1、PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS 概率论与数理统计黔南民族师范学院 数学系 余吉东,概率论与数理统计简介,概率论与数理统计课程特点,我 的 希 望,引 言,本学科的应用,概率(或然率或几率) 随机事件出现,的可能性的量度 其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕,斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方,法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理,分配赌注问题” ( 即得分问题 ).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的 数学分支学科.,概率论与数
2、理统计简介,概率论与数理统计简介,“ 得 分 问 题 ”,甲、乙两人各出同样的赌注，用掷,硬币作为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝,上，甲得 1 分乙不得分. 反之，乙得1分，,甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部,赌注. 当进行到甲还差 2分乙还差3分，就,分别达到规定分数时，发生了意外使赌局,不能进行下去，问如何公平分配赌注？,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,第二次世界大战军事上的需要以及大工业,与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息,论、控制论与数理统计学等学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以
3、对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,统计方法的数学理论要用到很多近代数学,知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数,学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这,样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计,学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列,的数学分支学科，并无从属关系.,概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支，它是研究自然界、人类社会及技术过程中大量随机现象的统计规律性的一门数学学科。随着现代科学技术的迅速发展，这门数学学科得到了蓬勃发展，它不仅形
4、成了系统的理论，而且在自然科学、人文科学、工程技术及经营管理等经济领域方面得到了越来越广泛的应用。,概率论与数理统计课程特点 入门难，与其他数学课程衔接性不强。 要用到许多基础数学知识，如初等数学的集合论、排列组合等，微积分的导数与积分，特别是积分甚至要用广义积分、二重积分等。 独特的思想方法，即“概率思想”。 学习方法问题 学习的四个环节：预习、听课、复习、做题。,概率论与数理统计课程特点,我 的 希 望,我 的 希 望,我希望：你能喜欢我的课；,我希望：你能勇于回答我的问题；,我希望：你能敢于向我提出问题；,我希望：你能通过我的课程，培养创新精神，增强能力。,我希望：同学在学习过程中要积极
5、思维；不要被动思维；更不要拒绝思维。,引 言,社会应该试图去解决的许多令人关注的问题却具有显著不同的特性：即使人们获得并彻底研究了所有相关的信息之后，有关未来的某些不确定性依然存在我们不能绝对肯定地说明天是否会下雨，就从明天起一个月里的天气而言，我们也只能给出最有推测性的预测类似地，我们不能精确地确定21世纪第一个出生的婴儿的寿命，甚至不能确定其性别我们可能无法算出有百分之几的被告有罪，陪审团正确地判他们有罪的确切的百分数,这些情形都包含有可能性，或不确定性，或概率的成分贯穿人类文明的一切阶段，人们都在苦苦地对付这些问题,在上一世纪，为寻找如何把可能性事件纳入我们的严格而又富有成果的方式的分析
6、之中，我们已经取得了重大的进展正如一位作家用如下的语言所表述的：概率论和统计学转变了我们关于自然、心智和社会的看法这些转变是意义深远而且范围广阔的，既改变着权力的结构也改变着知识的结构这些转变既使现代官僚政治成形，也使现代科学成形.,在许多实际生活的情形中确定性模型可能并不合适就确切地确定系统每个关键变量的水平或作用在系统上的每个外力的影响而言，我们关于一个特定系统当前状态的知识可能太不精确我们可能只能断言给定的数在某个范围之内，或给出某种力将以几种不同方式中的一种方式影响该系统的相对可能性的估计当我们关于系统的知识增加时，我们可能会得到更好的估计，但是某种不确定性可能永远存在,在这些情形中，
7、我们并不试图对未来某个特定时刻系统的状态作出确定性的预测，而代之以给出概率判断：“明天有60的可能性会下雨”；“打赌的人预测芝加哥公牛队在篮球锦标赛中有三比二的获胜可能性”；“大约35的人认为总统正在做着令人满意的工作”可能会有这种情形，即使对系统现时的状态和作用于该系统上的外力有充分的知识，我们仍然相信从原则上讲结果仍然要遵从某种不可预测、意想不到的过程,正如伟大的法国数学家Laplace(拉普拉斯，PierreSimon marquis de Laplace，17491827，法国数学家和天文学家)所写的：“生活中最重要的问题实际上多半是概率问题”。,英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾,对概
8、率论大加赞美：“ 概率论是生活真正,的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那,么我们就寸步难行, 无所作为.,本学科的应用1女人和巫术的问题：17世纪新英格兰一个村镇曾有21个男人和68个女人面临巫术的指控，只有2个男人被判有罪，却有14个女人被判有罪对男人和女人是否是按不同的标准来审判的?,本学科的应用,2艾滋病(AIDS)普查问题：尽管设计用来识别某种抗体存在性的血液试验可能有高度的敏感性和选择性，当把这种试验用于特定抗体的发生率很低的一大群人时，大多数呈现的“阳性”都是假阳性为什么会这样呢?对艾滋病病毒或毒品的强制性试验的意义又是什么呢?,3安全装置的可靠性问题：核电厂的放射性检测仪会
9、发出大声的警报，如果反应器达到了不可接受的放射性泄漏水平的话当放射性泄漏水平很低的时候，有时警报也会响起来于是就产生了怀疑：即使有真正的危险时，检测仪会不会不发警报呢?这种安全系统的可靠性怎么样?另外多装几台检测仪能提高可靠性吗?,4汽车失窃问题：犯罪统计数字表明在你所在的居民点，每年每五个人中有一人是汽车被窃的受害者你在三年中能免遭丢车的可能性有多大?作为一个有代表性的居民，他(她)的车被窃之前预期有多长的等待时间?你估计要多少年才会使你所在的居民点中每一个都成为汽车被窃的受害者?,5求职面试问题：你刚刚接到三位有可能成为你的雇主的面试通知每位雇主都有三个不同的空缺职位：一般的、好的、极好的
10、职位，其年薪分别为25 000，30 000和40000你所在学院的安置办公室估计每个公司向你提供一般职位的可能性为410，而提供好的和极好的职位的可能性分别为310和210不聘你的可能性为110,假定每个公司都要求你在面试结束时表态-接受或拒绝他们提供的职位你应采取什么样的对策?例如说，你是否应该拒绝第一家公司提供的好的职位而碰碰运气争取剩下的两家公司中有一家会给你更好的职位?,6.彩票问题：就弗吉尼亚州的彩票来说，是从1到44个数中随机选出6个数作为中奖号码.如果你握有一张彩票，其6个数正好是这引入注目的6个数的话，你将赢得大奖1992年2月，一群澳大利亚的投资者试图通过买断每一种单个6位
11、数组合的号码的彩票来赢得弗吉尼亚州的估计巨额奖金高达2700万美元的抽彩给奖这样做，投资者要花多少钱?值得冒这个风险吗?,7. 气象、水文、地震预报、人口控制,及预测都与 概率论 紧密相关；,8. 产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均需要用到 假设检验；,11. 探讨太阳黑子的变化规律时，时间,序列分析方法非常有用;,9. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计,和数据处理；,10. 处理通信问题, 需要研究信息论,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,装卸、机器维修、病人候诊、存货制、,13. 在生物学中研究 群体的增长问题时,了提出了生灭型 随机模型，传染病流行问,题要用到多变量
12、非线性生灭过程；,14. 许多服务系统，如电话通信、船舶,识就是 排队论.,可夫 过程 来描述;,12. 研究化学反应的时变率，要以 马尔,这些问题的某些共同特性这些问题中的每一个问题都涉及不确定性或可能性如果在你所在的衔区每年有20的汽车被窃，那么有可能在五年中人人都成为受害者但是也有可能某些人的汽车从未被窃，而另一些人却有几辆汽车被窃如果运气好，你可能永远不必去报案说你的汽车被偷了，如果运气不好，你可能成为警察分局的报案常客,如果你在艾滋病病毒的血液试验中呈阳性，则可能是真的阳性或假的阳性，我们不能肯定地说是真阳性，因为试验不是完全可靠的，我们也许能估计呈现真阳性可能性的概率在核反应堆的例
13、子中我们还要面对假报警和真警未报的问题假报警意味着没有问题时却报了警；真警末报是报警仪器显示没有问题而实际上却出现了真正的危险的情形在这种情形中，真警未报远比假报警危险得多,于是我们也许想要分析这种情况以找到降低出现真警未报可能性的方法如果有几部报警器在运用，个别仪器报警成功或失败的许多模式将会出现，每种模式都以不同的概率发生例如说，即使每台仪器都不报警，我们仍不能绝对肯定反应堆正在安全运行在巫术问题中，我们感兴趣的是确定历史数据是否能证实存在性别偏见另一种可能的解释是个人是否被判有罪是一偶然事件，我们看到的这些数据可能和从这群男人和女人中随机选出的男女比例数相吻合,在考虑每周玩一次的彩票的问
14、题中，我们一定要在单张彩票输掉并损失掉所付的$1这种极大可能性和正好买到那张最幸运的组合数的彩票并赢得几百万奖金的这种极不可能的事件之间取得平衡我们可能买到一些有幸运数的彩票，但不是全部，赢得几种比较小的现金奖中的一个怎样才能做到这种平衡呢?我们可以考虑每隔一周买一张彩票，并计算每张彩票赢(输)的平均钱数.这个平均数称为彩票的期望值,如果在50个接连的周中，我们有一次赢了$25，另一次赢了$15，其它的48张彩票都输掉了，那么纯收人为既$25十$15$50$10，所以平均值为每周 $1050 或 $020当然我们也可以用多买几张彩票的办法来提高单周中赢的可能性如果我们试图像澳大利亚赌徒们所做过
15、的那样买断所有可能组合数的彩票又将会怎样呢?那将会有多少张彩票?这样努力值得吗?,在我们描绘过的涉及求职面试的情景中，你们可能会试图在事先制定一种策略以指导你在接受或拒绝所提供的工作的时刻到来时该怎办如果提供给你的是极好的职位时该怎么做是毫无疑问的，但对提供的任何其它的职位无论作那种决定都伴有相应的风险如果你拒绝了一个雇主提供的好的或一般的职位，你可能从随后的两个公司得不到任何职位.,另一方面，你若从第一个公司那里接受了一般或好的工作，你可能放过了随后两个公司年薪增加很多的极好的职位的可能性采用什么策略能使你得到好的或极好的职位的可能性最大呢?什么策略能给出最大的年薪期望值?这些策略是否是同样
16、的策略?如果概率估计改变了或薪金多少改变了，如何对每种策略进行修正?为得到关于这些问题和相关问题的更精确的阐述，致使最终能找到更确切的解答，我们需要了解一些概率论的工具,共同的要素我们可以找出一些概率问题共有的更为具体的要素： 1一组固定的有明确定义的可能的结果； 2关于哪个结果实际上会发生的不确定性； 3关于每种可能的结果的相对可能性的某些 知识 4附加于每种结果的可计量的惩罚/奖励我们用求职面试的例子来说明这些要素,每次面试可能的结果如下：不提供工作，提供一般职位，提供好的职位，提供极好的职位只有一种结果会发生，但不知道是哪一种结果，因此就有不确定性我们已经有了关于这些可能结果中每一个发生
17、的相对可能性的估计：,最后，与每种估计相应，我们有惩罚和奖励在这里的情形，每种职位提供的起始年薪为：,这四个要素结果、不确定性、每种结果的相对可能性以及风险奖励，通常都出现在与可能性的结果有关的所有情形中.,我们需要学习以一种能反映所研究情形的基本现实的相容方式来指定可能结果的概率或相对可能性的数值计量方法我们还需要考察更为复杂的事件的概率的确定方法，如果构成该复杂事件的比较简单事件的概率已知的话例如，三次求职面试中至少有一次提供极好职位的概率是什么?三个雇主都提供一般职位的概率是什么?我们将研究解答这些问题的工具,背景聚焦,概率和法律,与概率有关的问题正愈来愈多地出现在法庭上被指控犯有罪行的
18、被告有罪或无罪常常是由陪审团来裁决的在没有见证人的情况下，陪审团必须权衡DNA(脱氧核糖核酸)“指纹”的证实，毛发的相似性，或与地毯织线的吻合性,背景聚焦,1968年如利福尼亚州的一个案件说明了概率是如何被使用(以及错用)在一项犯罪审判中的见证人报告说看到一个金发且扎成马尾样发型的白人妇女和一个长有八字须和络腮胡子的黑人男子一起在洛杉矾郊区的一个小巷中跑出来，那里正是一位老年人刚刚遭受背后袭击和抢劫的地方这对男女开着一辆部分为黄色的汽车跑了因此警察就逮捕了Jenet Collins和Malcolm Collins这对夫妇他们有一辆部分为黄色的林肯牌汽车，她通常把她的金发挽成马尾型，他是一个黑人
19、尽管逮捕他时，他的胡子刮得很干净，但仍能看出不久前他还是满脸络腮胡子的痕迹.,在审判中，公诉人说了Collins夫妇有罪的“数学证明”他给出了由见证人指出的特征的下列“保守的概率”：,公诉人于是争辨说这些概率的乘积为 1/12000000，因此在洛杉矾地区具有所有上述特征的另一对夫妇的可能性小于千万分之一,陪审团于是判这对夫妇有罪，但加州最高法院在上诉中驳回了这样的定罪，列举了几处错误使用以概率为基础的论证Co11ins案件在法律界引起了广泛的争论，同时争论也延伸到颇具威望的法律刊物上发表的文章中,在你正式学习概率论之前，写下本节讲过的六个问题的你认为合理的答案(a)女人与巫术 (b)艾滋病普查(c)安全装置的可靠性 (d)汽车失窃(e)求职面试 (f)彩票问题,
