1、第四章：圆一、知识回顾圆的周长 ： C=2 r 或 C= d 、圆的面积 ： S=r2圆环面积计算方法： S= R2- r2或 S= （R2-r 2） (R 是大圆半径， r 是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1 、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2
2、、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系A1 、点在圆内dr点 C 在圆内；drOB2 、点在圆上dr点 B 在圆上；dC3 、点在圆外dr点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1 、直线与圆相离dr无交点；12 、直线与圆相切dr有一个交点；3 、直线与圆相交dr有两个交点；rd=rd四、圆与圆的位置关系rd
3、外离（图 1）无交点dRr ；外切（图 2）有一个交点dRr ；相交（图 3）有两个交点Rrd R r ；内切（图 4）有一个交点dRr ；内含（图 5）无交点dRr ；dddRrRrRr图 1图 2图 3ddrRrR图 4图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1 ：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2（2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3 ）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3
4、 个结论，即： AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。A推论 2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等。CD即：在 O 中， AB CDOBAOECDB弧 AC弧 BD六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，E只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，F即：AOBDOE ； ABDE ； OC OF ； 弧 BA 弧 BD七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1 、圆周角定理：
5、同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的即： AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角ODACBCBO角的一半。A AOB2 ACB32 、圆周角定理的推论：推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，的弧是等弧；即：在 O 中，C 、D 都是所对的圆周角 CD推论 2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所所对的弦是直径。即：在 O 中， AB 是直径或C90 C90AB 是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形。DC相等的圆周角所对BOAC对的弧是半圆，BAOC三角形是直角BAO即：在 ABC 中，OCOAOBABC 是直角三角形或C90注
6、：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 O 中，DC四边形 ABCD 是内接四边形CBAD180BAE4BD180DAEC九、切线的性质与判定定理（1 ）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MNOA 且 MN 过半径 OAMN 是 O 的切线（2 ）性质定理：切线垂直于过切点的半径 （如上图）外端OMAN推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2 ：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上
7、三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA 、 PB 是的两条切线BOPA PBPPO 平分 BPAA十一、圆幂定理DBO（1 ）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。PCA5即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ，PA PBPC PD（ 2 ）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直C径所成的两条BA线段的比例中项。OE即：在 O 中，直径 AB CD ，DCE 2AE BE
8、（ 3 ）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割A线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。DEPO即：在 O 中，PA 是切线， PB 是割线CB PA2 PC PB（4 ）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在 O 中，PB 、 PE 是割线PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理A圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这O1O2两个圆的的公共弦。如图： O1O2 垂直平分 AB 。B即： O1 、 O2 相交于 A 、 B 两点O O 1 2 垂直平分 ABAB十三、圆的公切线CO1两圆公切线长的计算公式：O2
9、（1 ）公切线长： Rt O1O2 C 中，AB2CO12O1O22CO22 ；6（2 ）外公切线长： CO2 是半径之差；内公切线长： CO2 是半径之和。十四、圆内正多边形的计算C（1 ）正三角形O在O中是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：BAABCDOD : BD : OB 1:3 : 2 ；BC（2 ）正四边形同 理 ， 四 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAE中 进 行 ，OE : AE : OA1:1:2 ：（3 ）正六边形OAED同 理 ， 六 边 形 的 有 关 计 算 在Rt OAB 中 进 行 ，AB : OB : OA1:3 : 2 .OBA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式A1 、扇形：（ 1 ）弧长公式： ln R ；OSl180（ 2）扇形面积公式：n R21SlRB3602n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积2 、圆柱：ADD1（1 ） A 圆柱侧面展开图母线长S表 S侧 2S底 = 2 rh 2 r 2底面圆周长BC1C7B 圆柱的体积： Vr 2hB1（2 ） A 圆锥侧面展开图S表 S侧 S底 = Rrr 2OB 圆锥的体积： V1r 2hR3CArB8
