1、第11章 一元线性回归,第11章 一元线性回归,11.1 变量间关系的度量 11.2 一元线性回归 11.3 利用回归方程进行估计和预测 11.4 残差分析,学习目标,1. 相关关系的分析方法 一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 回归方程的显著性检验 利用回归方程进行估计和预测 用 Excel 进行回归,11.1 变量间关系的度量,11.1.1 变量间的关系 11.1.2 相关关系的描述与测度 11.1.3 相关系数的显著性检验,变量间的关系,函数关系,是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x
2、取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上,函数关系 (几个例子),某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为 y = px (p 为单价) 圆的面积S与半径R之间的关系可表示为S=R2 企业的原材料消耗额y与产量x1 、单位产量消耗x2 、原材料价格x3之间的关系可表示为y = x1 x2 x3,相关关系 (correlation),变量间关系不能用函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周
3、围,相关关系 (几个例子),父亲身高y与子女身高x之间的关系 收入水平y与受教育程度x之间的关系 粮食单位面积产量y与施肥量x1 、降雨量x2 、温度x3之间的关系 商品的消费量y与居民收入x之间的关系 商品销售额y与广告费支出x之间的关系,相关关系 (类型),相关关系的描述与测度 (散点图),相关分析及其假定,相关分析要解决的问题 变量之间是否存在关系？ 如果存在关系，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？ 为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定 两个变量之间是线性关系 两个变量都是随机变量,散点图 (s
4、catter diagram),散点图 (例题分析),【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行的有关业务数据,散点图 (例题分析),散点图 (不良贷款对其他变量的散点图),相关关系的描述与测度 (相关系数),相关系数 (correlation coefficient),度量变量之间关系强度的一个统
5、计量 对两个变量之间线性相关强度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为 r 也称为线性相关系数(linear correlation coefficient) 或称为Pearson相关系数 (Pearsons correlation coefficient),相关系数 (计算公式), 样本相关系数的计算公式,或化简为,相关系数的性质,性质1：r 的取值范围是 -1,1|r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关r = 0，不存在线性相关关系-1r0，为负相
6、关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱,相关系数的性质,性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy= ryx 性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小 性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意为着， r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系 性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系,相关系数的经验解释,|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|0
7、.8时，可视为中度相关 0.3|r|0.5时，视为低度相关 |r|0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关 上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上,相关系数 (例题分析),用Excel计算相关系数,相关系数的显著性检验,相关系数的显著性检验 (检验的步骤),1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 等价于对回归系数 b1的检验 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 检验的步骤为 提出假设：H0： ；H1： 0,计算检验的统计量：,确定显著性水平，并作出决策若tt，拒绝H0若tt，不拒绝H0,相关系数的显著性检验 (例题分析), 对不良贷款与贷款余额之间的相关
8、系数进行显著性检验(0.05) 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量,3. 根据显著性水平0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069 由于t=7.5344t(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系,相关系数的显著性检验 (例题分析),各相关系数检验的统计量,11.2 一元线性回归,11.2.1 一元线性回归模型 11.2.2 参数的最小二乘估计 11.2.3 回归直线的拟合优度 11.2.4 显著性检验,什么是回归分析？ (Regression),从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并
9、从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,回归模型的类型,一元线性回归模型,一元线性回归,涉及一个自变量的回归 因变量y与自变量x之间为线性关系 被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示,回归模型 (regression model),回答“变量之间是什么样的关系？” 方程中
10、运用 1 个数值型因变量(响应变量) 被预测的变量 1 个或多个数值型或分类型自变量 (解释变量) 用于预测的变量 3. 主要用于预测和估计,一元线性回归模型,描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型 一元线性回归模型可表示为y = b0 + b1 x + e y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,一元线性回归模型 (基本假定),因变量x与自变量y之
11、间具有线性关系 在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的 误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，的方差2 都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N(0 ,2 ) 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关,一元线性回归模型 (基本假定),x=x3时的E(y),x=x2时y的分布,x=x1时y的分布,x=x2时的E(y),x3,x2,x1,x=x1时
12、的E(y),0,x,y,x=x3时y的分布,0+ 1x,回归方程 (regression equation),描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程 一元线性回归方程的形式如下E( y ) = 0+ 1 x,方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,估计的回归方程 (estimated regression equation),一元线性回归中估计的回归方程为,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程,
13、总体回归参数 和 是未知的，必须利用样本数据去估计,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， 是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,参数的最小二乘估计,最小二乘估计 (method of least squares ),德国科学家Karl Gauss(17771855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数 使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,Karl Gauss的最小化图,x,y,(xn
14、, yn),(x1 , y1),(x2 , y2),(xi , yi),最小二乘法 ( 和 的计算公式), 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下,估计方程的求法 (例题分析),【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程,回归方程为：y = -0.8295 + 0.037895 x 回归系数 =0.037895 表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元,估计方程的求法 (例题分析),不良贷款对贷款余额回归方程的图示,用Excel进行回归分析,第1步：选择【工具】下拉菜单 第2步：选择【数据分析】选项 第3步：在分析工具中选择【回归】 ，选择【确定】 第4步：当对话框出现时
15、在【Y值输入区域】设置框内键入Y的数据区域在【X值输入区域】设置框内键入X的数据区域在【置信度】选项中给出所需的数值在【输出选项】中选择输出区域在【残差】分析选项中选择所需的选项,回归直线的拟合优度,变差,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示,误差的分解 (图示),x,y,误差平方和的分解 (三个平方和的关系),SST = SSR + SSE,误差平方和的分解 (三个平方和的意义),
16、总平方和(SSTtotal sum of squares) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总误差 回归平方和(SSRsum of squares of regression) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSEsum of squares of error) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,判定系数R2 (coefficient of determination),回归平方和占总误差平方和的比例,反映回归直线的拟合程
17、度 取值范围在 0 , 1 之间R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差 判定系数等于相关系数的平方，即R2r2,判定系数 (例题分析),【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义 判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系,估计标准误差 (standard error of estimate),实际观察值与回归估计值误差平方
18、和的均方根 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量 反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 计算公式为,注：例题的计算结果为1.9799,显著性检验,线性关系的检验,检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著 将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著 回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k) 残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1),线性关系的检验 (检验的步骤),提出假设 H0：1=0 线性关系不显著,2. 计算检验统计量F,
19、确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若FF ,不拒绝H0,线性关系的检验 (例题分析),提出假设 H0：1=0 不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著 计算检验统计量F,确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1和分母自由度25-2找出临界值F =4.28 作出决策：若FF ,拒绝H0，线性关系显著,线性关系的检验 (方差分析表),Excel 输出的方差分析表,回归系数的检验,在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验 采用t检验,检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著,理论基
20、础是回归系数 的抽样分布,回归系数的检验 (检验步骤),提出假设 H0: b1 = 0 (没有线性关系) H1: b1 0 (有线性关系) 计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt，不拒绝H0,回归系数的检验 (例题分析),对例题的回归系数进行显著性检验(0.05) 提出假设 H0：b1 = 0 H1：b1 0 计算检验的统计量,t=7.533515t=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系,回归系数的检验 (例题分析),P 值的应用,P=0.000000=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷 款余额之间有显著的线性关系,回归分析结果的评价,
21、建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多“好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手 所估计的回归系数 的符号是否与理论或事先预期相一致 在不良贷款与贷款余额的回归中，可以预期贷款余额越多，不良贷款也可能会越多，也就是说，回归系数的值应该是正的，在上面建立的回归方程中，我们得到的回归系数 为正值， 如果理论上认为x与y之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此 在不良贷款与贷款余额的回归中，二者之间为正的线性关系，而且，对回归系数的t检验结果表明而这之间的线性关系是统计上显著的,回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题
22、 在不良贷款与贷款余额的回归中，得到的R2=71.16%，解释了不良贷款变差的2/3以上，说明拟合的效果还算不错 考察关于误差项的正态性假定是否成立。因为我们在对线性关系进行F检验和回归系数进行t检验时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。正态性的简单方法是画出残差的直方图或正态概率图,回归分析结果的评价,Excel输出的部分回归结果,11.3 利用回归方程进行估计和预测,11.3.1 点估计 11.3.2 区间估计,利用回归方程进行估计和预测,根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值 估计或预测的类型 点估计 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 区间
23、估计 y 的平均值的置信区间估计 y 的个别值的预测区间估计,点估计,点估计,2. 点估计值有 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同,对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值,y 的平均值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的一个估计值E(y0) ，就是平均值的点估计 在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计 。根据估计的回归方程得,y 的个别值的点估计,利用估
24、计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计 例如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计 。根据估计的回归方程得,区间估计,区间估计,点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计 对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间 区间估计有两种类型 置信区间估计(confidence interval estimate) 预测区间估计(prediction interval estim
25、ate),置信区间估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的估计区间 ，这一估计区间称为置信区间(confidence interval)E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为,式中：se为估计标准误差,置信区间估计 (例题分析),【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95%置信水平下的置信区间解：根据前面的计算结果，已知n=25， se=1.9799，t(25-2)=2.069置信区间为,当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在2.1141亿元到3.8059亿元之间,预测区间估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0
26、 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间(prediction interval) y0在1-置信水平下的预测区间为,预测区间估计 (例题分析),【例】求出贷款余额为72.8亿元的那个分行，不良贷款95%的预测区间解：根据前面的计算结果，已知n=25， se=1.9799，t(25-2)=2.069预测区间为,贷款余额为72.8亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.2766亿元到6.1366亿元之间,置信区间和预测区间 (例题分析),置信区间、预测区间、回归方程,11.4 残差分析,11.4.1 残差与残差图 11.4.2 标准化,残差与残差图,残差 (resid
27、ual),因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差 可用于确定有关误差项的假定是否成立 用于检测有影响的观测值,残差图 (residual plot),表示残差的图形 关于x的残差图 关于y的残差图 标准化残差图 用于判断误差的假定是否成立 检测有影响的观测值,残差与标准化残差图 (例题分析),残差图 (形态及判别),(a)满意模式,残差,x,0,残差图 (例题分析),标准化残差,标准化残差 (standardized residual),残差除以它的标准差 也称为Pearson残差或半学生化残差(semi-studentized residuals) 计算公式为,注意：Excel给出的标准残差的计算公式为 这实际上是学生化删除残差(studentized deleted residuals),标准化残差图, 用以直观地判断误差项服从正态分布这一假定是否成立 若假定成立，标准化残差的分布也应服从正态分布 在标准化残差图中，大约有95%的标准化残差在-2到+2之间,标准化残差图 (例题分析),本章小结,变量间关系的度量 回归模型、回归方程与估计的回归方程 回归直线的拟合优度 回归分析中的显著性检验 估计和预测 用Excel 进行回归分析,结 束,THANKS,
