1、 昌平区 20172018 学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科) 本试卷共 5 页，共 150 分. 考试时长 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 若集合 |21Ax， |(3)0Bx，则 ABA. |13或 B. |21x C. 0x或 D. 02 1+i|A. B. 2 C. 1 D. 13. 若 ,xy满足1,0,y则 2xy的最大值为A4 B. 2 C. 1 D. 24已知 ,ab是实数，则“ 0a，且 b”是“
2、 ()0ab”的A充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 直线 2ykx被圆 240y所截得的弦长是A2 B. 4 C. 26 D. 66. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A. 2 B. 32主视图 左视图俯视图1 12C. 4 D. 67. 九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”则可求得该女子第 2 天所织布的尺数为A. 4031 B. 2031 C. 103 D. 5318. 已知点 A（ -2,0） ， B（ ,） , 0Pxy（ ） 是直线 4x上任意一点，以 AB， 为焦点的椭圆过点
3、P，记椭圆离心率 e关于 的函数为 0()e，那么下列结论正确的是A. e与 0x一一对应 B. 函数 0()是增函数 C函数 ()无最小值，有最大值 D. 函数 x有最小值，无最大值第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9. 某校高一（1）班有学生 36 人，高一（2）班有学生 42 人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出 13 人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是 .10. 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 .11. 已知函数 ()sincofxx,那么 ()f 的最小正周期是 12. 已知双曲线21(0,)yab的左焦点
4、为抛物线 21yx的焦点，双曲线的渐近线方程为 yx，则实数 .开始否是1,8Sn输出 Sn60结束分 分 /分m235m64 605043020分 分 /分 分10O13.已知 RtABC， 1,点 E 是 AB 边上的动点，则 CEAur的值为 ； CEBur的最大值为 .14若函数4,3()logaxf（ 0且 1a） ，函数 ()gxfk. 若13，函数 ()x无零点，则实数 k的取值范围是 ； 若 ()fx有最小值，则实数 a的取值范围是 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. （本小题满分 13 分）已知等差数列 na的公差 d为 1，且
5、34,a成等比数列.（）求数列 的通项公式；（）设数列 52nab， 求数列 nb的前 项和 nS.16. （本小题满分 13 分）在 ABC中， 3sincosaA（）求角 的大小；（）若 ABCS， 23b，求 a的值17. （本小题满分 13 分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某大学社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，在该校随机抽取了 40 名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：MPE DCBA根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :学习时间 t(分钟/天) 20t5
6、0tt等级 一般 爱好 痴迷() 求 m的值；() 从该大学的学生中随机选出一人，试估计其“爱好” 中华诗词的概率；() 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试估计样本中 40 名学生每人每天学习“中华诗词”的时间18.（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，ABC60， AB为正三角形，且侧面 PAB底面 ABCD. E，M 分别为线段 AB，PD 的中点.（I）求证：PE 平面 ABCD； （II）求证：PB/平面 ACM；（III）在棱 CD 上是否存在点 G，使平面 GAM平面 ABCD，请说明理由19.（本小题满分 14 分）已知椭圆
7、 C：21()xya， (,0),1AB，圆 O： 21xy的圆心到直线 AB的距离为 32.（）求椭圆 C 的方程；（）若直线 l与圆 O相切，且与椭圆 C 相交于 ,PQ两点，求 的最大值.20.(本小题满分 13 分)已知函数 2e(xf， ()exg.（）求曲线 y = )f在点 0,f处的切线方程； （）求函数 (hxx在区间 2,0上的最大值和最小值.昌平区 20172018 学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)参考答案一、选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D B B D B A C C二、填空题(共 6 小题
8、，每小题 5 分，共 30 分)9. 7 10. 37 11. 12. 3 13. 1 ; 2 14. 1,) ； (,3 三、解答题(共 6 小题，共 80 分.)15.（共 13 分）解：（）在等差数列 na中，因为 134,a成等比数列，所以 2314，即 1+)d（ ，解得210a. 因为 , 所以 14,a所以数列 n的通项公式 5na. 6 分 （）由（）知 5, 所以 2nanb. 得131()(123)(=2nnnSn 13 分16. （共 13 分）解：（I）因为 3sincosaCA，所以 cs0，由正弦定理 iiinbB，得 3snscoAA 又因为 (0,)C， i0，
9、所以 tan3又因为 (0,)A， 所以 6 6 分（II）由 1sin324ABCSbcc，得 43bc，由余弦定理 2osaA，得 22cos6ab，即 2()3()831bc，因为 2c，解得 4a.因为 0，所以 2. 13 分17. （共 13 分）解：() 由图知， (3426)10mm，得 0.5. 3 分() 由图知，该大学随机选取的 40 名学生中， “爱好”中华诗词的频率为0.3.20.15)6%，所以从该大学中随机选出一人， “爱好”中华诗词的概率为 0.65. 6 分() 由该大学学习“中华诗词”时间的频率分布直方图及题意，得该大学选取的 40 名学生学习“中华诗词”时
10、间的数据分组与频率分布表：组号 1 2 3 4 5 6分组 0,(0,(0,(,0(,(0,频率 .2.1.5由题意可得， 10.20.3.40.250.16.053.（分钟）故估计样本中 40 名学生每人每天学习“中华诗词”的时间为 32.5 分钟. 13 分18. （共 14 分）（I）证明：因为 PAB为正三角形， E 为 AB 的中点，所以 PEAB，又因为面 PAB面 ABCD，面 PAB面 ABCD=AB， PE平面 PAB.所以 PE平面 ABCD. 4 分（II）证明：连接 BD 交 AC 于 H 点，连接 MH，因为四边形 ABCD 是菱形，所以点 H 为 BD 的中点. 又
11、因为 M 为 PD 的中点，所以 MH / BP.又因为 BP 平面 ACM, 平面 ACM.所以 PB / 平面 ACM. 8 分HMPE DCBAGMPE DCBAOGMPE DCBA（III）在棱 CD 上存在点 G，G 为 CD 的中点时，平面 GAM平面 ABCD 9 分证明：（法一）连接 E由（）得，PE平面 ABCD，所以 PECD，因为 ABCD 是菱形， AB C60，E 为 AB 的中点，所以 AB是正三角形，EC AB .因为 CD / AB，所以 ECCD因为 PEEC=E ，所以 CD平面 PEC，所以 CDPC因为 M，G 分别为 PD，CD 的中点，所以 MG/P
12、C，所以 CDMG因为 ABCD 是菱形，ADC60，所以 AD是正三角形.又因为 G 为 CD 的中点，所以 CDAG，因为 MGAG=G，所以 CD平面 MAG，因为 C平面 ABCD，所以平面 MAG平面 ABCD 14 分 （法二）：连接 ED，AG 交于点 O. 连接 EG, MO.因为 E，G 分别为 AB，CD 边的中点 .所以 /AD且 ，即四边形 AEGD 为平行四边形，O 为 ED 的中点.又因为 M 为 PD 的中点，所以 /PE.由（I）知 PE平面 ABCD. 所以 平面 ABCD.又因为 O平面 GAM，所以 平面 GAM平面 ABCD 14 分19. （本小题满分
13、 14 分）解：（）由已知得，直线 AB的方程为: 1,0xyxaya即 ： .由 1a, 得点 O 到直线 AB的距离为： 23,1a 解得 3a故椭圆 C 的方程为 23xy. 5 分（）当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 1x，代入213xy，得 6，此时 263PQ.当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 ykxm，因为直线 l与圆 O相切，所以 2|1,mk即 22由213xykm，消去 y，整理得 22(3)63(1)0xkm所以 22226(3)1()4,k由 0,得 k，设点 12(,)(,)PxyQ，则2121263(),kmxxk，所以2121224=y =2()33k，当且仅当 21,即 1时， |PQ有最大值为 3.综上所述， |PQ的最大值为 3. 14 分 20.(本小题满分 13 分)解：（） 2(e)xf， (02f，又 0) .故曲线 y = (f在点 ,()f处的切线方程为 yx . 4 分（）2)e)xhxg设21(xp，则 22()e4)=e()0xxp，则 p(x)在区间 ,0上单调递增，又 (1)p，当 2,1时， ()0pxh；当 时， .所以函数 ()hx在区间 2,1上单调递减，在区间 1,0上单调递增，又因为 26e(0)h，所以 minmax4()1),2x. 13 分.
