1、电 磁 场 理 论Electromagnetic Theory郑州大学物理工程学院 马凤英Email: ,一、课程的性质和任务 二、电磁场理论的主要研究领域 三、电磁场理论发展简史 四、电磁场理论的主要研究对象 五、学习的目的、方法及其要求 六、主要参考书,绪 论,一、课程的性质和任务,“电磁场理论”是高等学校电子信息类及电气信息类专业本科生必修的一门技术基础课，课程涵盖的内容是电子、电气信息类专业本科学生应具备知识结构的重要组成部分。近代科学的发展表明，电磁场与电磁波基本理论又是一些交叉学科的生长点和新兴边缘学科发展的基础，而且对完善自身素质，增强适应能力和创造能力长远地发挥作用。 本课程将
2、在“大学物理（电磁学）”的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其分析计算方法。通过课程的学习，掌握基本的宏观电磁理论，具备分析和解决基本的电磁场工程问题的能力。,先修课程：高等数学，大学物理（电磁学），电路，电动力学等 后继课程：通信原理，数字信号处理，微波理论等,二、电磁场理论的主要研究领域,作为理论物理学的一个重要研究分支，主要致力于统一场理论和宏观量子电动力学的研究。 作为无线电技术的理论基础，集中于三大类应用问题的研究。 三大类应用问题： 1、能源-电磁场（或电磁波）作为能量的一种形式，是当今世界最重要的能源，其研究领域涉及电磁能量的产生、储存、变换、传输和综合利用。
3、2、信息传输-电磁波作为信息传输的载体，成为当今人类社会发布和获取信息的主要手段，主要研究领域为信息的产生、获取、交换、传输、储存、处理、再现和综合利用。 3、探测手段-电磁波作为探测未知世界的一种重要手段，主 要研究领域为电磁波与目标的相互作用特性、目标特征的获取与重建、探测新技术等。,1.电现象最早的记载：公元前 600年左右（摩擦起电） 2. 1745年，荷兰莱顿大学教授马森布罗克制成了莱顿瓶，可以将电荷储存起来，供电学实验使用，为电学研究打下了基础。 3. 1752年7月，美国著名的科学家、文学家、政治家富兰克林的风筝试验，证实了闪电是放电现象，从此拉开了人们研究电学的序幕。,三、电磁
4、理论发展简史,电、磁现象是人类和大自然之间最重要的往来现象，也是最早被科学家们关心和研究的物理现象，其中贡献最大的有富兰克林、伏特、法拉第等科学家。19世纪以前，电、磁现象作为两个独立的物理现 象，没有发现电与磁的联系。,4. 1753年，俄国著名的电学家利赫曼在验证富兰克林的实验时，被雷电击中，为科学探索献出了宝贵的生命。 5. 1638年，在我国的某些建筑学的书籍中就有关于避雷的记载：屋顶的四角都被雕饰成龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末端伸到地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地下，不会对房屋造成危险。 6. 17711773年间，英国科学家卡文迪许进行了大量的
5、静电试验，证明在静电情况下，导体上的电荷只分布在导体表面上。 7. 1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的道路。,8. 1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中，发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起 。 9. 1822年，法国科学家安培提出了安培定律，将奥斯特的发现上升为理论。 10. 1825年，德国科学家欧姆得出了第一个电路定律：欧姆定律。 11. 1831年，英国实验物理学家法拉第发现了电磁感应定律 。并设计了世界上第一台感应发电机。 12、1840年，英国科学家焦耳提出了焦耳定律，揭示了电磁现象的能量特性
6、。 13、1848年 ，德国科学家基尔霍夫提出了基尔霍夫电路理论，使电路理论趋于完善。,奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基础。 14、电磁学理论的完成者-英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦深入研究并探讨了电与磁之间发生作用的问题，发展了场的概念。在法拉第实验的基础上，总结了宏观电磁现象的规律，引进位移电流的概念,并预言了电磁波的存在 。这个概念的核心思想是：变化着的电场能产生磁场；与变化着的磁场产生电场相对应。在此基础上提出了一套偏微分方程来表达电磁现象的基本规律，称为麦克斯韦方程组，是经典电磁学的基本方程-用最完美的数学形式表达了宏观电磁学的全部内容 。 麦克斯
7、韦从理论上预言了电磁波的存在。,电磁场理论的应用和发展 15、1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为电力工业开辟了道路。 16、1876年，美国贝尔发明了有线电话，实现了电声通信。 17、1879年，美国发明家爱迪生发明了电灯，使电进入了人们的日常生活。18、1887年，德国的物理学家赫兹首次用用火花隙激励一个环状天线，用另一个带隙的环状天线接收，证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预言，这一重要的实验导致了后来无线电报的发明。 19、18951901年，俄国的波波夫和意大利的马可尼，成功进行了无线电报传送实验，马可尼因此获得了1909年的诺贝尔物理学奖。,20、1906年，美国费森登
8、用50千赫频率发电机作发射机，用微音器接入天线实现调制，使大西洋航船上的报务员听到了他从波士顿播出的音乐。1919年，第一个定时播发语言和音乐的无线电广播电台在英国建成。次年，在美国的匹兹堡城又建成一座无线电广播电台。 21、1884年，德国尼普科夫提出机械扫描电视的设想，1927年，英国贝尔德成功地用电话线路把图像从伦敦传至大西 洋中的船上。兹沃霄金在1923和1924年相继发明了摄像管和显像管。1931年，他组装成世界上第一个全电子电视系统。 22、二次世界大战前夕，英、美、德、法等国竞相研制一类能够早期警戒飞机的装置。1936年，英国的瓦特设计的警戒雷达有效地警戒了来自德国的轰炸机。19
9、38年，美国研制成第一部能指挥火炮射击的火炮控制雷达。1940年，多腔磁控管的发明，微波雷达的研制成为可能。1944年，能够自动跟踪飞机的雷达研制成功。1945年，能消除背景干扰显示运动目标的显示技术的发明,使雷达更加完善。在整个第二次世界大战期间,雷达成了电磁场理论最活跃的部分。,23、1958年, 美国发射低轨的“斯科尔”卫星成功,这是第一颗用于通信的试验卫星。1964年,借助定点同步通信卫星首次实现了美、 欧、非三大洲的通信和电视转播。1969年, 大西洋、太平洋和印度洋上空均已有定点同步通信卫星，这些卫星地球站又和本国或本地区的通信网接通。卫星通信经历10年的发展，终趋于成熟。 24、
10、1958年卫星发射成功后，人们试图将雷达引入卫星，实现以卫星为基地对地球表面及近地空间目标的定位和导航。美国于1964年研究成功子午仪卫星导航系统。1973年美国提出了由24颗卫星组成的实用系统新方案，即GPS计划。其含义是利用导航卫星进行测时和测距。1990年最终的GPS方案是由21颗工作卫星和3颗在轨备用卫星组成。,四、电磁理论的主要研究对象,1、电磁场的基本属性及其运动规律 2、波与物质的相互作用及信息的提取 3、电磁场系统的计算方法，仿真技术 4、工程技术应用中的电磁场理论问题,五、学习的目的、方法及其要求1、掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律 2、掌握宏观电磁场问题的基本求解方法 3
11、、了解宏观电磁场的主要应用领域及其原理 4、训练分析问题、归纳问题的科学方法 5、培养用数学解决实际问题的能力 6、独立完成作业，做好课堂笔记,六、主要参考书1、雷银照，电磁场，高等教育出版社 2、郭硕鸿，电动力学（第二版） 3、毕德显，电磁场理论，电子工业出版社 4、王蔷等，电磁场理论基础，清华大学出版社,第一章 矢量分析与场论基础,主要内容：矢量的基本概念、代数运算、矢量分析、场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）矢量场的Helmholtz定理,一、 矢量,标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，速度、电场等）,矢量的表示方式,注：
12、矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 。教材上符号即为印刷体。,矢量可表示为： 其中 为其模值，表征矢量的大 小； 为其单位矢量，表征矢量的方向，其大小为1；,1.1 矢量分析,所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。,二、矢量的运算法则,1. 加法: 矢量加法是矢量的几何和，服从平行四边形规则。,a.满足交换律：,b.满足结合律：,三个方向的单位矢量用 表示。,根据矢量加法运算：,所以：,在直角坐标系下的矢量表示:,其中：,矢量：,模的计算：,单位矢量：,方向角与方向余弦：,在直角坐标系中三个矢量加法运算：,显然：,2. 减法：换成加法运算,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢
13、量。,在直角坐标系中两矢量的减法运算：,3. 乘法,（1）标量与矢量的乘积：,（2）矢量与矢量乘积分两种,a. 标量积（点积）：,两矢量点积的含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。,在直角坐标系中，三个坐标轴是相互正交的，即,两矢量点积：,结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。,推论1：满足交换律,推论2：满足分配律,推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。,推论1：不服从交换律：,推论2：服从分配律：,推论3：不服从结合律：,推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。,b. 矢量积（叉积）：,含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小
14、为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。,在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：,两矢量的叉积又可表示为：,在直角坐标系中，三个坐标轴是相互正交的，即,（3）三重积：,三个矢量相乘有以下几种形式：,矢量；标量与矢量相乘。,标量；标量三重积：三矢量中一个和另两个矢量的叉积相乘得到的点积。,矢量；矢量三重积：三矢量中一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积。,a. 标量三重积,法则：在矢量运算中，先算叉积，后算点积。,定义：,含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。,注意：先后轮换次序。,推论：三个非零矢量共面的条件:,在直角坐标系中：,b.矢量
15、三重积：,说明：矢量间不存在除法运算。,三、矢量微分元：线元、面元、体元,例：,其中： 和 称为微分元。,正交曲线坐标系：,为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必须引入坐标系。而且，常常根据被研究物体的几何形状不同而采用不同的坐标系。三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。,任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标变量u1, u2, u3 , 而u1, u2, u3 为常数时，就代表三组曲面（或平面），称为坐标面。若三组坐标面在空间每一点正交，则坐标面的交线（一般是曲线）也在空间每点正交，这种坐标系叫做正交曲线坐标系。直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系是许多正交曲线坐
16、标系中较常用的三种。,体元：,线元：,面元：,在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数（Lame)，若已知正交坐标系的拉梅系数 ，就可正确写出其线元、面元和体元。,1. 直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)， 如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,2. 圆柱坐标系,在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,3. 球坐标系,在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,坐标变换,圆柱坐标系与直角坐标系间单位 矢量变换关系,球面坐标系与直角坐标系间单位 矢量
17、变换关系,a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1，即：,b. 在柱坐标系中，坐标变量为 , 其中 为角度，其对应的线元 ，可见拉梅系数为：,在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为角度，其拉梅系数为：,注意：,一、场的概念及分类物理量（如温度、电场、磁场）在空间中以某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。,1.2 场,a. 场的概念,b. 场的分类,1、按物理量的性质 标量场（数量场）：在指定时刻，空间每一点可以用一个 标量
18、唯一地描述。 物理量为标量（温度场,电位场）矢量场：在指定时刻，空间每一点可以用一个失量唯一地 描述。物理量为矢量（电场、磁场）,2、按物理量变化特性 静态场：物理量不随时间的变化而变化 时变场（动态场）：物理量随时间的变化而变化,二. 标量场的等值面（线）,由所有场值相等的点所构成的面(线)，即为等值面(线)，如等温线、等高线、等压面、等相位面。即若标量函数为 ，则等值面方程为：,给常数c以不同的数值，就得到不同的等值面。这族等值面充满了标量场所在的空间，且互不相交。标量场的等值面可以直观地帮助了解场中物理量的分布情况。,三. 矢量场的矢量线,1 矢量场与矢量线 在确定空间区域上的每一点有确
19、定矢量与之对应，则称该空 间区域上定义了一个矢量场。 为了描述矢量场，可以直接用矢 量的数值和方向来表示矢量场，用矢量线可以形象的描述矢量场 分布。在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在 该点的方向重合，则该曲线称为矢量线。例：静电场的电力线、 磁场的磁力线、流速场中的流线等。,矢量线能够描述矢量场在空间的方向，但不能够定量描述矢量场的大小。,矢量线方程：,1.3 标量场的方向导数和梯度,1 方向导数在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间 的数值，还需要知道场在不同方向上变化的情 况。方向导数可以描述标量场在空间某个方向 上变化的情况。,空间变化率，称为方向导数。,为最大的方向导数
20、。,2 标量场的梯度,在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小（方向导数）是不同的，必然存在一个变化最大的方向。定义：场变化最大的方向为标量场梯度方向，最大变化率为标量场梯度值。,梯度描述了空间某点处标量场 随位置变化的规律。,为 的方向余弦，即该方向的单位矢量为,令 ，因此，有,在给定点是一固定矢量。因此上式表示当 方向与 一致时，方向导数取得最大值。表明矢量 的方向就是函数u变化率最大的方向，其模就是这个最大变化率的数值。由梯度定义知,哈密顿算符,正交坐标系下梯度的表示法,球面坐标系,柱面坐标系,直角坐标系,正交坐标系, 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化 最大的方向
21、，其数值表示该方向上场的空间变化率。 标量场在某个方向上的方向导数，是该点梯度在该方向上的投 影。 标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使 得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以通 过矢量场来研究。 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）并指向场 增大的方向。 一个标量场的梯度（一旦）确定， 则该标量场也随之确定，最多相差一 个任意常数。,3 梯度的性质,4 梯度的基本运算公式,例3 已知 证明：,例4 设一标量函数 (x,y,z) = x2y2z 描述了空间标量场。试求：(1) 该函数 在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；(2)
22、 求该函数 沿单位矢量 方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,1.4 矢量场的通量和散度,例如：在电场中，电通量：在磁场中，磁通量：,为了克服矢量线不能定量描述矢量场大小的问题，引入通量和散度的概念。,1 矢量场的通量 设有一矢量场 ，在场中任取面元 ，则 称为 穿过 的通量。矢量场穿过曲面 的通量为曲面 上所有 小面元上通量的叠加：,面元矢量 定义：面积很小的有向曲面,：面元面积，其值可认为无限小；,：面元法线方向单位矢量，垂直于面元平面。,闭合曲面通量物理意义：穿入和穿出闭合面 的通量代数和。,如果曲面 是闭合的，并规定曲面法线方向由闭
23、合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量：,通过闭合面 的通量的三种可能结果,若 ，表示通过闭合曲面有净的矢量线流出，意味着闭合面内存在正的通量源。,若 ，表示通过闭合曲面有净的矢量线流入，意味着闭合面内存在负源或称沟。,若 ，表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面（正源负源代数和为零或无源）。,闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。,2 矢量场的散度物理上的场 (矢量场，标量场）都是相应源作用的结果。矢 量场通过闭合曲面通量的三种可能结果与闭合曲面内有无产生矢 量场的源直接相关。为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意
24、点（小 体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利 用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。因此矢量场中某点的散度是矢量场通过包含 该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元所围体积之比的极限。,矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。,若 处处成立，则该矢量场称为无源场。,散度的物理意义,矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性,矢量场的散度是一个标量,矢量场的散度是空间坐标的函数,矢量场的散度值表征空间中通量源的密度,若 ，则该矢量场称为有源场，为源密度。,讨论：在矢量场中,( 正源),（ 负源),( 处处成立，无源）,在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成:
25、(x=x1,y=y1,z=z1,x=x1+x, y= y1+y,z= z1+z) 。,矢量场 表示为：,直角坐标系下散度表达式的推导,在 x方向上：,计算穿过 和 面的通量为,因为：,则有 x 方向上的总通量：,整个封闭曲面的总通量：,同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量：,在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：,该闭合曲面所包围的体积：,通常散度表示为：,直角坐标系下：,圆柱坐标系下：,正交坐标系下散度的表示法,正交曲线坐标系：,球坐标系下：,散度定理的证明：,3 散度定理（矢量场的高斯定理）,直接从散度的定义出发，不难得到矢量场在空间任意闭合曲面 的总通量等于散度在该闭合曲面所包围体积
26、上的积分。,从散度定义有：,则在一定体积V内的总的通量为：,散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。,6 散度的有关公式,1、矢量场的环量,环量意义：若矢量场环量不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的漩涡源。（如，磁场强度沿闭合路径的环量等于穿过以闭合路径为边界曲面的总电流，电流就是产生这个环量的旋涡源）。若环量为零，则并不能说明回路所围面积内无漩涡源。,1.5 矢量场的环量和旋度,环量的大小、正负与矢量场 的分布以及所取积分环量方向有关。,不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它 所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲
27、面的通量为零。但场在 所定义的空间中闭合路径的积分不为零。为了描述这类场与源的关系，引入 环量与旋度的概念。,在矢量 的场中，矢量 沿某一有向闭合曲线 的线积分，称为该矢量沿此闭合曲线的环量。即：,式中， 是闭合积分路径上任一点的矢量； 是该路径上的切向长度元矢量，方向取决于闭合曲线 的环绕方向； 为 与 的夹角，如图所示。,物理意义：力（力沿闭合路径作的功）；电场强度（绕闭合路径的电动势）。,2、环量密度,M,为了研究矢量 在场中某点M的环量特征，引入环量密度的概念，定义： 在矢量场 中，任取一点M，过M作面元 ，其法线方向 单位矢量为 ，法线方向与面元周界成右手螺旋，若,存在，则称此极限为
28、矢量场 在M点对方向 的环量密度。,显然，过M点可以作不同方向的面元，从而可以得到矢量场在M点对不同方向的环量密度。它们的大小也不相同。,3、矢量场的旋度,由于矢量场在点M处的环量密度与面元 的法线方向有关，在某一方向上环量密度可能取得最大值，为了描述这种分布状态，引入旋度概念。,定义：矢量场的旋度是个矢量，大小为最大的环量密度，方向是取最大环量密 度时 的法线方向。 这样，场在该点其它方向的环量密度就等于旋度在该方向 上的投影。,以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：,场矢量：,其中： 为x 方向的环量密度。,旋度可用符号表示：,旋度的计算,投影面：由y1,y1+y,z1,z1+z四条线围成
29、。,其中：,可得：,同理：,所以：,旋度公式：,为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:,类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：,对于柱坐标、球坐标，根据其拉梅系数，请同学们自行写出旋度的计算公式。,旋度的物理意义,矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；,矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；,若矢量场空间有一点旋度不为零，则称该场为有旋场；,若矢量场空间所有点旋度均为零，则称该场为无旋场（保守场）；,物理含义：一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。,4、斯托克斯定理,5 旋度的有关公式,小结,1、散度（流出的量） 通量源通量即该向量(垂直平面
30、分量)穿过平面的大小散度不为0的点表示该点有源 (source)存在散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从高斯公式理解散度处处为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）,2、旋度（没有流出的量） 旋涡源旋度数值即该向量(平行平面分量)在某点的最大环量密度(即环量大小/面积)。旋度是矢量；物理意义为环量密度，可以从斯托克斯公式理解旋度处处为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场,矢量场,1.6 矢量场的亥姆霍兹(Helmholtz)定理,现在我们必需考虑如下问题： （1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？ （2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的
31、激励源？ （3）如何唯一的确定一个矢量场？,前面我们介绍了矢量分析中的一些基本概念和运算方法。其中标量场的梯度和矢量场的散度、旋度都是场性质的重要量度。一个标量场的性质完全可以由它的梯度来表明，那么一个矢量场所具有的性质是否可完全由它的散度和旋度来表明呢？,1、亥姆霍兹定理,在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即：,其中， 为无散场， 为无旋场。,Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个 部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发，并且满足：另一部分是无旋场，由
32、通量源激发，满足：,2、矢量场的分类,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,调和场,注意：不存在在整个空间内散度和旋度均处处为零的矢量场。,若矢量场 在某区域V内，处处有： 和 则在该区域V内，场 为调和场。,有源无旋场,讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理,若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或 整个空间内，有 ，则称在该区域V 内，场 为有源无 旋场。,结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源无旋场 也称保守场。,无源有旋场,说明：式中 为矢量场漩涡源密度。,有源有旋场,若矢量场 在某区域V内有 ，在某些位置或整个空 间内，有 ，则称在该区域V内，场 为有源有旋场
33、。,有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场的叠加，即：,若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个 空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无源有旋场。,3、亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义,4、两个重要的场论公式,任何标量场梯度的旋度恒为零（标量场的梯度必无旋）。,任何矢量场的旋度的散度恒为零（矢量场的旋度必无散）。,逆定理：如果一个矢量旋度为0，则该矢量可表示为一个标量场的梯度。,逆定理：如果一个矢量散度为0，则该矢量可表示为另一个矢量的旋度。,5. 拉普拉斯运算,直角、柱、球坐标系下拉普拉斯算符,6. 常用的矢量恒等式,第一章作业,1、在 的矢量场中，取一个以 每边为单位长的立方体，其中一个顶点在坐标原点 上，如图所1示。试求从六面体内穿出的净通量，并 验证高斯定理。,2、已知 ，计算如图2所示第一象限 半径为3的1/4圆盘的线积分，并验证斯托克斯定理。,3、求函数 在点M（1,0,1）处沿方向的方向导数。,4、已知 ； 若 无旋，确定C1,C2,C3；将Ci代入，判断 能否表示成一个矢量的旋度以及 属于何种场。,5 已知 证明：,6 给定两矢量,7 球坐标中两个点,
