 ， 并 从 反 映 形 体 特 征 的 视 图 画 起 ， 再 按 投影 规 律 画 出 其 他 两 个 视 图 。 对 称 图 形 、 半 圆 和 大 于 半 圆 的 圆 弧 要 画 出 对 称 中心 线 ， 回 转 体 一 定 要 画 出 轴 线 。 对 称 中 心 线 和 轴 线 用 细 点 划 线 画 出 。
