1、1椭 圆题型一：利用椭圆的定义解题知识总结：（1）椭圆的定义： 1212(PFaF（2）椭圆的标准方程：焦点在 x 轴： （ 0） ；2byab焦点在 y 轴： （ 0） ；1xa（3）椭圆的标准方程判别方法：看分母的大小，即：如果 项的分母大于 项的分母，则焦点在 轴上；2x2yx如果 项的分母大于 项的分母，则焦点在 轴上；xy（4）字母 的关系：,abc22ca（5）焦距： 12F例题分析1、写出椭圆 的焦点坐标；2(1)mxy变式：已知方程 ，对不同范围内的21(0)mxy值分别指出方程所代表的曲线类型；2、椭圆 的焦距为 2,则 = ； 215xymm椭圆 的焦距为 6,则 = ；2
2、变式：已知椭圆 的22sincos1(02)xy焦点在 轴上,则 的取值范围是 y3、已知 为椭圆 上一点, 为椭圆两焦P2159xy12,F点, =4,求 的长；1F2变式 1：已知 为椭圆 上一点, 为椭P2159xy12,F圆两焦点,求 的最大值；12F变式 2：，已知 为椭圆P上一点, 为椭159xy12,F圆两焦点,线段 的中点1在 轴上，求 的值；My2PF变式 3：已知 为椭圆 内一点,(,3)B2159xy是椭圆的右焦点 , 是椭圆上的动点,2(4,0)FM求 的最大值.（ 答案： ）213变式 4：已知 为椭圆 内一点,(3,)B2159xy是椭圆的右焦点 , 是椭圆上的动点
3、,2(,0)FM求 的最大值.（答案： 12）MxyoF1F2PMxyoF1F2(4,0)MBxyoF1F2(4,0)MB2题型二：椭圆的简单几何性质焦点在 轴上椭圆方程为 （ 0）.x12byaxab（1）范围： ； axby（2）对称性：分别关于 轴、 轴成轴对称；关于原点中心对称；（3）顶点： 、 、 、1(,0)A2(,)a1(0,)Bb2(0,)Bb长轴： 短轴：22长半轴长： 短半轴长： （4）离心率： 意义：表示椭圆的扁平程度ace离心率取值范围： 01e离心率大小对扁平程度的影响：如果 越接近于 1，则 越大， 越小，椭圆越扁；cb如果 越接近于 0，则 越大， 越小，椭圆越圆
4、；e题型分析：1、根据条件求椭圆的标准方程（1）已知 ， 时，求椭圆的标准方程；10ab25（2）长轴长为短轴长的 2 倍，且椭圆过点 ；(2,4)（3）已知椭圆的中心在原点，且经过点 ，03，P，求椭圆的标准方程；ba（4）求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和 两点的椭圆方程；（设方程)2,3(A)1,3(B）nymx（5）一短轴的一个顶点 与焦点 组成三角形周长B12,F为 且 = ，求椭圆方程；42321F32、焦点三角形问题（面积问题）方法原理：余弦定理椭圆定义 CabSsin21（1）已知椭圆方程，焦点为 ，02bayx1F， 是椭圆上一点，2FP1求： 的面积（用 、 、 表示）
5、 ；2ab分析：由余弦定理知： 21F221P1F224cos由椭圆定义知： aP3则 得 2 cos121bPF故 sin2121SPFicobta焦点三角形面积： 12 12tan()MFSbFM1、若 P 是椭圆 上的一点， 、 是其焦6402yx12F点，且 ，求 的面积 ;21F21P2、已知 P 是椭圆 上的点， 、 分别是1925yx1F2椭圆的左、右焦点，若 ，求|21P的面积；21PF3、已知椭圆 的左、右焦点分别是 、1962yx1F，点 P 在椭圆上. 若 P、 、 是一个直角三角形2F12的三个顶点，求点 P 到 轴的距离；x练习：1、椭圆 上一点 P 与椭圆两个焦点
6、、1249xy 1F的连线互相垂直，则 的面积为（ ）2F21PFA. 20 B. 22 C. 28 D. 242、椭圆 的左右焦点为 、 ， P 是椭圆42yx12上一点，当 的面积为 1 时， 的值为21PF21F（ ）A. 0 B. 1 C. 3 D. 63、椭圆 的左右焦点为 、 ， P 是椭圆42yx12上一点，当 的面积最大时， 的值为21PF21F（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D.4、已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴， 、1F为焦点，点 P 在椭圆上，直线 与 倾斜角的差2F1P2为 ， 的面积是 20，离心率为 ，求椭圆9021 35的方程；5、点 P 为椭圆 上一点
7、，）（ 0ba16y25x是左右焦点；21F,（1）求 的最大值 214（2）若 ，求 的面积21PF21（3）若 ，求 的面积 60F3、离心率： cea常见类型：直接求出 的值；直接求出 的比, ,ac值；解齐次方程求 的值； 解齐次不等式求 的范围；c（一）直接求出 的值或直接求出 的比值；,a,ac（1）已知椭圆的长轴是短轴长的 2 倍，求椭圆的离心率；（2）若椭圆 )0(,12bayax短轴端点为 P满足 1PF，求椭圆的离心率；（3）已知 F1 为椭圆的左焦点，A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当 ，1PFAPOAB（O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率；（答案：
8、）2（4）已知 21F、 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,51， 求椭圆的离心率；（答案： ） （提示：正玄定理、积化和差公式）63（二）解齐次方程求 的值ca（1）点 是椭圆 2x+ by=1（ ）上 一 点 ，P021F、是 椭 圆 的 左 右 焦 点 ， 已 知 ,2,121FP ,3求椭圆的离心率；（答案： 3）（2）椭圆的四个顶点为 A、B、C、D，若四边形 ABCD 的内切圆恰好过焦点，求椭圆的离心率；（答案： 15）（3）已知直线 L 过椭圆 12byax（ ）的0a5顶点 A 、B ,如果坐标原点到直线 L 的距离为(,0)a()b，求椭圆的离心率；（答案： ）2
9、63（4）以椭圆 12byax的右焦点 为圆心作圆，使2F该圆过椭圆的中心且与椭圆交于 两点，椭圆左焦,MN点为 ，直线 与圆相切,求椭圆的离心率；（答案：1F13）（5）以椭圆 12byax的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 两点，NM、如果 ，求椭圆的离心率；（答案：MF13）（6）在 ABC 中， ， 7cos18B若以，为焦点的椭圆经过点 ，求椭圆的离心率 e38（7）设椭圆 12byax的两个焦点分别为 21F、 ，过点 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若 为等2FP12F腰直角三角形，求椭圆的离心率；（答案： ）（8）已知 21F、 是椭圆 12b
10、yax的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若2AB是正三角形，求椭圆的离心率；（答案： 3）（三）解齐次不等式求 的范围ca（1）已知 1F、 2是椭圆的两个焦点，满足0M的点 总在椭圆内部，求离心率的范围；答案 (,)（2）已知 21F、 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 90，求离心率 e 的范围；答案：,6（3）已知 21F、 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 60，求椭圆离心率范围；答案：,（4）设椭圆 12byax的两焦点为 21F、 ，若椭圆上存在一点 ，使 ，求离心率范围；Q02F（参考答案 136e） 题型三：直线与椭圆的位置关系联立 得到一
11、元二次方程：则210yxabABC 当 两个焦点 相交；0当 一个焦点 相切；当 没有焦点 相离；1、直线 x=2 与椭圆 的交点个数为（ ）1342y(A)0 个 (B)1 个 (C) 2 个 (D) 3 个2、直线 与椭圆 有且只有一个交myyx点，则 的值为（ ）2m(A) (B) (C) (D) 134353、椭圆 的长轴端点为 ，不同于142yxNM、的点 在椭圆上，则 的斜率之积为（ NM、 PP、）(A) (B) (C) (D) 43434、若直线 与椭圆 恒有公1Rkxy152myx共点，求实数 的取值范围；m题型四：直线与椭圆相交的弦长公式 （两点之间的距离）2211()()
12、ABxy 4)(21212 xxkk 12()yyy通径：过焦点坐标且垂直于焦点所在轴的线段长度 22bAFBa1、判断直线 与椭圆 的位置关01yx1462yxxyO2F1xyO21 xy21 xyOF1BA7系，如果相交，求相交弦的弦长；2、已知椭圆 的左右焦点分别为 ，12yx21F、若过点 及 的直线交椭圆于 两点，求),0(P1FBA、；AB3、已知 分别是椭圆 的左右焦点，过21,F21xy作倾斜角为 的直线与椭圆交于 两点，则14QP、的面积；PQ24、已知椭圆 及直线 12yxmxy（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程；505
13、、已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在坐标轴上，O直线 与该椭圆交于 和 ，且 ，1xyPQ，求椭圆方程；20PQ题型五：直线与椭圆的距离问题1、点 椭圆 上的一点，求点 到直线P1462yxP的最大、最小距离；02yx82、已知椭圆 , 直线 ,椭1952yx:450lxy圆上是否存在一点 ,它到直线的距离最小?最小距离是P多少?题型六：中点弦问题（韦达定理法与点差法）1、已知椭圆 ,过左焦点 作倾斜角为 的192yxF6直线交椭圆于 两点,求弦 的中点坐标及弦长；BA2、椭圆 E： 内有一点 P（2，1） ，求经过4162yxP 并且以 P 为中点的弦所在直线方程；3、已知中心在原点，一焦点
14、为 的椭圆被直线)50,(F截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的2:xyl 21方程；变式 1：已知椭圆 的一条弦的斜率为 3，它1257xy与直线 的交点恰为这条弦的中点 ，求点 的xM坐标；9变式 2：已知 是直线 被椭圆 所截)2,4(Pl19362yx得的线段的中点，求直线 的方程；变式 3：（2013 新课标（理） ）已知椭圆的右焦点为 ,过点2:1(0)xyEab(30)F的直线交椭圆于 两点.若 的中点坐标为F,AB,则 的方程为（ ） （ ）(1)A B214536xy21367xyC D278289题型七：最值问题1、 设椭圆方程为 ，过原点且倾斜角为1842yx和 的两条直线分别交椭圆于)0(和 两点；CA、 DB、（1）用 表示四边形 的面积；AC（2）当 时，求 的最大值；)4,(S题型八：对称问题1、已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使1342yxC： m得对于直线 ，椭圆 上有不同的两点关于l： C该直线对称；10
