1、,第 七 章,系 统 的 稳 定 性,引 言,本章内容：介绍线性定常系统稳定性的基本概念；重点讨论两种常用的稳定性判据：劳斯稳定判据和乃奎斯特稳定判据；最后介绍系统的相对稳定性及其表达形式。,稳定的摆,不稳定的摆,稳定性定义：如果系统受到扰动作用时，输出偏离平衡状态，当扰动消除后，若系统在足够长的时间内能恢复到其原来的平衡状态，则该系统是稳定的，反之，如果系统对干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或发生持续振荡，则系统是不稳定的。,一、稳定性的概念,扰动去除后系统的输出：,1：回到原来的平衡状态-稳定 2：发散的震荡-不稳定 3：持续震荡-不稳定（临界稳定） 4：达到新的平衡状态-（临界稳定）
2、,稳定性是系统固有的特性，与系统的输入无关。,线性系统的稳定性决定于系统本身固有的特性，而与扰动信号无关，它决定于瞬态扰动消失后，暂态分量是否衰减。,从某种角度也可以这样定义：一个稳定的系统是输出响应有界的系统。也就是说，若系统在有界输入或干扰的作用下，其响应的幅度也是有界的，则称系统是稳定的。,二、稳定性的充分必要条件,对于线性系统，稳定性同闭环传递函数极点的位置有关。设线性定常系统的微分方程为,在初始条件不为零的条件下取拉氏变换，得,系统的特征方程为,此时系统为稳定的系统。反之，若特征根pi具有正实部，则零输入响应就会随时间的延长而发散，即,此时系统为不稳定的系统。,暂态分量的是否衰减，决
3、定于系统闭环传递函数的极点(即系统的特征根)在s复平面上的分布 系统稳定的充分必要条件是：系统的全部特征根都具有负实部。,由于系统的特征根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环传递函数的全部极点均位于s复平面的左半平面。,如果所有极点都分布在s复平面的左半平面，系统的暂态分量将逐渐衰减为零，则系统是稳定的；如果有共轭极点分布在虚轴上，则系统的暂态分量作等幅振荡，系统处于临界稳定状态；如果有闭环极点分布在s复平面的右侧，系统具有发散振荡的分量，则系统是不稳定的。,第 二 节 Routh-Hurwitz稳定判据,劳斯判据也称代数稳定判据，它是基于特征方程根与
4、系数的关系建立的，通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，以此来判断系统的稳定性。,一、系统稳定的必要条件,设系统的特征方程为：,由根和系数的关系可知，若使全部特征根均具有负实部，系统必须满足：,特征方程的各项系数ai0。 特征方程的各项系数ai的符号都相同。,在控制工程中，一般取a0为正值。系统稳定的必要条件为：特征方程的各系数ai0。,二、劳斯(Routh)稳定判据,设系统的特征方程为,将系统特征方程的n+1个系数排列成下面形式的行与列，称为劳斯数列。,每一行的元素计算到零为止。为简化运算过程，可以用一正整数去乘以或除某一行的各项。,系统满足稳定性的必要条件
5、：所有系数ai均为正值。劳斯稳定判据给出系统稳定的充要条件是：劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号。,劳斯稳定判据还指出：劳斯数列表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。,例如： + + + + + 没有不稳定根（稳定） + + - - - 有一个不稳定根(不稳定) + + - + + 有两个不稳定根(不稳定),解：(1)该系统特征方程的系数不缺项且均同号，满足系统稳定的必要条件。(2) 列劳斯列表,例51 已知系统的特征方程为,各元素乘以2,各元素乘以9,第一列元素变号两次，因此，该系统有两个正实部的特征根，系统不稳定。,1. 劳斯数列中某一行的第一列元素为零
6、，但该行其余元素不全为零,几种特殊情况：,解决方法：可以用一个很小的正数来代替第一列等于零的元素，然后继续计算劳斯数列中其余各个元素，最后令小正数趋于零，再按照前述方法对系统稳定性进行判别。,系统不稳定，有两个根位于s右半平面。,例52 已知系统的特征方程为,用劳斯判据判断系统的稳定性。,解 (1) 该系统特征方程的系数不缺项且均同号，满足系统稳定的必要条件。(2) 劳斯列表如下,2）用 s=1/p 代入原特征方程式，得到一个新的含 p 的多项式，再对此 p 多项式应用劳斯判别法，p的不稳定根数等于 s 的不稳定根数。,3）用 s+a（a为任意正数）乘以原特征方程式，得到一个新的特征方程，再用
7、劳斯判据。,在这种情况下，可以用该零行的上一行元素构成一个辅助方程，取辅助方程的一阶导数所得到的一组系数来代替该零行，然后继续计算劳斯数列中其余各个元素，最后再按照前述方法进行判别。对辅助方程求解可得到对称根。,2. 劳斯数列中某一行的元素全部为零,这种情况意味着在s平面中存在着一些对称于虚轴的根：,1）一对（或几对）大小相等符号相反的实根； 2）一对共轭虚根； 3）呈对称位置的两对共轭复根。,解 (1) 该系统特征方程的系数不缺项且均同号，满足系统稳定的必要条件。(2) 列劳斯表如下,例53 已知系统的特征方程为,用劳斯判据判断系统的稳定性。,表中第一列元素均为正号，系统没有正实部特征根。但
8、由于劳斯数列表出现全零行，说明系统在虚轴上有共轭虚根，求解辅助多项式构成的辅助方程，就可得该共轭虚根，即求解,得两对共轭虚根,可见，系统处于临界稳定状态。,解 (1) 令控制系统闭环传递函数的分母等于零，得到系统的特征方程式，即,特征方程式的各项系数均大于零，满足控制系统稳定的必要条件。,(2) 由特征方程系数构成的劳斯数列表为,三、劳斯稳定判据的应用,例54 已知控制系统的传递函数为,试用劳斯判据判断系统的稳定性。,劳斯数列表中第一列元素均大于零，满足系统稳定的充分条件，因此，该系统是稳定的。,解： 单位反馈系统的闭环传递函数为,系统的特征方程式为,例54 已知单位反馈系统的传递函数为,试确
9、定使闭环系统稳定的T和K的范围。,1）若使系统稳定，首先特征方程式的各项系数均大于零，满足控制系统稳定的必要条件，即,2）由特征方程系数构成的劳斯数列表,若使系统稳定，还必须使劳斯数列中第一列元素均大于零，满足稳定的充分条件，因此有,解得,第三节 乃奎斯特稳定判据,乃奎斯特稳定判据：又称频域法判据，它是根据开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，同时还可以得知系统的相对稳定性及指出改善系统稳定性的途径。,乃奎斯特判据的数学基础是复变函数中的映射定理，又称幅角原理。,1、基本原理：,（1）、闭环特征方程：,令：,则：,闭环特征多项式：,开环传递函数：,可看出： 1）、特征多项式A(s)的极点与开环传
10、递函数的极点完全相同； 2）、 特征多项式A(s)的零点数（即根数）等于其极点数 n 。所以，可将开环的极点看做闭环特征多项式的极点。,（2）幅角原理：阐明闭环特征多项式零点、极点 分布与幅角变化的关系。,（2）幅角原理：阐明闭环特征多项式零点、极点分布与幅角变化的关系。,(a),(b),图6-5 s平面与A(s)平面的映射关系图,s,若s中包含Z个闭环特征多项式的零点，P个开环极点，当S沿顺时针转一圈时，则向量A(s)在A(s)平面上变化时，其幅角的变化为,即为幅角原理的数学表达式，其中N表示当 s 沿s顺时针转一圈时，A(s)在A(s)平面上绕原点沿 逆时针转的圈数。若：,N0， 表示逆时
11、针转的圈数 N=0， 表示A 不包围原点 N0， 表示顺时针转的圈数,确定N的方法：,（3）、乃奎斯特判据：,判别系统的稳定性，就是要判别在s平面的右半平面是否包含闭环特征多项式A(s)的零点,z = p N,如果1+GH曲线上相应的点绕原点逆时针旋转数N=p，则z=0，系统稳定。,闭环特征多项式A(s)的极点即为开环传递函数G(s)H(s)的极点。很容易直接从G(s)H(s)观察到位于s右半平面的极点数 p 。,在1+GH平面上绕原点逆时针旋转的圈数，相当于在GH平面上绕(-1,j0)点逆时针旋转的圈数,当s，即s在右半平面半径为无穷大的圆弧时： G(s)H(s) 0 (nm时), 或趋于一
12、常数 (n=m)，即G(s)H(s)收缩为原点或实轴上的一个点。从而我们在画乃奎斯特图时只需画沿虚轴 s=j，当从- 变到+时G(j)H(j)的轨迹，,又因为当从- 变到+时G(j)H(j)的轨迹，对实轴对称，所以只需画出从0变到+时的G(j)H(j)的图形（开环频率特性的极坐标图），而它的对称图形就是从-变到0时的G(j)H(j)的图形，即可画出全部图形。,因此，我们就可以用系统的开环传递函数G(s)H(s)来判别系统的稳定性。,Nyquist判据 一个系统稳定的充分和必要条件是z = p N = 0 或 N=p,其中 z - 闭环特征多项式A(s)在s右半平面的零点数 P 开环传递的函数在
13、s右半平面的极点数,N 当自变量s沿包含虚轴及整个右半平面在内的极大的封闭曲线顺时针变化一圈时，开环乃奎斯特图绕(-1,j0)点逆时针转的圈数。,闭环系统稳定的充要条件A(s)在s平面的右半平面无零点,即z=0. 若G(s)H(s)的乃氏轨迹逆时针包围（1，j0）点的圈数等于其在s右半平面的极点数P，即N=P，由z=p-N得出Z=0，闭环系统稳定。,如果特征方程式为,同样可有,则可通过GH绕(-1/K,j0)点转的圈数和极点数来判别系统的稳定性。,特殊情况： G(s)H(s)在原点或虚轴上有极点,开环传递函数有重零极点时，G(s)H(s)在G(0)H(0)处不封闭，当s沿着沿着半径为无穷小的右
14、半平面小半圆绕过原点时，对应的乃氏轨迹为从G(0-)H(0-)到G(0+)H(0+)为半径为的顺时针圆弧，圆弧的角度为 。,如果开环传递函数G(s)H(s)在原点有一个极点，由于s平面上的乃氏轨迹不能经过开环极点，这时应以半径为无穷小的圆弧逆时针绕过极点所在圆点，如图5-9所示。,图5-9 平面原点处有开环极点的乃奎斯特图,设系统的开环传递函数为,3. 乃氏稳定判据的几点说明,(1) 乃氏判据是基于幅角定理通过开环频率特性曲线相对于(-1,j0)的包围情况来判别闭环系统的稳定性。这是因为闭环特征多项式为A(s)=1+G(s)H(s)，而A(s)包围s平面原点的情况与G(s)H(s)在GH平面包
15、围(-1,j0)点的情况完全相同，因此用G(j)H(j)曲线包围(-1,j0)点的情况同样可以反映闭环系统的稳定性。,首先要确定开环是否稳定，即P是多少。然后绘出开环频率特性G(j)H(j)的乃氏图，根据其围绕(-1,j0)点的情况确定包围圈数N，N0表示逆时针旋转，N0表示顺时针旋转。,最后再根据Z=P-N确定Z是否为零，Z0表示闭环系统不稳定，Z的数值等于闭环极点在s右半平面的数目。,(3) 开环频率特性G(j)H(j)的乃氏图是以实轴为对称的，因此一般只需要给出由0到+变化的曲线即可判别闭环系统的稳定性。,(2) 用乃氏判据判别闭环系统稳定性的基本公式是 N=P-Z，判别步骤如下：,系统
16、的乃氏图如图所示，因为G(s)H(s)在s平面的右半平面无极点，即P=0，且系统的乃氏曲线不包围(-1,j0)点，因此无论K取何正值，系统总是稳定的。,解： 开环频率特性为,幅频特性,该系统P=1，若G(j)H(j)按逆时针方向绕(-1, j0)点一圈，则闭环系统稳定，为此要求K1;若K1，则闭环系统不稳定。由此可见，对于开环不稳定系统，闭环后有可能稳定，也有可能不稳定。,相频特性,4. 具有延迟环节系统的稳定性分析,开环传递函数含有一个延迟环节时，仍可采用乃奎斯特稳定判据判断系统的稳定性。,系统的开环传递函数,系统的开环频率特性为,幅频特性和相频特性为,延迟环节不改变系统的幅频特性，仅使相频
17、特性发生变化，不利于系统的稳定性。,5. 对数乃奎斯特判据,根据乃奎斯特稳定判据，若控制系统的开环是稳定的，闭环系统稳定的充分必要条件是开环频率特性不包围(-1,j0)点。若将极坐标图转换成对数坐标图，两种坐标图之间有如下对应关系。,乃氏图与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，称为剪切频率或幅值穿越频率，用c表示。乃氏图与与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲线与-180度线交点的频率称为相位穿越频率，记为g。,正穿越：在乃奎斯特图上，若开环频率响应按逆时针 方向包围(-1,j0)点一圈，则G(j)H(j )必然从上 而下穿越负实轴的-1至-线段一次，因为伴随这种穿 越的相移G
18、(j)H(j)将产生增量，称为正穿越。,负穿越：若开环频率响应按顺时针方向包围包围乃氏图上(-1,j0)点一圈，G(j)H(j)必然从上而下穿越负实轴的-1至-线段一次，因为伴随这种穿越的相移G(j)H(j)将产生负增量，称为负穿越。,图5-12 乃氏图与Bode图之间的对应关系 a) 乃氏图 b) Bode图,对数乃奎斯特稳定判据表述为：如果开环系统在s平面的右半平面有P个极点，闭环系统稳定的充分必要条件是：在对数幅频特性为正的所有频段内相频特性曲线在-180线上的正负穿越之差为P/2，其中，P为位于s平面右半部的开环极点数目。,如果开环系统是稳定的，即P=0，则在对数幅频特性为正的所有频段
19、内，相频特性曲线不穿越-180线，则闭环系统稳定。,对数乃奎斯特稳定判据也可以表述为：若开环系统稳定(P=0)，开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即cg，则闭环系统稳定；若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即cg，则闭环系统不稳定；若c=g，则闭环系统临界稳定。,例：,5.4 系统的相对稳定性,设计控制系统时，要求它必须稳定，这是控制系统能够以正常工作的必要条件，除此之外，还要求控制系统具有适当的相对稳定性即适当的稳定裕量。,系统的相对稳定性通过开环幅相特性曲线对(-1,j0)点的靠近程度来表征。定量表示通常用相位裕量r和幅值裕量Kg来表征。,一、相位裕量 r,幅值穿越频率
20、c : 乃奎斯特曲线与单位圆的交点,对于稳定的系统， 必在Bode图-180线以上，即为正相位裕量；对于不稳定系统， 必在Bode图-180线以下，即为负相位裕量。,若使最小相位系统稳定，相位裕量 必须为正值。,二、幅值裕量 Kg,在Bode图上，幅值裕量改为分贝表示为,因此，对于开环为P=0的闭环系统来说，开环频率特性G(j)H(j)具有正幅值裕量与正相位裕量时，则闭环系统稳定。,从工程控制实践中，一般希望,稳定,不稳定,关于相位裕量 和幅值裕量Kg的几点说明： 1、 0， Kg0，系统是稳定的，是对最小相位而言，对非最小相位不适用； 2、衡量一个系统的相对稳定性，必须同时用相位裕量与幅值裕
21、量这两个量；,3、合适选择 和Kg，防止系统中参数变化导致系统不稳定的现象； 4、对于最小相位系统，要求系统,意味着幅频特性图在穿越频率c处的斜率应大于-40(dB/dec)。为保持稳定，在c处应以-20(dB/dec)斜率为好，此时对应的相位角在-900左右，考虑到还有其它因素的影响，就能满足,1) 如L()曲线的中频段斜率为-20dB/dec，且占据的频率区间较宽，这时如只从平稳性和快速性考虑，可近似认为开环的整个特性为-20dB/dec的直线。,其对应的传递函数为,这时，如果H(s)=1，则有,2) 如L()曲线的中频段斜率为-40dB/dec，且占据的频率区间较宽，这时如只从平稳性和快
22、速性考虑，可近似认为开环特性就是-40dB/dec的直线。,其对应的传递函数为,如果H(s)=1，则有,中频段斜率越陡，闭环系统将难以稳定，故通常取L()在c附近的斜率为-20dB/dec以期得到良好的平稳性，而以提高c来保证要求的快速性。,三、条件稳定,对于如下开环传递函数：,解 （1） 系统的开环频率特性为,若使系统稳定，必须满足开环幅相特性曲线不包围(-1,j0)点，即,（2）系统的幅值裕量定义为开环幅相特性曲线与负实轴交点处幅值的倒数，即,由此可见,时，开环Nyquist曲线不包围（1，j0）点，闭环系统稳定。,开环Nyquist曲线穿过（1，j0）点，闭环系统临界稳定。,开环Nyqu
23、ist曲线包围（1，j0）点，闭环系统不稳定。,解 (1)系统的开环频率特性为,系统的幅值裕量为20dB，即,(2) 系统的幅频特性和相频特性分别为,因为由已知条件可得,解： 单位反馈系统的闭环传递函数为,系统的特征方程式为,例54 已知单位反馈系统的传递函数为,试确定使闭环系统稳定的T和K的范围。,1）若使系统稳定，首先特征方程式的各项系数均大于零，满足控制系统稳定的必要条件，即,2）由特征方程系数构成的劳斯数列表,若使系统稳定，还必须使劳斯数列中第一列元素均大于零，满足稳定的充分条件，因此有,解得,解： 系统的开环频率特性为,解： 系统的开环频率特性为,对数幅频特性和相频特性分别为,将 代
24、入,由此可见，三个惯性环节串联的系统，只有当三个时间常数相等时临界开环增益最小，即,K=8,5.5 系统稳定性分析的MATLAB实现,一、代数稳定判据的MATLAB实现,控制系统的稳定性决定于系统闭环特征方程的根，在MATLAB中可以用函数roots( )，pzmap( )等实现。在系统稳定性分析中，系统闭环特征多项式降幂排列的系数矢量为den。若已知系统den，求得其根，若所有根的实部都小于零，则闭环系统稳定；若所有实部大于零的,根存在，则闭环系统不稳定。若存在实部等于0的根，则闭环系统为临界稳定。MATLAB稳定性分析函数如表5-1所示。,函 数,功 能,调 用 格 式,说 明,roots
25、,pzmap,计算多项式的根,在复平面内绘制出系统的零极点图,roots(den),pzmap(num,den),得到以多项式den的根所组成的列矢量，多项式den按降序排列,表-1 的稳定性分析函数,解 利用函数roots( )的MATLAB计算程序为,由计算结果可知，该系统有2个极点具有正实部，故系统不稳定。,利用函数pzmap( )，MATLAB程序为,程序执行后，得到系统的零极点图如图5-15所示。由图5-15可见，系统有两个半平面的极点存在，故闭环系统不稳定。,图5-15 系统的零极点图,二、频域稳定判据的MATLAB实现,在MATLAB中，乃奎斯特稳定判据可以由函数nyquist(
26、 )来实现。函数nyquist()绘制的开环系统Nyquist曲线可以用来判定闭环系统的稳定性，如果Nyquist曲线按逆时针方向包围(-1,j0)点P次(P为系统开环特征方程不稳定根的个数)，则闭环系统稳定。,例5-13 已知直流单闭环系统的Simulink动态结构图如图5-16所示。图中转速闭环已经断开，试绘制出系统的Nyquist曲线，并用Nyquist稳定判据判断系统的稳定性。,图5-16 系统的Simulink动态结构图,解 编写M文件绘制系统的Nyquist曲线，程序如下：,(1) 求局部反馈回路的闭环传递函数,(2) 求系统开环传递函数,图5-17 系统的Nyquist曲线,程序
27、执行后，可得到如图5-17所示的系统Nyquist曲线。,求系统开环传递函数的MATLAB程序(M文件)如下：,程序执行后，即可得到系统的开环传递函数为,Transfer function：,求系统特征根的程序如下：,由运算数据可知，特征方程的根全为负值，都是稳定根，即P=0。,由图5-17中的Nyquist曲线没有包围且远离(-1,j0)点，又开环系统不稳定根的个数P=0，所以闭环系统稳定。,三、对数频域稳定判据的MATLAB实现,在MATLAB中，求系统幅值裕量和相位裕量的函数margin( )可以实现对数频域稳定判据。,函数调用格式为,margin( )函数可以从频率响应数据中计算出幅值
28、稳定裕量、相位稳定裕量及其对应的角频率。输入参量sys一般是用系统的开环传递函数描述的模型。当不带输出变量引用函数时，margin( )函数可在当前图形窗口中绘出带有稳定裕量的Bode图。,Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(sys)函数是带有输出变量的引用形式，可计算出系统的频域性能指标，该函数不绘制Bode图。输入参量sys，输出变量返回的Gm是系统幅值裕量及其对应的角频率cg，Pm是相位裕量及其对应的角频率cp。,margin(mag,phase,w)函数可以在当前图形窗口中绘出带有幅值裕量和相位裕量的Bode图，其中，mag，phase及分别由bode函数求出的幅值裕量、相位裕量及其对应的角频率。,Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(mag,phase,w)函数是带有输出变量的引用形式，该函数不绘制Bode图，输入参量，返回的参量含义同上。,解 对于G1(s)执行以下MATLAB程序：,程序执行后，得到系统1的伯德图如图5-18所示。,图5-18 系统1的Bode图,并计算出频域性能指标，其中：Gm=7.4074，lg7.4074=17.4dB。由于幅值裕量及相位裕量均大于零，故闭环系统稳定。,对于G2(s)执行以下MATLAB程序：,程序运行后，可得系统2的Bode图如图5-19所示，并求得相位裕量小于零，故闭环系统不稳定。,图5-19 系统2的Bode图,
