1、第三章 静态电磁场,静电场、稳恒电场和稳恒磁场都不随时间变化，统称为静态场。在静态情况下，电场与磁场是相互独立的，故可分别讨论。本章从麦克斯韦方程组出发，分别介绍关于静电场、稳恒电场和稳恒磁场的处理方法。对静电场和稳恒电场，可引入标量电位，将矢量场的问题转化为相对简单的标量场问题。对磁场可引入矢量磁位。相对于磁感应强度而言，矢量磁位与电流的关系较为简单，因此利用矢量磁位求磁场分布比较方便。,3.1 静电场的电位,3.1.1 静电场的电位 静电场的场方程为由于静电场无旋，故必可将其写为这里标量函数 称为电位或电势。根据梯度的性质，可知 E 垂直于等位面，并指向电位降落的方向。,设 L 为连接 a
2、、b 两点的任意路径，则有可见，静电场中任意两点之间的电位差可由沿连接这两点的任意路径的积分得到。处于静电平衡状态的导体，其内部电场 E = 0。由 E =- 知，静电平衡的导体中 = 0，导体是等位体。,以上定义的是电位的梯度和电位差。只有规定了电位的零点，电场中每一点的电位才具有确定的值。电位的零点可以任意选取，因为电位加上一个任意常数并不影响其梯度或电位差的值。3.1.2 电荷体系引起的电位为方便，对无界空间中电荷分布在有限区域的情形，通常取无穷远处为电位零点。这样，电荷体系在空间任一场点 P 引起的电位即为,例：无限大真空中某点 r 处有一点电荷 q，其在场点 r 处引起的电场为,于是
3、得电位分布：其中 R = r- r。,根据场的叠加原理，分布在体积 V 中的电荷在场点 r 处引起的电位为由曲面 S 上的面电荷分布引起的电位为注意，以上电位计算公式都是以无限远为零点，而电荷则分布在有限区域中。若电荷分布涉及无限远，则按上述公式计算将会导致积分发散。这种情形下，可取任一有限远点为电位零点。,【例1】 如图所示，半径为 a、面电荷密度为 S 的均匀带电圆盘位于 x y 平面上。求圆盘轴线上的电位。,解：由图可知， ，而 r处的面元为,代入,得,【例2】 求偶极矩为 p = ez q l 的电偶极子引起的电场分布。,解：电偶极子由两个相距很近（l r）的等值异号的点电荷构成，电偶
4、极子引起的电位就是此两个点电荷引起的电位的叠加。以电偶极子中心为坐标原点，则电偶极子在空间任意点引起的电位为其中,因为 l r，故可利用近似公式于是有代入 E =- ，即得,【例3】 真空中的无限大平面均匀带电，面电荷密度为S 。 求空间的电位分布。,解：设带电面为 x y 平面，则该带电平面产生的电场为 在 z 0 区间，该结果不确定。现改取任意点 z0 为电位零点，就可得到确定的电位值：,【例4】 求真空中无限长均匀带电直线周围的电位分布，设带电线的线电荷密度为 l 。 解：以带电直线为轴线建立圆柱坐标系。取距离轴线有限远 = 0 处为电位的零点。该带电直线引起的电场为于是距带电线为处的电
5、位为,3.1.3 电位满足的微分方程,仅考虑各向同性介质。将 E = - 代入D = E，两边取散度，再利用 D = ，可得整理得此即各向同性介质中电位满足的方程。对介质均匀， = 0，上式成为,若所论区域中处处 = 0，则在该区域中， 满足拉普拉斯方程：由上可见， 的微分方程包含了静电场的所有基本方程和本构关系：因此，对静电场而言，电位的微分方程与场方程等价。,在无界空间中，方程 的解为证：将此积分式代入上面方程，有利用得,因为故积分域可缩小为以点 r 为中心的小球体V。当半径足够小时，积分成为再利用 即证得,3.1.4 电位满足的边界条件, 的微分方程只适用于连续介质内部。在两种介质的交界
6、面两侧， 应满足由电场的边界条件所规定的关于 本身及其法向导数的两种边界条件。 1关于 的边界条件如图，对 1、2 两点，这里已取 ， 。,因 E 的大小有限，故上式给出 。由此知，在界面两侧紧靠界面处，有可见电位在界面处连续。此式与边界条件 E1t= E2 t 等价。这是因为，E1t= E2 t 产生于 和 “E 的大小有限” 这两个条件，前者在定义电位时已经用到，在导出1 = 2 时又用到了后一条件。,2关于 的法向导数的边界条件,将 D = E = - 代入 en (D1-D2) = S ，可得此即电位的法向导数应满足的边界条件。对处于静电平衡状态的导体而言，因为电荷只分布在导体表面上，
7、故由上述可知，电位在导体表面上满足的边界条件应为,3.2 静电场的能量,3.2.1 静电场能量与电荷和电位的关系一定体积内电场的能量是电场能量密度 对体积的积分。但由于静电场可以用电位来描述，所以其能量也可以用电位来计算。利用 E = - 及 D = S ，可得整个空间V 中的静电场能量：,利用 D = S 和散度定理，上式写为这里S 面位于无穷远处。对于电荷分布在有限区域的情形，在S 面上，1/R ，D1/R2 ， SR2 ，故有由此即得,对于面电荷分布，上式应改为对若干导体构成的带电体系而言，注意到电荷只分布在表面上，而导体表面是等位面，则可由上式得到体系的静电能：若保持各 i 和 qi
8、不变，令各导体的体积趋向于无限小，则各导体成为点电荷，上式就成为点电荷系的静电能公式。,【例1】 导出电容器的储能公式。,解：设电容器两极板的电位分别为 + 和 - ，带电量分别为 q+ 和 q-，则有 此即电容器的储能公式。利用 C = q / U ，上式又可写为,【例2】设导体球半径为 R ，带电量为 q，球外为介电常数为 的均匀介质。求电场能。,解：以球心为原点，则电荷在距离球心 r（r R）处引起的电位为在导体球表面，因此，该体系的静电能为,3.2.2 求电场力的虚位移法,若用电荷元受力的矢量积分计算带电体受到的外电场作用力往往较为困难，此时可尝试用电场的能量来求电场力。这就是虚位移法
9、。虚位移法的思路：设想带电体在外电场中发生了一微小位移 dl ( 称为虚位移），在此虚位移过程中，电场力对其做的功为dA = F dl。另一方面，当带电体的位置改变后，电场也将发生改变，导致电场能量改变。设电场能量的增量为 dWe ，按能量的转化与守恒定律，电源在此过程中提供的能量为,式中，F 是真实的力，而位移 dl 仅存在于设想中，并未实际发生，在该虚位移过程中系统的状态并未改变。因此，可以按某物理量（如 、q 等）保持不变来设想虚位移，以求得到可解的关系式。 1. 设想虚位移过程中各导体上的电量不变。这相当于各导体都不接电源，故此过程中电源不做功，即 dWS = 0。按前述公式，就有于是
10、得计算公式：,或写为矢量式：下标 q 表示各导体上的电量不变。 2. 设想各导体的电位不变。这相当于各导体都接有恒压电源。为保持各导体的电位不变，各电源必须向导体输送电荷。假定为保持电位 I 不变，输送了电量 dqi ，其间电源做功为从而电源对全体导体做的总功为,另一方面，由于电量改变，电场能量的增量为代入 ，即得 。于是得计算公式：下标 表示各导体的电位不变。 注意，推导中用到的是的作用点的虚位移，故所得之 F 是发生虚位移的那一导体所受的力。,【例3】 一平行板电容器的极板面积为 S，极板间距为 b。若两极的电压为 U，求两极板的互作用力。 解：取 x 轴垂直于极板，一板位于坐标原点，另一板坐标为 x (设 x 0），则此时电容器的电容为所储存的能量为设想 x 处的极板发生一个虚位移 d l = ex dx。若设极板的电位不变，则该极板受力为,令 x = b，即得若设位移中极板的电量不变，则因 ，有再把 和 x = b 代入，仍得,
