1、 北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合 ， ，则 是A. B. C. D. 【答案】C【解析】 选 C2. 已知为虚数单位，设复数满足 ，则 =A. B. C. D. 【答案】B【解析】 选 B3. 某便利店记录了 100 天某商品的日需求量（单位：件） ，整理得下表：日需求量 n 14 15 16 18 20频率 0 1 0 2 0 3 0 2 0 2试估计该商品日平均需求量为A. B. C. D. 【答案】D【解析
2、】估计该商品日平均需求量为 选 D 4. “ ”是“ ”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由 或 此时 ；但当 不一定得到 ，故“ ”是“ ”的充分而不必要条件选 A5. 下列函数中，是奇函数且在 内是减函数的是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】 是奇函数且在 内是减函数 为偶函数； 是奇函数且在 内是减函数 是奇函数且在 内是增函数故选 A6. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正 方形的边长为 1，则该四棱锥的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由三视图可知，该四棱锥的底面积为 6 ，高
3、为 2 ，故其体积选 B7. 阿波罗尼斯（约公元前 262-190 年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数 （ 且）的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两定点 间的距离为 2，动点 与 ， 距离之比为 ，当 不共线时， 面积的最大值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】 如图，以经过 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系；则： 设，两边平方并整理得： ， 面积的最大值是 选 A8. 如图， 为等边三角形，四边形 为正方形，平面 平面 若点 为平面 内的一个动点，且满足 ，则点 在正方形 及其内部的轨迹为 A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C
4、. 一段圆弧 D. 一条线段【答案】D【解析】在空间中，存在过线段 中点且垂直线段 的平面，平面上点到 两点的距离相等，记此平面为 ，平面 与平面 有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线故点 在正方形 及其内部的轨迹为一条线段选 A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9. 执行如图所示的程序框图，输出 的值为_.【答案】48【解析】第 1 次运行， 成立第 2 次运行， 成立第 3 次运行， 成立第 3 次运行， 不成立，故输出 的值为 4810. 已知双曲线 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线 的焦点重合，一条渐近线方程为
5、 ，则双曲线 的方程是_【答案】【解析】抛物线 的焦点坐标为 所以双曲线 的右焦点坐标为 因为双曲线的一条渐近线方程为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以双曲线方程为 11. 已知菱形 的边长为 2， ，则 _【答案】2【解析】由题意 12. 若变量 x， y 满足约束条件 则 的最小值为_【答案】8【解析】 画出可行域如图阴影部分所示，根据题意， 的最小值为可行域内的点到原点距离平方的最小值，由图可知即原点到直线 的距离的平方，即 即答案为 8 13. 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1 ） 左图矩形中白色区域面
6、积等于右图矩形中白色区域面积；（2 ） 左图阴影区域面积用 表示为_； （3 ） 右图中阴影区域的面积为 ；（4 ） 则柯西不等式用字母 可以表示为 请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_【答案】 (1). (2). （1）两图中的阴影部分面积相等；（ 2） .【解析】 （2）左图阴影区域面积用 表示为两个矩形面积之和 ；因为两图中的阴影部分面积相等即 两边同时平方得 14. 如图，一位同学从 处观测塔顶 及旗杆顶 ，得仰角分别为 和 . 后退(单位 m)至点 处再观测塔顶 ，仰角变为原来的一半，设塔 和旗杆 都垂直于地面，且 ， ， 三点在同一条水平线上，则塔 的高为 _ m；旗杆
7、 的高为 _ m.（用含有和 的式子表示）【答案】 (1). (2). 【解析】设 在 中， 在 中， ，即 为等腰三角形， 在 中，则 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. 已知函数 （）求 的最小正周期；（）求证：当 时， 【答案】 （） （）见解析 【解析】试题分析：（）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数 ，即可求出 的最小正周期；（）由（）可知， 根据 讨论 的值域，可知其最小值为 0，即当时， 试题解析：（）因为 .所以函数
8、的最小正周期为 . （）由（）可知， 当 时， ，.当 即 时， 取得最小值 所以当 时， . 16. 已知由实数构成的等比数列 满足 ， （）求数列 的通项公式；（）求 【答案】 （） 或 （）见解析【解析】试题分析：（）由题可得 .由此解得 ，即可得到数列 的通项公式；（）由（）知 或 ，分情况讨论即可得到试题解析：（）由 可得 .由数列 各项为实数，解得 ， .所以数列 的通项公式为 或 . （）当 时， ；当 时， . 17. 2017 年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决图 1（扇形图）和表 1 是其中一场
9、关键比赛的部分数据统计两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图 1在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法选手乙在比赛中的接发球技术统计如表 1，其中的前 4 项技术统称反手技术，后3 项技术统称为正手技术图 1选手乙的接发球技术统计表技术反手拧球反手搓球反手拉球反手拨球正手搓球正手拉球正手挑球使用次数20 2 2 4 12 4 1得分率55% 50% 0% 75%417%75% 100%表 1（）观察图 1，在两位选手共同使用的 8 项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球从表 1 统计的选手乙的所有拉球中任
10、取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（）如果仅从表 1 中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数） ，你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）【答案】 （）正手搓球和反手拧球（） （）正手技术更稳定. 【解析】试题分析：（）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.（）正手技术更稳定. 试题解析：（）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.（）根据表 1 的数据可知，选手乙的反手拉球 2 次，分别记为 A,B,正手拉球 4 次，分别记为 a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共 15 种结果，
11、分别是:AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb， Bc, Bd, ab， ac, ad, bc, bd,cd.其中至少抽出一次反手拉球的共有 9 种，分别是:AB,Aa， Ab， Ac, Ad, Ba, Bb， Bc, Bd.则从表 1 统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率 . （）正手技术更稳定. 18. 如图，在三棱柱 中，底面 为正三角形，侧棱 底面 已知 是 的中点， （）求证：平面 平面 ；（）求证： 平面 ；（）求三棱锥 的体积【答案】 （）见解析 （）见解析（） 【解析】试题分析：（）由 ， 及 ,可证 平面 即可证明平面 平面 ；（）证明 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面（）由 即可求得三棱锥 的体积试题解析：（）证明：由已知 为正三角形，且 D 是 BC 的中点，所以 因为侧棱 底面 ， ，所以 底面 又因为 底面 ，所以 .而 ,所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 （）证明：连接 ，设 ，连接 由已知得，四边形 为正方形，则 为 的中点.因为 是 的中点，所以 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面（）由（）可知 平面 ，所以 与 到平面 的距离相等，所以 由题设及 ，得 ，且 所以 ，所以三棱锥 的体积为
